Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 4: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $2\left( {{x}^{2}}+2 \right)=5\sqrt{{{x}^{3}}+1}$. b*) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}=4{{y}^{3}}-1 \\ & 2{{x}^{2}}+4x+{{y}^{3}}={{y}^{2}}+y-2 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích ĐKXĐ: $x\ge -1$. Ta có $2\left( {{x}^{2}}+2 \right)=5\sqrt{{{x}^{3}}+1}\Leftrightarrow 2\left( {{x}^{2}}+2 \right)=5\sqrt{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}$ Đặt $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=u$ và $\sqrt{x+1}=v$, với $u>0\,\,;\,\,v\ge 0$. Suy ra ${{u}^{2}}+{{v}^{2}}=2$. Ta được phương trình $2\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)=5uv\Leftrightarrow \left( u-2v \right)\left( 2u-v \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & u=2v \\ & v=2u \\ \end{align} \right.$ · Với $u=2v$ thì $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=2\sqrt{x+1}$, giải ra ta được ${{x}_{1}}=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$; ${{x}_{2}}=\frac{5+\sqrt{37}}{2}$. · Với $v=2u$ thì $\sqrt{x+1}=2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$, phương trình vô nghiệm. Kết hợp với ĐKXĐ ta được tập nghiệm của phương trình là \[S=\left\{ \frac{5-\sqrt{37}}{2}\,;\,\,\frac{5+\sqrt{37}}{2} \right\}\]. b) Phương pháp cộng đại số đưa về phương trình cùng bậc $\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}=4{{y}^{3}}-1 \\ & 2{{x}^{2}}+4x+{{y}^{3}}={{y}^{2}}+y-2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}=4{{y}^{3}}-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 6{{x}^{2}}+12x+3{{y}^{3}}=3{{y}^{2}}+3y-6\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Cộng (1) và (2) VTV ta được phương trình ${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x={{y}^{3}}+3{{y}^{2}}+3y-7$ $\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{3}}={{\left( y+1 \right)}^{3}}$ $\Leftrightarrow x+2=y+1$ $\Leftrightarrow x=y-1$ (3) Thay (3) vào (1) ta được phương trình ${{\left( y-1 \right)}^{3}}=4{{y}^{3}}-1\Leftrightarrow 3{{y}^{3}}+3{{y}^{2}}-3y=0\Leftrightarrow 3y\left( {{y}^{2}}+y-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=0 \\ & y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \\ & y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right.$ Từ (3) ta tính được giá trị tương ứng của $x$ là $-1\,\,;\,\,\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\,\,;\,\,\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$. Vậy hệ đã cho có ba nghiệm là $\left( -1\,\,;\,\,0 \right)$, $\left( \frac{-3-\sqrt{5}}{2}\,\,;\,\,\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)$, $\left( \frac{-3+\sqrt{5}}{2}\,\,;\,\,\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)$. Bài 5: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\left( x+5 \right)\sqrt{x+3}={{\left( x+1 \right)}^{3}}+2\left( x+1 \right)$. b*) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & x+y+2\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)=7 \\ & 3\left( x+\frac{2}{y} \right)=xy+\frac{4}{xy}+1 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) Phương pháp biến đổi tương đương đưa về phương trình cùng bậc ĐKXĐ: $x\ge -3$ Ta có $\left( x+5 \right)\sqrt{x+3}={{\left( x+1 \right)}^{3}}+2\left( x+1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x+3} \right)}^{3}}+2\sqrt{x+3}={{\left( x+1 \right)}^{3}}+2\left( x+1 \right)$. Đặt $\sqrt{x+3}=u\ge 0$ và $x+1=v$, khi đó ta được phương trình ${{u}^{3}}+2u={{v}^{3}}+2v\Leftrightarrow \left( u-v \right)\left( {{u}^{2}}-uv+{{v}^{2}}+2 \right)=0$ Ta lại có ${{u}^{2}}-uv+{{v}^{2}}+2={{\left( u-\frac{v}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{v}^{2}}}{4}+2>0$ với mọi $u,v$. Do đó $u-v=0\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow \sqrt{x+3}=x+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x+1\ge 0 \\ & x+3={{\left( x+1 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge -1 \\ & {{x}^{2}}+x-2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=1$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=1$. b) Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ bậc hai quen thuộc ĐKXĐ: $x\ne 0\,\,;\,\,y\ne 0$ Ta có $\left\{ \begin{align} & x+y+2\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)=7 \\ & 3\left( x+\frac{2}{y} \right)=xy+\frac{4}{xy}+1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( x+\frac{2}{y} \right)+\left( y+\frac{2}{x} \right)=7 \\ & 3\left( x+\frac{2}{y} \right)=xy+\frac{4}{xy}+1 \\ \end{align} \right.