Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 10: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\sqrt[3]{4x-1}-\sqrt{x-3}=1$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}+2{{y}^{2}}={{x}^{2}}y+2xy \\ & \sqrt{{{x}^{2}}-2y+1}+\sqrt{y+4}=4 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $x\ge 3$ Đặt $\sqrt[3]{4x-1}=u$ và $\sqrt{x-3}=v\ge 0$. Suy ra ${{u}^{3}}-4{{v}^{2}}=11$. Khi đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & u-v=1 \\ & {{u}^{3}}-4{{v}^{2}}=11 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & v=u-1 \\ & {{u}^{3}}-4{{\left( u-1 \right)}^{2}}=11 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & v=u-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{u}^{3}}-4{{u}^{2}}+8u-15=0\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Giải phương trình (2): ${{u}^{3}}-4{{u}^{2}}+8u-15=0\Leftrightarrow \left( u-3 \right)\left( {{u}^{2}}-u+5 \right)=0$ Vì ${{u}^{2}}-u+5={{\left( u-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{19}{4}>0$ với mọi $u$ nên $u-3=0\Leftrightarrow u=3$, suy ra $v=2$ (tmđk). Khi đó ta có hệ $\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{4x-1}=3 \\ & \sqrt{x-3}=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4x-1=27 \\ & x-3=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=7$ (tmđkxđ). Vậy $x=7$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Nhận xét: - Nghiệm nguyên nếu có của phương trình bậc ba dạng ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$ (1) là ước của hệ số tự do $c$, trong đó $a,b,c$ là các hệ số nguyên. - Sau khi nhẩm được một nghiệm nguyên chẳng hạn là ${{x}_{0}}$ thì phương trình (1) sẽ viết được dưới dạng $\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}^{2}}+mx+n \right)=0$, việc xác định các hệ số $m,n$ ta có thể dùng sơ đồ Hooc-ner cho nhanh. b) ĐKXĐ: ${{x}^{2}}\ge 2y-1$ và $y\ge -4$ $\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}+2{{y}^{2}}={{x}^{2}}y+2xy \\ & \sqrt{{{x}^{2}}-2y+1}+\sqrt{y+4}=4 \\ \end{align} \right.$ Ta có:${{x}^{3}}+2{{y}^{2}}={{x}^{2}}y+2xy\Leftrightarrow {{x}^{3}}+2{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y-2xy=0\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}-2y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=y \\ & {{x}^{2}}=2y \\ \end{align} \right.$ Trường hợp 1: $x=y$ Phương trình thứ hai của hệ trở thành $\sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}+\sqrt{x+4}=4\Leftrightarrow \left| x-1 \right|+\sqrt{x+4}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{x+4}=5-x\,\,\,\,\left( x\ge 1 \right) \\ & \sqrt{x+4}=3+x\,\,\,\,\left( -4\le x\le 1 \right) \\ \end{align} \right.$ Giải phương trình $\sqrt{x+4}=5-x\,\,\,\,\,\left( x\ge 1 \right)$ ta được $x=\frac{11-\sqrt{37}}{2}$ (tmđk $1\le x\le 5$) Giải phương trình $\sqrt{x+4}=x+3\,\,\,\,\left( -4\le x\le 1 \right)$ ta được $x=\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$ (tmđk $-3\le x\le 1$) Trường hợp 2: ${{x}^{2}}=2y$ Phương trình thứ hai của hệ trở thành $1+\sqrt{y+4}=4\Leftrightarrow \sqrt{y+4}=3\Leftrightarrow y+4=9\Leftrightarrow y=5$ (tmđkxđ). Khi đó tính được $x=\pm \sqrt{10}$. Vậy hệ có 4 nghiệm là $\left( \frac{11-\sqrt{37}}{2};\,\frac{11-\sqrt{37}}{2} \right)$, $\left( \frac{-5+\sqrt{5}}{2};\,\frac{-5+\sqrt{5}}{2} \right)$, $\left( \sqrt{10}\,;\,5 \right)$, $\left( -\sqrt{10}\,;\,5 \right)$. Bài 11: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình ${{x}^{2}}+6x+2+\sqrt{{{x}^{4}}+4}=0$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & \left( 3-\frac{6}{x+y} \right)\sqrt{2y}=4 \\ & \left( 3+\frac{6}{x+y} \right)\sqrt{x}=8 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) Ta có ${{x}^{4}}+4=\left( {{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+4 \right)-4{{x}^{2}}=\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)$ Phương trình đã cho tương đương với ${{x}^{2}}+6x+2+\sqrt{{{x}^{4}}+4}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x+2+\sqrt{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}=0$ Đặt $\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}=u>0$ và $\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}=v>0$, suy ra $2{{u}^{2}}-{{v}^{2}}={{x}^{2}}+6x+2$ Ta có phương trình $2{{u}^{2}}-{{v}^{2}}+uv=0\Leftrightarrow \left( 2u-v \right)\left( u+v \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & v=2u \\ & v=-u \\ \end{align} \right.