Bài viết hướng dẫn một số phương pháp giải phương trình lượng giác bậc cao đối với một hàm số lượng giác. I. PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Giải phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác. PHƯƠNG PHÁP CHUNG: 1. Đối với phương trình bậc $3$: $a{t^3} + b{t^2} + ct + d = 0$ $(1).$ Ta lựa chọn một trong ba hướng: + Hướng 1: Nếu xác định được nghiệm ${t_0}$ thì: $(1) \Leftrightarrow \left( {t – {t_0}} \right)\left( {a{t^2} + Bt + C} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {t_0}}\\ {a{t^2} + Bt + C = 0\:\left( 2 \right)} \end{array}} \right..$ Khi đó việc giải $(1)$ được dẫn về việc giải $(2).$ + Hướng 2: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên. + Hướng 3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị. 2. Đối với phương trình bậc $4$: $a{t^4} + b{t^3} + c{t^2} + dt + e = 0$ $(3).$ Ta lựa chọn một trong bốn hướng: + Hướng 1: Nếu xác định được nghiệm ${t_0}$ thì: $(3) \Leftrightarrow $ $\left( {t – {t_0}} \right)\left( {a{t^3} + B{t^2} + Ct + D} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {t_0}}\\ {a{t^3} + B{t^2} + Ct + D = 0\:(4)} \end{array}} \right..$ Khi đó việc giải $(3)$ được dẫn về việc giải $(4).$ + Hướng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. + Hướng 3: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên. + Hướng 4: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị. Ví dụ 1: (Đại học Thái Nguyên – 1997): Giải phương trình: $4{\cos ^2}x – \cos 3x$ $ = 6\cos x + 2(1 + \cos 2x).$ Biến đổi phương trình về dạng: $4{\cos ^2}x – \left( {4{{\cos }^3}x – 3\cos x} \right)$ $ = 6\cos x + 4{\cos ^2}x.$ $ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x + 3\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^2}x + 3} \right)\cos x = 0.$ $ \Leftrightarrow \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ Vậy phương trình có một họ nghiệm. Ví dụ 2: Cho phương trình: $\cos 3x – \cos 2x + m\cos x – 1 = 0$ $(1).$ a. Giải phương trình với $m = 1.$ b. (ĐH Y Dược TP HCM – 1999): Tìm $m$ để phương trình có đúng $7$ nghiệm thuộc khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2},2\pi } \right).$ Biến đổi phương trình về dạng: $4{\cos ^3}x – 3\cos x$ $ – \left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) + m\cos x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x – 2{\cos ^2}x$ $ + (m – 3)\cos x = 0.$ Đặt $t = \cos x$, điều kiện $|t| \le 1$, phương trình có dạng: $4{t^3} – 2{t^2} + (m – 3)t = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {4{t^2} – 2t + m – 3} \right)t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\\ {4{t^2} – 2t + m – 3 = 0\:\left( 2 \right)} \end{array}} \right..$ Với $t = 0$: $ \Leftrightarrow \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $(*).$ a. Với $m = 1$, ta được: $(2) \Leftrightarrow 4{t^2} – 2t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 1}\\ {t = – \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos x = 1}\\ {\cos x = – \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2k\pi }\\ {x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Vậy với $m = 1$ phương trình có $4$ họ nghiệm. b. Trước hết ta tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện đầu bài từ $(*)$, ta được: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = \frac{\pi }{2}}\\ {{x_2} = \frac{{3\pi }}{2}} \end{array}} \right..$ Vậy để phương trình $(1)$ có đúng $7$ nghiệm thuộc $\left( { – \frac{\pi }{2},2\pi } \right).$ $\Leftrightarrow$ phương trình $(2)$ có nghiệm thoả mãn: $ – 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {af( – 1) > 0}\\ {af(0) < 0}\\ {af(1) > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m + 3 > 0}\\ {m – 3 < 0}\\ {m – 1 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 1 < m < 3.$ Vậy với $1<m< 3$ thoả mãn điều kiện đầu bài. Chú ý: Để các em học sinh tiện theo dõi ta có thể lý giải điều kiện trên có được bởi: 1. Với ${t_2} \in (0,1)$ thì bằng cách dựng đường thẳng qua ${t_2}$ vuông góc với trục cosin ta được ba nghiệm ${\alpha _1}$, ${\alpha _2}$ và ${\alpha _3}$ thuộc cung $\widehat {AB}.$ 2. Với ${t_1} \in ( – 1,0)$ thì bằng cách dựng đường thẳng qua ${t_1}$ vuông góc với trục cosin ta được hai nghiệm ${\alpha _4}$ và ${\alpha _5}$ thuộc cung $\widehat {AB}.$ Ví dụ 3: Cho phương trình: ${\cot ^3}x – 3{\cot ^2}x + m = 0$ $(1).