Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) ${{\left( {{x}^{2}}-x \right)}^{2}}+\left( {{x}^{2}}-x \right)-6=0$. b) $\left\{ \begin{align} & {{\left( x+1 \right)}^{2}}-6\left( xy-1 \right)=0 \\ & {{\left( x+y \right)}^{2}}+2\left( xy-3 \right)=0 \\ \end{align} \right.$ . Lời giải: a) Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai một ẩn Đặt ${{x}^{2}}-x=t$, phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}+t-6=0$ (*). $\Delta ={{1}^{2}}-4.1.\left( -6 \right)=25>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$. Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}=\frac{-1-5}{2}=-3$ ; ${{t}_{1}}=\frac{-1+5}{2}=2$. · Với $t=-3$ thì ${{x}^{2}}-x+3=0$, phương trình vô nghiệm. · Với $t=2$ thì ${{x}^{2}}-x-2=0$, giải ra ta được ${{x}_{1}}=-1$; ${{x}_{2}}=2$. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ -1\,\,;\,\,2 \right\}$. b) Phương pháp cộng đại số đưa về dạng tổng các bình phương bằng 0 $\left\{ \begin{align} & {{\left( x+1 \right)}^{2}}-6\left( xy-1 \right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ & {{\left( x+y \right)}^{2}}+2\left( xy-3 \right)=0\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right.$ Cộng vế theo vế của hai phương trình (1) và (2) ta được: ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}-4xy=0$ $\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( x+1 \right)}^{2}}=0 \\ & {{\left( x-y \right)}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x+1=0 \\ & x-y=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=y=-1$. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x\,\,;\,\,y \right)=\left( -1\,\,;\,\,-1 \right)$. Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) $2{{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x-6}=6x+22$. b) $\left\{ \begin{align} & \left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=15 \\ & {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=12 \\ \end{align} \right.$ . Lời giải: a) Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai một ẩn Ta có $2{{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x-6}=6x+22\Leftrightarrow 2\left( {{x}^{2}}-3x-6 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}-3x-6}-10=0$ Đặt $\sqrt{{{x}^{2}}-3x-6}=t\ge 0$, ta được phương trình $2{{t}^{2}}+t-10=0$ (*) $\Delta ={{1}^{2}}-4.2.\left( -10 \right)=81>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$. Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}=\frac{-1-9}{2.2}=-\frac{5}{2}$ (loại); ${{t}_{2}}=\frac{-1+9}{2.2}=2$ (nhận). Với $t=2$ thì $\sqrt{{{x}^{2}}-3x-6}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-10=0$, giải ra ta được ${{x}_{1}}=-2$; ${{x}_{2}}=5$. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ -2\,\,;\,\,5 \right\}$. b) Đây là hệ đối xứng loại I, sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Ta có $\left\{ \begin{align} & \left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=15 \\ & {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=12 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & xy+x+y=14 \\ & {{\left( x+y \right)}^{2}}-3xy=12 \\ \end{align} \right.$ Đặt $x+y=S$ và $xy=P$ với ${{S}^{2}}\ge 4P$, ta được hệ $\left\{ \begin{align} & S+P=14\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ & {{S}^{2}}-3P=12\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right.$ (*) Ta giải hệ (*) bằng phương pháp thế Ta có $(1)\Leftrightarrow P=14-S\,\,\,\,(3)$, thay (3) vào (2) ta được phương trình ${{S}^{2}}-3\left( 14-S \right)=12\Leftrightarrow {{S}^{2}}+3S-54=0$ (**) Giải phương trình (**) ta được ${{S}_{1}}=-9$; ${{S}_{2}}=6$. · Với $S=-9$, từ (3) tính được $P=23$ (không tmđk ${{S}^{2}}\ge 4P$). · Với $S=6$, từ (3) tính được $P=8$ (tmđk ${{S}^{2}}\ge 4P$). Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & x+y=6 \\ & xy=8 \\ \end{align} \right.$, giải hệ này ta được $\left( x\,\,;\,\,y \right)=\left( 2\,\,;\,\,4 \right),\,\,\left( 4\,\,;\,\,2 \right)$. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là $\left( x\,\,;\,\,y \right)=\left( 2\,\,;\,\,4 \right),\,\,\left( 4\,\,;\,\,2 \right)$. Bài 3: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-2}={{x}^{2}}-1$. b*) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & xy+2x+3y=10 \\ & \frac{1}{\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}+\frac{1}{\left( y+1 \right)\left( y+3 \right)}=\frac{2}{15} \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) Phương pháp nhân và chia cùng một lượng liên hiệp ĐKXĐ: $x \ge 1$. Ta có $\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-2}={{x}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-1+\sqrt{3x-2}-2={{x}^{2}}-4$ $\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{3\left( x-2 \right)}{\sqrt{3x-2}+2}=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$ (*) TH 1: $x-2=0\Leftrightarrow x=2$ (tmđk $x\ge 1$) TH 2: $x-2\ne 0\Leftrightarrow x\ne 2$ thì (*) $\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}=x+2$ (**) Vì $x\ge 1$ nên $\sqrt{x-1}+1\ge 1$ và $\sqrt{3x-2}+2\ge 3$, do đó VT $\le 2$ còn VP $\ge 3$ Suy ra phương trình (**) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=2$. b) Phương pháp biến đổi tương đương dựa vào đặt điểm $\frac{m}{x\left( x+m \right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+m}$. ĐKXĐ : $x \ne -2 $; $x\ne -4$; $y\ne -1$; $y\ne -3$. $\frac{1}{\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}+\frac{1}{\left( y+1 \right)\left( y+3 \right)}=\frac{2}{15}\Leftrightarrow \frac{2}{\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}+\frac{2}{\left( y+1 \right)\left( y+3 \right)}=\frac{4}{15}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+3}=\frac{4}{15}\Leftrightarrow \frac{x+y+3}{\left( x+2 \right)\left( y+1 \right)}-\frac{x+y+7}{\left( x+4 \right)\left( y+3 \right)}=\frac{4}{5}$ $\Leftrightarrow \frac{x+y+3}{xy+x+2y+2}-\frac{x+y+7}{xy+3x+4y+12}=\frac{4}{15}$ $\Leftrightarrow \frac{x+y+3}{12-x-y}-\frac{x+y+7}{22+x+y}=\frac{4}{15}$ (vì $xy+2x+3y=10$). $\Leftrightarrow -1+\frac{15}{12-x-y}-1+\frac{15}{22+x+y}=\frac{4}{15}$ $\Leftrightarrow \frac{15}{t+17}-\frac{15}{t-17}=\frac{34}{15}$ (với $t=x+y+5$). Giải ra ta được $t=8$ hoặc $t=-8$ · Với $t=8$ thì $\left\{ \begin{align} · & xy+x+y=10 \\ · & x+y+5=8 \\ · \end{align} \right.$ , giải ra ta được $x=1$; $y=2$ (nhận) · Với $t=-8$ thì $\left\{ \begin{align} · & xy+x+y=10 \\ · & x+y+5=-8 \\ · \end{align} \right.$ , giải ra ta được $x=-7$; $y=-6$ (nhận) Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1 ; 2) và (–7 ; –6).
