Tổng \(S_n=\dfrac{1}{2.5}+\dfrac{1}{5.8}+\dfrac{1}{8.11}+......+\dfrac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\) là: \(\dfrac{n}{2\left(3n+2\right)}\) \(\dfrac{3n}{2\left(3n+2\right)}\) \(\dfrac{2n}{4\left(3n+2\right)}\) \(\dfrac{n+1}{2\left(3n+2\right)}\) Hướng dẫn giải: \(S_n=\dfrac{1}{2.5}+\dfrac{1}{5.8}+\dfrac{1}{8.11}+......+\dfrac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\) \(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}\right)+....+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)\) \(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+......+\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)\) \(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3n+2}\right)\) \(=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3n+2-2}{2\left(3n+2\right)}=\dfrac{n}{2\left(3n+2\right)}\).
Dãy số \(u_n=\dfrac{2n+1}{n^2+2}\). Số hạng \(\dfrac{19}{83}\) là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy ? \(n=9\) \(n=10\) \(n=11\) \(n=8\) Hướng dẫn giải: \(u_n=\dfrac{2n+1}{n^2+2}=\dfrac{19}{83}\) \(\Leftrightarrow19n^2-166n-45=0\)\(\Leftrightarrow n=9\).
Ba số \(\dfrac{2}{b-a};\dfrac{1}{b};\dfrac{2}{b-c}\) lập thành một cấp số cộng. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng ? Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Ba số b, a, c theo thứ tự đó lập thành một số cộng. Ba số b, a, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hướng dẫn giải: Ta có: \(\dfrac{2}{b}=\dfrac{2}{b-a}+\dfrac{2}{b-c}\Leftrightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b-a}+\dfrac{1}{b-c}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{2b-a-c}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\) \(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(b-c\right)=b\left(2b-a-c\right)\)\(\Leftrightarrow b^2=ac\).
Số hạng lớn nhất của của dãy số \(u_n=\dfrac{2n}{n^2+100}\) là: \(\dfrac{1}{10}\) \(\dfrac{1}{20}\) \(\dfrac{1}{30}\) \(\dfrac{1}{40}\) Hướng dẫn giải: \(u_n=\dfrac{2n}{n^2+100}\Rightarrow\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{n^2+100}{2n}=\dfrac{1}{2}\left(n+\dfrac{100}{n}\right)\) \(\ge\dfrac{1}{2}.2.\sqrt{n.\dfrac{100}{n}}=10\). Suy ra \(u_n\le\dfrac{1}{10}\), vậy \(maxu_n=\dfrac{1}{10}\).
Cho tam giác ABC với ba góc A, B, C theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q = 2. Số đo ba góc A, B, C là ? \(\widehat{A}=\dfrac{\pi}{7};\widehat{B}=\dfrac{2\pi}{7};\widehat{C}=\dfrac{4\pi}{7}\) \(\widehat{A}=\dfrac{\pi}{6};\widehat{B}=\dfrac{2\pi}{6};\widehat{C}=\dfrac{3\pi}{6}\) \(\widehat{A}=\dfrac{\pi}{5};\widehat{B}=\dfrac{2\pi}{5};\widehat{C}=\dfrac{4\pi}{5}\) \(\widehat{A}=\dfrac{\pi}{3};\widehat{B}=\dfrac{2\pi}{3};\widehat{C}=\dfrac{4\pi}{3}\) Hướng dẫn giải: Gọi số đo ba góc A, B, C lần lượt là x, y, z. Ta có \(y=2x,z=2y=2.2x=4x\). Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác ta có: \(x+2x+4x=\pi\Leftrightarrow7x=\pi\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{7}\). Vậy \(\widehat{A}=\dfrac{\pi}{7};\widehat{B}=\dfrac{2\pi}{7};\widehat{C}=\dfrac{4\pi}{7}\).