$ a. Với $m = -1$, phương trình có mấy nghiệm thuộc $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$? b. Tìm $m$ để phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc $(0,\pi ).$ Điều kiện: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi $, $k \in Z.$ Đặt $\cot x = t$, khi đó phương trình có dạng: ${t^3} – 3{t^2} + m = 0.$ Nghiệm của phương trình $(1)$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {t^3} – 3{t^2}$ với đường thẳng $y =-m.$ Xét hàm số $y = {x^3} – 3{x^2}$ trên $R.$ Đạo hàm: $y’ = 3{t^2} – 6t$, $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow 3{t^2} – 6t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\\ {t = 2} \end{array}} \right..$ Bảng biến thiên: a. Với $m = – 1$, đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số tại một điểm có hoành độ ${t_1} > 2$, suy ra phương trình $(1)$ nghiệm duy nhất thuộc $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right).$ b. Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc $(0,\pi )$ điều kiện là: $ – 4 < – m < 0$ $ \Leftrightarrow 0 < m < 4.$ Ví dụ 4: Cho phương trình: ${\tan ^4}x + \left( {2m – 1} \right){\tan ^3}x$ $ + \left( {{m^2} – 2m} \right){\tan ^2}x – \left( {{m^2} – m + 1} \right)\tan x$ $ – m + 1 = 0$ $(1).$ a. Giải phương trình với $m = -1.$ b. Xác định $m$ để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt thuộc $\left( { – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right).$ Điều kiện: $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ Đặt $\tan x = t$, khi đó phương trình có dạng: ${t^4} + (2m – 1){t^3} + \left( {{m^2} – 2m} \right){t^2}$ $ – \left( {{m^2} – m + 1} \right)t – m + 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^3} + 2m{t^2} + {m^2}t + m – 1} \right) = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t – 1 = 0}\\ {{t^3} + 2m{t^2} + {m^2}t + m – 1 = 0} \end{array}} \right.$ $(I).$ Để tiếp tục phân tích $(2)$, ta viết lại $(2)$ dưới dạng: $t{m^2} + \left( {2{t^2} + 1} \right)m + {t^3} – 1 = 0.$ Coi $m$ là ẩn, còn $t$ là tham số, ta được phương trình bậc $2$ theo $m$ và giải ra ta được: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 1 – t}\\ {m = – \frac{{{t^2} + t + 1}}{t}} \end{array}} \right..$ Do đó $(2)$ được chuyển về dạng: $(t + m – 1)\left[ {{t^2} + (m + 1)t + 1} \right] = 0.$ Khi đó: $(I) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t – 1 = 0}\\ {t + m – 1 = 0}\\ {g(t) = {t^2} + (m + 1)t + 1 = 0\:\left( 3 \right)} \end{array}} \right.$ $(II).$ a. Với $m = -1:$ $(II) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t – 1 = 0}\\ {t – 2 = 0}\\ {{t^2} + 1 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 1}\\ {t = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tan x = 1}\\ {\tan x = 2 = \tan \alpha } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\ {x = \alpha + k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm. b. Để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt $x \in \left( { – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right).$ $ \Leftrightarrow (3)$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $1$ và $1- m$ và $1 – m \ne 1.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta {‘_g} > 0}\\ {g(1) \ne 0}\\ {g(1 – m) \ne 0}\\ {1 – m \ne 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{m^2} + 2m – 3 > 0}\\ {m + 3 \ne 0}\\ {3 – 2m \ne 0}\\ {m \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 < m \ne \frac{3}{2}}\\ {m < – 3} \end{array}} \right..$ Vậy với $m \in ( – \infty , – 3) \cup (1, + \infty )\backslash \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}$ phương trình có $4$ nghiệm phân biệt. II. CÁC BÀI TOÁN THI Bài 1: (ĐHNN – 2000): Giải phương trình: $2\cos 2x – 8\cos x + 7 = \frac{1}{{\cos x}}.$ Điều kiện: $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ Biến đổi phương trình về dạng: $\left[ {2\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) – 8\cos x + 7} \right]\cos x = 1$ $ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x – 8{\cos ^2}x + 5\cos x – 1 = 0.$ Đặt $t=\cos x$, điều kiện $|t| \le 1.