Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 13: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $x\left( \sqrt{x}+\sqrt{2-x} \right)={{x}^{2}}+1$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & \sqrt{x}+\sqrt{x-2}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-3} \\ & \sqrt{x+y+2}+\sqrt{x+y-3}=5 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $0\le x\le 2$ Dễ thấy $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Chia cả hai vế cho $x>0$, ta được phương trình $\sqrt{x}+\sqrt{2-x}=x+\frac{1}{x}$ (*) Ta có VT = $\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( x+2-x \right)}=2$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x}=\sqrt{2-x}\Leftrightarrow x=2-x\Leftrightarrow x=1$ (tmđkxđ) (1) Ta có VP = $x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & x=\frac{1}{x} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x>0 \\ & {{x}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=1$ (tmđkxđ) (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất là $x=1$. b) ĐKXĐ: $x\ge 2$ và $y\ge 3$ $\left\{ \begin{align} & \sqrt{x}+\sqrt{x-2}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-3}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \sqrt{x+y+2}+\sqrt{x+y-3}=5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( \sqrt{x}-\sqrt{y-1} \right)+\left( \sqrt{x-2}-\sqrt{y-3} \right)=0$ $\Leftrightarrow \frac{x-y+1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+\frac{x-y+1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}}=0$ $\Leftrightarrow \left( x-y+1 \right)\left( \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}} \right)=0$ $\Leftrightarrow x-y+1=0$ (Vì $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}}>0$) $\Leftrightarrow y=x+1$ Thay vào phương trình (2) ta được $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-2}=5\,\,$ $\Leftrightarrow 2x+3+2x-2+2\sqrt{\left( 2x+3 \right)\left( 2x-2 \right)}=25\,\,$ $\Leftrightarrow \sqrt{\left( 2x+3 \right)\left( 2x-2 \right)}=12-2x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 12-2x\ge 0 \\ & \left( 2x+3 \right)\left( 2x-2 \right)={{\left( 12-2x \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\le 6 \\ & 50x=150 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=3$ (tmđkxđ). Khi đó tính được $y=4$ (tmđkxđ). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( 3\,\,;\,\,4 \right)$. Bài 14: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\sqrt{8x+1}+\sqrt{2x+2}=6+7x-8{{x}^{2}}$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & 2{{\left( 1+x\sqrt{y} \right)}^{2}}=9y\sqrt{x} \\ & 2{{\left( 1+y\sqrt{x} \right)}^{2}}=9x\sqrt{y} \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $x\ge -\frac{1}{8}$ $\sqrt{8x+1}+\sqrt{2x+2}=6+7x-8{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left( \sqrt{8x+1}-3 \right)+\left( \sqrt{2x+2}-2 \right)=1+7x-8{{x}^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{8x-8}{\sqrt{8x+1}+3}+\frac{2x-2}{\sqrt{2x+2}+2}=\left( 1-x \right)\left( 1+8x \right)$ $\Leftrightarrow \frac{8\left( x-1 \right)}{\sqrt{8x+1}+3}+\frac{2\left( x-1 \right)}{\sqrt{2x+2}+2}+\left( x-1 \right)\left( 1+8x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ \frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}+\frac{2}{\sqrt{2x+2}+2}+1+8x \right]=0$ Vì $x\ge -\frac{1}{8}$ nên $\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}+\frac{2}{\sqrt{2x+2}+2}+1+8x>0$ nên $x-1=0\Leftrightarrow x=1$ (tmđkxđ). Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. b) ĐKXĐ: $x\ge 0$ và $y\ge 0$. $\left\{ \begin{align} & 2{{\left( 1+x\sqrt{y} \right)}^{2}}=9y\sqrt{x} \\ & 2{{\left( 1+y\sqrt{x} \right)}^{2}}=9x\sqrt{y} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2+2{{x}^{2}}y+4x\sqrt{y}=9y\sqrt{x}\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 2+2{{y}^{2}}x+4y\sqrt{x}=9x\sqrt{y}\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Lấy (1) trừ (2) VTV ta được $2xy\left( x-y \right)+4\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)=9\sqrt{xy}\left( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right)$ $\Leftrightarrow 2xy\left( x-y \right)+13\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)=0$ $\Leftrightarrow \sqrt{xy}\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)\left[ \sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)+13 \right]=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{xy}=0 \\ & \sqrt{x}-\sqrt{y}=0 \\ \end{align} \right.$ (vì $x,y\ge 0$ nên $\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)+13>0$) $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & y=0 \\ & x=y \\ \end{align} \right.$ · Với $x=0$ hoặc $y=0$ thì hệ vô nghiệm. · Với $x=y$ thì (1) trở thành $2+2{{x}^{3}}+4x\sqrt{x}=9x\sqrt{x}\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-5x\sqrt{x}+2=0$ (*) Đặt $x\sqrt{x}=t\ge 0$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}={{t}^{2}}$, thì (*) trở thành $2{{t}^{2}}-5t+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2 \\ & t=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$ (tmđk). · Với $t=2$ thì $x\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{4}$, khi đó $y=\sqrt[3]{4}$. · Với $t=\frac{1}{2}$ thì $x\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, khi đó $y=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là $\left( \sqrt[3]{4}\,\,;\,\,\sqrt[3]{4} \right)$, $\left( \sqrt[3]{\frac{1}{4}}\,\,;\,\,\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \right)$. Bài 15: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2{{x}^{2}}}=2\sqrt{x-{{x}^{2}}}$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}-{{y}^{3}}=9\left( x+y \right) \\ & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=3 \\ \end{align} \right.$ . Lời giải: a) ĐKXĐ: $\frac{1}{2}\le x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$. Đặt $\sqrt{2x-1}=u\ge 0$ và $\sqrt{1-2{{x}^{2}}}=v\ge 0$, suy ra ${{u}^{2}}+{{v}^{2}}=2\left( x-{{x}^{2}} \right)$ Do đó phương trình đã cho trở thành $u+v=2\sqrt{\frac{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}}{2}}\Leftrightarrow {{\left( u+v \right)}^{2}}=2\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{\left( u-v \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow u=v$ Tức là $\sqrt{2x-1}=\sqrt{1-2{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 2x-1=1-2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \\ & x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right.$ Kết hợp với ĐKXĐ ta chọn $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ là nghiệm của phương trình đã cho. b) $\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}-{{y}^{3}}=9\left( x+y \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Thay (2) vào (1) ta được ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=3\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)$ $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)=3\left( x-y \right){{\left( x+y \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( 2{{x}^{2}}+5xy+2{{y}^{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( 2x+y \right)\left( x+2y \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=y \\ & y=-2x \\ & x=-2y \\ \end{align} \right.$ Trường hợp 1: $x=y$ không thỏa mãn phương trình (2) của hệ. Trường hợp 2: $y=-2x$ thì (2) trở thành ${{x}^{2}}-4{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-1$ phương trình vô nghiệm. Trường hợp 3: $y=-2x$ thì (2) trở thành $4{{y}^{2}}-{{y}^{2}}=3\Leftrightarrow {{y}^{2}}=1\Leftrightarrow y=\pm 1$. Khi đó tính được $x=\mp \frac{1}{2}$. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là $\left( -\frac{1}{2}\,\,;\,\,1 \right)$, $\left( \frac{1}{2}\,\,;\,\,-1 \right)$.