Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 28: a) Định m để phương trình $\frac{x+2}{x-m}=\frac{x+1}{x-1}$ có nghiệm duy nhất. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & x={{y}^{2}}+{{z}^{2}} \\ & y={{z}^{2}}+{{x}^{2}} \\ & z={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\ \end{align} \right.$. Giải: a) ĐKXĐ: $x\ne m\,\,;\,\,x\ne 1$. Ta có $\frac{x+2}{x-m}=\frac{x+1}{x-1}$ $\begin{align} & \Rightarrow \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)=\left( x+1 \right)\left( x-m \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2={{x}^{2}}+x-mx-m \\ & \Leftrightarrow mx=2-m\,\,\,\,\,\,\,(*) \\ \end{align}$ Nếu m = 0 thì (*) trở thành 0x = 2 vô nghiệm. Nếu $m\ne 0$ thì (*) có nghiệm duy nhất $x=\frac{2-m}{m}$. Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & x=\frac{2-m}{m} \\ & \frac{2-m}{m}\ne m \\ & \frac{2-m}{m}\ne 1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & x=\frac{2-m}{m} \\ & \frac{2-m}{m}\ne m \\ & \frac{2-m}{m}\ne 1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & x=\frac{2-m}{m} \\ & {{m}^{2}}+m-2\ne 0 \\ & 2m\ne 2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & m\ne 1 \\ & m\ne -2 \\ & x=\frac{2-m}{m} \\ \end{align} \right.$. b) Đặt $\left\{ \begin{align} & x={{y}^{2}}+{{z}^{2}}\,\,\,\,\,(1) \\ & y={{z}^{2}}+{{x}^{2}}\,\,\,\,(2) \\ & z={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\,\,\,\,(3) \\ \end{align} \right.$ Từ hệ phương trình đã cho dễ thấy $x\ge 0\,\,;\,\,y\ge 0\,\,;\,\,z\ge 0$. Vai trò của x, y, z trong hệ phương trình hoán vị vòng quanh. Không mất tính tổng quát, giả sử x là số lớn nhất. Tức là $x\ge y\ge 0\,\,;\,\,x\ge z\ge 0$. Với $x\ge y$, kết hợp (1) và (2) $\Rightarrow {{y}^{2}}\ge {{x}^{2}}\Rightarrow y\ge x\Rightarrow x=y$. Với $x\ge z$, kết hợp (1) và (3) $\Rightarrow {{z}^{2}}\ge {{x}^{2}}\Rightarrow z\ge x\Rightarrow x=z$. Từ đó suy ra x = y = z. Do đó (1) $\Leftrightarrow $ x = 2x2 $\Leftrightarrow $ x = 0 hoặc $x=\frac{1}{2}$. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm $\left( 0\,\,;\,\,0\,\,;0 \right),\,\,\left( \frac{1}{2}\,\,;\,\,\frac{1}{2}\,\,;\,\,\frac{1}{2} \right)$. Bài 29: a) Giải phương trình ${{x}^{2}}+4x+7=\left( x+4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+7}$. b) Tìm các số nguyên m để hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & x+y=3m \\ & x-2y=-3 \\ \end{align} \right.$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+xy=30$. Giải: a) Ta có ${{x}^{2}}+4x+7=\left( x+4 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+7}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+7-x\sqrt{{{x}^{2}}+7}-4\sqrt{{{x}^{2}}+7}=0$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+7}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+7}-x \right)-4\left( \sqrt{{{x}^{2}}+7}-x \right)=0 $ $ \Leftrightarrow \left( \sqrt{{{x}^{2}}+7}-x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+7}-4 \right)=0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{{{x}^{2}}+7}-x=0 \\ & \sqrt{{{x}^{2}}+7}-4=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{{{x}^{2}}+7}=x \\ & \sqrt{{{x}^{2}}+7}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}+7={{x}^{2}}\,\,\,(x\ge 0) \\ & {{x}^{2}}+7=16 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=\pm 3 $ Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ -3\,\,;\,\,3 \right\}$. b) Ta có $\left\{ \begin{align} & x+y=3m \\ & x-2y=-3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2x+2y=6m \\ & x-2y=-3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 3x=6m-3 \\ & y=3m-x \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2m-1 \\ & y=m+1 \\ \end{align} \right.