$ Đặt $x+\frac{2}{y}=u$, $y+\frac{2}{x}=v$. Suy ra $xy+\frac{4}{xy}=uv-4$ Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & u+v=7 \\ & 3u=uv-3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & v=7-u \\ & 3u=u\left( 7-u \right)-3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & v=7-u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{u}^{2}}-4u+3=0\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Giải phương trình (2) ta được ${{u}_{1}}=1$; ${{u}_{2}}=3$. · Với $u=1$, từ (1) suy ra $v=6$, ta có hệ $\left\{ \begin{align} · & x+\frac{2}{y}=1 \\ · & y+\frac{2}{x}=6 \\ · \end{align} \right.$, hệ này vô nghiệm. · Với $u=3$, từ (1) suy ra $v=4$, ta có hệ $\left\{ \begin{align} · & x+\frac{2}{y}=3 \\ · & y+\frac{2}{x}=4 \\ · \end{align} \right.$. Giải hệ này ta được $\left\{ \begin{align} & x=\frac{3-\sqrt{3}}{2} \\ & y=\frac{6-2\sqrt{3}}{3} \\ \end{align} \right.$ ; $\left\{ \begin{align} & x=\frac{3+\sqrt{3}}{2} \\ & y=\frac{6+2\sqrt{3}}{3} \\ \end{align} \right.$ (tmđk $x\ne 0\,\,;\,\,y\ne 0$) Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là $\left\{ \begin{align} & x=\frac{3-\sqrt{3}}{2} \\ & y=\frac{6-2\sqrt{3}}{3} \\ \end{align} \right.$ ; $\left\{ \begin{align} & x=\frac{3+\sqrt{3}}{2} \\ & y=\frac{6+2\sqrt{3}}{3} \\ \end{align} \right.$. Bài 6: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình ${{x}^{2}}-6x+4+2\sqrt{2x-1}=0$. b*) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & x+\frac{1}{y}-\frac{10}{x}=-1 \\ & 20{{y}^{2}}-xy-y=1 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $x\ge \frac{1}{2}$ ${{x}^{2}}-6x+4+2\sqrt{2x-1}=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4=2x-1-2\sqrt{2x-1}+1$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2x-1}-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{2x-1}-1=x-2 \\ & \sqrt{2x-1}-1=-x+2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{2x-1}=x-1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \sqrt{2x-1}=3-x\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Giải phương trình (1) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x-1\ge 0 \\ & 2x-1={{\left( x-1 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge 1 \\ & {{x}^{2}}-4x+2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=2+\sqrt{2}$. Giải phương trình (2) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 3-x\ge 0 \\ & 2x-1={{\left( 3-x \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\le 3 \\ & {{x}^{2}}-8x+10=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=4-\sqrt{6}$. Kết hợp với ĐKXĐ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ 2+\sqrt{2}\,;\,4-\sqrt{6} \right\}$. b) ĐKXĐ: $x\ne 0\,\,;\,y\ne 0$ Ta có $\left\{ \begin{align} & x+\frac{1}{y}-\frac{10}{x}=-1 \\ & 20{{y}^{2}}-xy-y=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x+\frac{1}{y}+1=\frac{10}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & x+\frac{1}{y}+1=20y\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Từ (1) và (2) suy ra $\frac{10}{x}=20y\Leftrightarrow \frac{1}{y}=2x$ (3) Thay (3) vào (1) ta được $3x+1=\frac{10}{x}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+x-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & x=\frac{5}{3} \\ \end{align} \right.$ (tmđkxđ) · Với $x=-2$, từ (3) suy ra $y=-\frac{1}{4}$. · Với $x=\frac{5}{3}$, từ (3) suy ra $y=\frac{3}{10}$. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là $\left( -2\,\,;\,\,-\frac{1}{4} \right)$, $\left( \frac{5}{3}\,\,;\,\,\frac{3}{10} \right)$.
