Phương pháp giải tích phân dạng Chebyshev

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tích phân Chebyshev có dạng:
    $$F(m,n,p)=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$$
    Gọi là tích phân hàm phân thức hữu tỷ , hoặc tích phân Chebyshev . Ông đã đưa ra các điều kiện để các nguyên hàm trên tính được . Cụ thể nó tính được bằng các phép toán đặt và các phép toán thông thường khi và chỉ khi nó rơi vào một trong ba trường hợp sau :
    $1) p \in Z$
    $2) \frac{m+1}{n} \in Z$
    $3) \frac{m+1}{n}+p \in Z$
    Ở đây nếu $b=0,n=0$ hiển nhiên tính được nên ta chỉ xét $b,n$ khác $0$ .
    Trong từng trường hợp các phép đặt sau sẽ cho ta kết quả :
    $1) p \in Z$
    Trường hợp này đặt $x=t^{s}$ với $s$ là mẫu số chung của hai số $m,n$ . Về cơ bản phép đặt này rút gọn khai triển nhị thức .
    $2) \frac{m+1}{n} \in Z$
    Chúng ta sẽ đặt
    $$a+bx^{n}=t$$
    $$x=(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}}$$
    $$dx = \frac{1}{n}(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}-1}dt$$
    $$F(m,n,p)=\frac{1}{n}b^{-\frac{m+1}{n}}\int t^{p}(t-a)^{\frac{m+1}{n}-1}dt$$
    Đến đây đưa về trường hợp đầu .
    $3) \frac{m+1}{n} + p \in Z$
    $$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx = \int x^{m+np} (ax^{-n}+b)^{p}dx$$
    Ta có
    $$\frac{m+np+1}{-n}=-(\frac{m+1}{n}+p) \in Z$$
    Đến đây về trường hợp thứ hai . Cụ thể là phép đặt :
    $$ax^{-n}+b=t$$