$ Khi đó phương trình có dạng: $4{t^3} – 8{t^2} + 5t – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow (t – 1)\left( {4{t^2} – 4t + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow (t – 1){(2t – 1)^2} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 1}\\ {t = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos x = 1}\\ {\cos x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2k\pi }\\ {x = \pm \frac{\pi }{3} + 2k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Vậy phương trình có ba họ nghiệm. Bài 2: (ĐHQG TP HCM khối D – 1999): Cho phương trình: $(\cos x + 1)(\cos 2x – m\cos x) = m{\sin ^2}x$ $(1).$ a. Giải phương trình với $m = -2.$ b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $\left[ {0,\frac{{2\pi }}{3}} \right].$ Biến đổi phương trình về dạng: $(\cos x + 1)(\cos 2x – m\cos x)$ $ = m\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right).$ $ \Leftrightarrow (\cos x + 1)[\cos 2x – m\cos x – m(1 – \cos x)] = 0.$ $ \Leftrightarrow (\cos x + 1)(\cos 2x – m) = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos x = – 1}\\ {\cos 2x = m} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \pi + 2k\pi }\\ {\cos 2x = m\:\left( * \right)} \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ a. Với $m = -2$, phương trình $(*)$ vô nghiệm. Vậy với $m = -2$, phương trình có một họ nghiệm $x = \pi + 2k\pi $, $k \in Z.$ b. Để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $\left[ {0,\frac{{2\pi }}{3}} \right].$ $ \Leftrightarrow $ phương trình $\cos t = m$ (với $t = 2x$) có đúng $2$ nghiệm thuộc $\left[ {0,\frac{{4\pi }}{3}} \right].$ $ \Leftrightarrow – 1 < m \le – \frac{1}{2}.$ Vậy với $ – 1 < m \le – \frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài. Chú ý: Để các em học sinh tiện theo dõi ta có thể lý giải điều kiện trên có được bởi: + Nếu $ – \frac{1}{2} < m \le 1$ thì bằng cách dựng đường thẳng vuông góc với trục cosin ta được hai nghiệm ${\alpha _1}$ và ${\alpha _2}$ nhưng khi đó dễ thấy ${\alpha _2}$ không thuộc cung $\widehat {AB}$, tức là chỉ có $1$ nghiệm được chấp nhận. Nếu $ – 1 < m \le – \frac{1}{2}$ thì bằng cách dựng đường thẳng vuông góc với trục cosin ta được hai nghiệm ${x_1}$, ${x_2}$ và cả hai nghiệm này đều thuộc cung $\widehat {AB}$, tức là có $2$ nghiệm được chấp nhận. Bài 3: (ĐHSP TPHCM khối A – 2000): Cho phương trình: $\sin 3x – m\cos 2x – (m + 1)\sin x + m = 0.$ Tìm $m$ để phương trình có đúng $8$ nghiệm thuộc $(0,3\pi ).$ Biến đổi phương trình về dạng: $3\sin x – 4{\sin ^3}x – m\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ – (m + 1)\sin x + m = 0.$ $ \Leftrightarrow \left( {4{{\sin }^2}x – 2m\sin x + m – 2} \right)\sin x = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x = 0}\\ {4{{\sin }^2}x – 2m\sin x + m – 2 = 0\:\left( 1 \right)} \end{array}} \right..$ + Với $\sin x = 0$: $ \Leftrightarrow x = k\pi $ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in (0,3\pi )} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = \pi }\\ {{x_2} = 2\pi } \end{array}} \right..$ + Với phương trình $(1)$, đặt $t = \sin x$, điều kiện $|t| \le 1$, ta được: $4{t^2} – 2mt + m – 2 = 0$ $(2).$ Vậy để phương trình có đúng $8$ nghiệm thuộc $(0,3\pi ).$ $ \Leftrightarrow $ phương trình $(1)$ có $6$ nghiệm thuộc $(0,3\pi )\backslash \left\{ {\pi ,2\pi } \right\}.$ $ \Leftrightarrow $ phương trình $(2)$ có nghiệm thoả mãn $ – 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {af( – 1) > 0}\\ {af(0) < 0}\\ {af(1) > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3m + 2 > 0}\\ {m – 2 < 0}\\ { – m + 2 > 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{2}{3} < m < 2.$ Vậy với $ – \frac{2}{3} < m < 2$ thoả mãn điều kiện đầu bài. Chú ý: Để các em học sinh tiện theo dõi ta có thể lý giải điều kiện trên có được bởi: 1. Với ${t_2} \in (0,1)$ thì bằng cách dựng đường thẳng qua ${t_2}$ vuông góc với trục sin ta được bốn nghiệm ${\alpha _1}$, ${\alpha _2}$, ${\alpha _3}$ và ${\alpha _4}$ thuộc cung $\widehat {AB}.$ 2. Với ${t_1} \in ( – 1,0)$ thì bằng cách dựng đường thẳng qua ${t_1}$ vuông góc với trục sin ta được hai nghiệm ${\alpha _5}$ và ${\alpha _6}$ thuộc cung $\widehat {AB}.$ III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập 1: Giải phương trình: $4(\sin 3x – \cos 2x) = 5(\sin x – 1).$ Bài tập 2: Cho phương trình: $\sin 3x + \sin x – 2{\cos ^2}x = m.$ a. Giải phương trình với $m = 0.$ b. Tìm $m$ để phương trình có $6$ nghiệm phân biệt thuộc $[0,\pi ].$ Bài tập 3: Xác định $m$ để phương trình: ${\cos ^4}x + (m – 2){\sin ^2}x + 4 = 0$ vô nghiệm.