$. Thay vào đẳng thức x2 + xy = 30 ta được: (2m – 1)2 + (2m – 1)(m + 1) = 30 $\Leftrightarrow $ 4m2 – 4m + 1 + 2m2 + 2m – m – 1 = 30 $\Leftrightarrow $ 2m2 – m – 10 = 0 Giải ra ta được $m=-2\,\,;\,\,m=\frac{5}{2}$. Vì m là số nguyên nên $m=-2$. Bài 30: a) Giải phương trình $\frac{{{x}^{2}}}{3}+\frac{48}{{{x}^{2}}}=10\left( \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right)$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-2y=0 \\ & {{y}^{2}}+{{x}^{2}}y+2x=0 \\ \end{align} \right.$. Giải: a) ĐKXĐ: $x\ne 0$. Đặt $\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=y\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{16}{{{x}^{2}}}={{y}^{2}}+\frac{8}{3}\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{3}+\frac{48}{{{x}^{2}}}=3{{y}^{2}}+8$. Khi đó phương trình đã cho trở thành: 3y2 + 8 = 10y $\Leftrightarrow $ 3y2 – 10y + 8 = 0. Giải phương trình trên ta được y = 2 hoặc $y=\frac{4}{3}$. · Với y = 2 thì $\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=2\Rightarrow {{x}^{2}}-6x-12=0\Rightarrow x=3\pm \sqrt{21}$ (tmđk). · Với $y=\frac{4}{3}$thì $\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{4}{3}\Rightarrow {{x}^{2}}-4x-12=0\Rightarrow \left[ \begin{align} · & x=6 \\ · & x=-2 \\ · \end{align} \right.$ (tmđk). Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ -2\,\,;\,\,6\,\,;\,\,3-\sqrt{21}\,\,;\,\,3+\sqrt{21} \right\}$. b) Nếu x= 0 thì y = 0, hệ có một nghiệm là $\left\{ \begin{align} & x=0 \\ & y=0 \\ \end{align} \right.$. Nếu $x\ne 0$ thì $\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-2y=0\,\,\,(1) \\ & {{y}^{2}}+{{x}^{2}}y+2x=0\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-2y=0 \\ & x{{y}^{2}}+{{x}^{3}}y+2{{x}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.$. $\Rightarrow {{x}^{3}}y+2y-{{x}^{2}}=0\Rightarrow y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}+2}$ (vì ${{x}^{3}}+2\ne 0$) Thay vào (1) ta được: $3{{x}^{2}}+x{{\left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}+2} \right)}^{2}}-2\left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}+2} \right)=0$ $\begin{align} & \Leftrightarrow 3+\frac{{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{2}}}-\frac{2}{{{x}^{3}}+2}=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{\left( {{x}^{3}}+2 \right)}^{2}}+{{x}^{3}}-2\left( {{x}^{3}}+2 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{6}}+12{{x}^{3}}+12+{{x}^{3}}-2{{x}^{3}}-4=0 \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{6}}+11{{x}^{3}}+8=0 \\ \end{align}$ $\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+1 \right)\left( 3{{x}^{3}}+8 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=-\frac{2}{\sqrt[3]{3}} \\ \end{align} \right.$. Với $x=-1$ thì $y=\frac{{{\left( -1 \right)}^{2}}}{{{\left( -1 \right)}^{3}}+2}=\frac{1}{-1+2}=1$. Với $x=-\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ thì $y=\frac{{{\left( -\frac{2}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{2}}}{{{\left( -\frac{2}{\sqrt[3]{3}} \right)}^{3}}+2}=\frac{\frac{4}{\sqrt[3]{9}}}{-\frac{8}{3}+2}=-\frac{6}{\sqrt[3]{9}}$. Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm $\left( 0\,\,;\,\,0 \right)$; $\left( -1\,\,;\,\,1 \right)$; $\left( -\frac{2}{\sqrt[3]{3}}\,\,;\,\,-\frac{6}{\sqrt[3]{9}} \right)$.