$ Trường hợp 1: $v=2u$ $\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}=2\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+10x+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{-5-\sqrt{7}}{3} \\ & x=\frac{-5+\sqrt{7}}{3} \\ \end{align} \right.$ Trường hợp 2: $v=-u$ không thể xảy ra, vì $u,v>0$. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ \frac{-5-\sqrt{7}}{3}\,\,;\,\,\frac{-5+\sqrt{7}}{3} \right\}$. b) ĐKXĐ: $x,y>0$ Ta có $\left\{ \begin{align} & \left( 3-\frac{6}{x+y} \right)\sqrt{2y}=4 \\ & \left( 3+\frac{6}{x+y} \right)\sqrt{x}=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 3-\frac{6}{x+y}=\frac{4}{\sqrt{2y}} \\ & 3+\frac{6}{x+y}=\frac{8}{\sqrt{x}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{2y}}=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{2y}}=\frac{6}{x+y}\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Nhân (1) và (2) VTV ta được $\frac{8}{x}-\frac{1}{y}=\frac{9}{x+y}\Leftrightarrow \left( 2x-y \right)\left( 4y+x \right)=0$ Vì $x,y>0$ nên $2x-y=0\Leftrightarrow y=2x$ (3). Thay (3) vào (1) ta được $\frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{4x}}=3\,\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=3\Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{x}}=3\Leftrightarrow x=\frac{25}{9}$ (tmđkxđ). Thay $x=\frac{25}{9}$ vào (3) tính được $y=\frac{50}{9}$ (tmđkxđ). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( \frac{25}{9}\,\,;\,\,\frac{50}{9} \right)$. Bài 12: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $4\sqrt{x+3}=1+4x+\frac{2}{x}$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{3}}=1 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{5}}={{x}^{3}}+{{y}^{2}} \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $x\ge -3$ và $x\ne 0$. Ta có $4\sqrt{x+3}=1+4x+\frac{2}{x}$ $\Leftrightarrow 4x\sqrt{x+3}=4{{x}^{2}}+x+2$ $\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-4x\sqrt{x+3}+x+3=1$ $\Leftrightarrow {{\left( 2x-\sqrt{x+3} \right)}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x-\sqrt{x+3}=1 \\ & 2x-\sqrt{x+3}=-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{x+3}=2x-1\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \sqrt{x+3}=2x+1\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Giải phương trình (1) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2x-1\ge 0 \\ & x+3={{\left( 2x-1 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge \frac{1}{2} \\ & 4{{x}^{2}}-5x-2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{57}}{8}$ (tmđk). Giải phương trình (2) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2x+1\ge 0 \\ & x+3={{\left( 2x+1 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge -\frac{1}{2} \\ & 4{{x}^{2}}+3x-2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}$ (tmđk). Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ \frac{5+\sqrt{57}}{8}\,\,;\,\,\frac{-3+\sqrt{41}}{8} \right\}$. b) Ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{3}}=1 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{5}}={{x}^{3}}+{{y}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}=1-{{y}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}\left( 1-x \right)={{y}^{2}}\left( 1-{{y}^{3}} \right)\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Thay (1) vào (2) ta được ${{x}^{2}}\left( 1-x \right)={{y}^{2}}{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}=0 \\ & 1-x={{y}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1-{{y}^{2}} \\ \end{align} \right.$ · Với $x=0$, từ (1) suy ra ${{y}^{3}}=1\Leftrightarrow y=1$. · Với $x=1-{{y}^{2}}$, từ (1) suy ra ${{\left( 1-{{y}^{2}} \right)}^{2}}=1-{{y}^{3}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}\left( y-1 \right)\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} · & y=0 \\ · & y=1 \\ · & y=-2 \\ · \end{align} \right.$ Từ đó tính được các giá trị tương ứng của $x$ là $1\,\,;\,\,0\,\,;\,\,-3$. Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm là $\left( 0\,\,;\,\,1 \right)$, $\left( 1\,\,;\,\,0 \right)$, $\left( -3\,\,;\,\,-2 \right)$.
