Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 7: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=1+\sqrt{2x+1}$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & x+\sqrt{y-1}=2 \\ & y+\sqrt{x-1}=2 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $x\ge 1$ Bình phương hai vế ta được $x+3+x-1+2\sqrt{\left( x+3 \right)\left( x-1 \right)}=1+2x+1+2\sqrt{2x+1}$ $\Leftrightarrow \sqrt{\left( x+3 \right)\left( x-1 \right)}=\sqrt{2x+1}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+3x-3=2x+1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x\pm 2$. Vì $x\ge 1$ nên chọn $x=2$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=2$. b) Đây là hệ phương trình đối xứng loại II. Phương pháp chung là xét hiệu VTV. ĐKXĐ: $x\ge 1\,\,;\,\,y\ge 1$ $\left\{ \begin{align} & x+\sqrt{y-1}=2\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & y+\sqrt{x-1}=2\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Lấy (1) trừ (2) VTV ta được $x-y+\sqrt{y-1}-\sqrt{x-1}=0$ $\Leftrightarrow \left( x-y \right)-\left( \sqrt{x-1}-\sqrt{y-1} \right)=0$ $\Leftrightarrow x-y-\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}=0$ $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( 1-\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=y \\ & \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1 \\ \end{align} \right.$ Nếu $x=y$ thì (1) $\Leftrightarrow x+\sqrt{x-1}=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2-x\ge 0 \\ & x-1={{\left( 2-x \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\le 2 \\ & {{x}^{2}}-5x+5=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$. Với $x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$ thì $y=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$. Nếu $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1$ thì kết hợp với (1) ta được $x-\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x-1\ge 0 \\ & x-1={{\left( x-1 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge 1 \\ & \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.$. Với $x=1$ thì $y=2$; Với $x=2$ thì $y=1$. Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm là $\left( 1\,\,;\,\,2 \right)$, $\left( 2\,\,;\,\,1 \right)$, $\left( \frac{5-\sqrt{5}}{2}\,\,;\,\,\frac{5-\sqrt{5}}{2} \right)$. Bài 8: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $x=\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{6-x}+\sqrt{6-x}\sqrt{2-x}$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=3 \\ & {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=9 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $x\le 2$ Đặt $\sqrt{2-x}=a\ge 0$, $\sqrt{3-x}=b\ge 0$, $\sqrt{6-x}=c\ge 0$. Khi đó phương trình đã cho trở thành hệ: $\left\{ \begin{align} & ab+bc+ca=2-{{a}^{2}} \\ & ab+bc+ca=3-{{b}^{2}} \\ & ab+bc+ca=6-{{c}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( a+b \right)\left( a+c \right)=2 \\ & \left( b+c \right)\left( b+a \right)=3 \\ & \left( c+a \right)\left( c+b \right)=6 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( a+b \right)\left( a+c \right)=2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \left( b+c \right)\left( b+a \right)=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ & \left( c+a \right)\left( c+b \right)=6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ & {{\left[ \left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right) \right]}^{2}}=36 \\ \end{align} \right.$ Vì $\a,b,c\ge 0$ nên $\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)=6$ Từ (1), (2) và (3) suy ra $b+c=3$, $c+a=2$ và $a+b=1$. Từ đó tìm được $a=0$, $b=1$ và $c=2$. Do đó $x=2$ (tmđkxđ). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=2$. b) Đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai. Phương pháp chung là khử số hạng tự do để đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai Ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=3 \\ & {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=9 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}+3xy+3{{y}^{2}}=9\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Lấy (1) trừ (2) VTV ta được $2{{x}^{2}}+3xy+{{y}^{2}}=0$ Đặt $y=kx$ với $k\in \mathbb{R}$, ta có phương trình $2{{x}^{2}}+3k{{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{k}^{2}}+3k+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & k=-1 \\ & k=-2 \\ \end{align} \right.$ · Với $x=0$ thì $y=0$ không phải là nghiệm của hệ đã cho. · Với $k=-1$ thì $y=-x$, ta có (2) $\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}$ Khi đó tính được hai giá trị tương ứng của $y$ là $\mp \sqrt{3}$. · Với $k=-2$ thì $y=-2x$, ta có (2) $\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=\pm 1$ Khi đó tính được hai giá trị tương ứng của $y$ là $\mp 2$. Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là $\left( \sqrt{3}\,\,;\,\,-\sqrt{3} \right)$, $\left( -\sqrt{3}\,\,;\,\,\sqrt{3} \right)$, $\left( 1\,\,;\,\,-2 \right)$, $\left( -1\,\,;\,\,2 \right)$. Bài 9: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình ${{x}^{2}}-9x=4\left( \sqrt{x-1}-7 \right)$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & x+\frac{2xy}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}}={{x}^{2}}+y \\ & y+\frac{2xy}{\sqrt{{{y}^{2}}-2y+5}}={{y}^{2}}+x \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) Biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng tổng các bình phương bằng 0. ĐKXĐ: $x\ge 1$ ${{x}^{2}}-9x=4\left( \sqrt{x-1}-7 \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-10x+25 \right)+\left( x-1+4\sqrt{x-1}+4 \right)=0$ $\Leftrightarrow {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{x-1}-2 \right)}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( x-5 \right)}^{2}}=0 \\ & {{\left( \sqrt{x-1}-2 \right)}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x-5=0 \\ & \sqrt{x-1}-2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=5$ (thỏa mãn đkxđ). Vậy $x=5$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. b) Đây là hệ đối xứng loại II. Phương pháp chung là xét hiệu VTV của hai phương trình Vì ${{x}^{2}}-2x+5={{\left( x-1 \right)}^{2}}+4\ge 4$ và ${{y}^{2}}-2y+5={{\left( y-1 \right)}^{2}}+4\ge 4$ với mọi $x,y$. ĐKXĐ: $\forall x,y\in \mathbb{R}$ Cộng VTV 2 phương trình của hệ ta có: $2xy\left( \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}}+\frac{1}{\sqrt{{{y}^{2}}-2y+5}} \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ (*) Vì $\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+4}\ge 2$ và $\sqrt{{{y}^{2}}-2y+5}=\sqrt{{{\left( y-1 \right)}^{2}}+4}\ge 2$ Nên $0<\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}}+\frac{1}{\sqrt{{{y}^{2}}-2y+5}}\le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ Do đó từ (*) suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 2xy\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow x=y$ Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành $\frac{2{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}=0 \\ & \sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$ (tmđkxđ). Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là $\left( 0\,\,;\,\,0 \right)$, $\left( 1\,\,;\,\,1 \right)$. Nhận xét: Đây là hệ đối xứng loại II nhưng lời giải không dựa theo phương pháp thông thường là xét hiệu mà lại xét tổng rồi áp dụng bất đẳng thức.
