Phương trình và hệ phương trình chọn lọc _ Kì 5

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC
    --------- ---------

    Bài 13:
    Giải phương trình và hệ phương trình sau:
    a) Giải phương trình $x\left( \sqrt{x}+\sqrt{2-x} \right)={{x}^{2}}+1$.
    b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align}
    & \sqrt{x}+\sqrt{x-2}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-3} \\
    & \sqrt{x+y+2}+\sqrt{x+y-3}=5 \\
    \end{align} \right.$.
    Lời giải:
    a) ĐKXĐ: $0\le x\le 2$
    Dễ thấy $x=0$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
    Chia cả hai vế cho $x>0$, ta được phương trình $\sqrt{x}+\sqrt{2-x}=x+\frac{1}{x}$ (*)
    Ta có VT = $\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( x+2-x \right)}=2$
    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x}=\sqrt{2-x}\Leftrightarrow x=2-x\Leftrightarrow x=1$ (tmđkxđ) (1)
    Ta có VP = $x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2$
    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}
    & x>0 \\
    & x=\frac{1}{x} \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & x>0 \\
    & {{x}^{2}}=1 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=1$ (tmđkxđ) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất là $x=1$.

    b) ĐKXĐ: $x\ge 2$ và $y\ge 3$
    $\left\{ \begin{align}
    & \sqrt{x}+\sqrt{x-2}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-3}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\
    & \sqrt{x+y+2}+\sqrt{x+y-3}=5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\
    \end{align} \right.$
    Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( \sqrt{x}-\sqrt{y-1} \right)+\left( \sqrt{x-2}-\sqrt{y-3} \right)=0$
    $\Leftrightarrow \frac{x-y+1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+\frac{x-y+1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}}=0$
    $\Leftrightarrow \left( x-y+1 \right)\left( \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}} \right)=0$
    $\Leftrightarrow x-y+1=0$ (Vì $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-3}}>0$)
    $\Leftrightarrow y=x+1$
    Thay vào phương trình (2) ta được
    $\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-2}=5\,\,$
    $\Leftrightarrow 2x+3+2x-2+2\sqrt{\left( 2x+3 \right)\left( 2x-2 \right)}=25\,\,$
    $\Leftrightarrow \sqrt{\left( 2x+3 \right)\left( 2x-2 \right)}=12-2x$
    $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & 12-2x\ge 0 \\
    & \left( 2x+3 \right)\left( 2x-2 \right)={{\left( 12-2x \right)}^{2}} \\
    \end{align} \right.$
    $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & x\le 6 \\
    & 50x=150 \\
    \end{align} \right.\Leftrightarrow x=3$ (tmđkxđ). Khi đó tính được $y=4$ (tmđkxđ).
    Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( 3\,\,;\,\,4 \right)$.


    Bài 14:
    Giải phương trình và hệ phương trình sau:
    a) Giải phương trình $\sqrt{8x+1}+\sqrt{2x+2}=6+7x-8{{x}^{2}}$.
    b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align}
    & 2{{\left( 1+x\sqrt{y} \right)}^{2}}=9y\sqrt{x} \\
    & 2{{\left( 1+y\sqrt{x} \right)}^{2}}=9x\sqrt{y} \\
    \end{align} \right.$.
    Lời giải:
    a) ĐKXĐ: $x\ge -\frac{1}{8}$
    $\sqrt{8x+1}+\sqrt{2x+2}=6+7x-8{{x}^{2}}$
    $\Leftrightarrow \left( \sqrt{8x+1}-3 \right)+\left( \sqrt{2x+2}-2 \right)=1+7x-8{{x}^{2}}$
    $\Leftrightarrow \frac{8x-8}{\sqrt{8x+1}+3}+\frac{2x-2}{\sqrt{2x+2}+2}=\left( 1-x \right)\left( 1+8x \right)$
    $\Leftrightarrow \frac{8\left( x-1 \right)}{\sqrt{8x+1}+3}+\frac{2\left( x-1 \right)}{\sqrt{2x+2}+2}+\left( x-1 \right)\left( 1+8x \right)=0$
    $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ \frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}+\frac{2}{\sqrt{2x+2}+2}+1+8x \right]=0$
    Vì $x\ge -\frac{1}{8}$ nên $\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}+\frac{2}{\sqrt{2x+2}+2}+1+8x>0$ nên $x-1=0\Leftrightarrow x=1$ (tmđkxđ).
    Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

    b) ĐKXĐ: $x\ge 0$ và $y\ge 0$.
    $\left\{ \begin{align}
    & 2{{\left( 1+x\sqrt{y} \right)}^{2}}=9y\sqrt{x} \\
    & 2{{\left( 1+y\sqrt{x} \right)}^{2}}=9x\sqrt{y} \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & 2+2{{x}^{2}}y+4x\sqrt{y}=9y\sqrt{x}\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\
    & 2+2{{y}^{2}}x+4y\sqrt{x}=9x\sqrt{y}\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\
    \end{align} \right.$
    Lấy (1) trừ (2) VTV ta được
    $2xy\left( x-y \right)+4\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)=9\sqrt{xy}\left( \sqrt{y}-\sqrt{x} \right)$
    $\Leftrightarrow 2xy\left( x-y \right)+13\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)=0$
    $\Leftrightarrow \sqrt{xy}\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)\left[ \sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)+13 \right]=0$
    $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & \sqrt{xy}=0 \\
    & \sqrt{x}-\sqrt{y}=0 \\
    \end{align} \right.$ (vì $x,y\ge 0$ nên $\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)+13>0$)
    $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & x=0 \\
    & y=0 \\
    & x=y \\
    \end{align} \right.$
    · Với $x=0$ hoặc $y=0$ thì hệ vô nghiệm.
    · Với $x=y$ thì (1) trở thành $2+2{{x}^{3}}+4x\sqrt{x}=9x\sqrt{x}\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-5x\sqrt{x}+2=0$ (*)
    Đặt $x\sqrt{x}=t\ge 0$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}={{t}^{2}}$, thì (*) trở thành $2{{t}^{2}}-5t+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & t=2 \\
    & t=\frac{1}{2} \\
    \end{align} \right.$ (tmđk).
    · Với $t=2$ thì $x\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{4}$, khi đó $y=\sqrt[3]{4}$.
    · Với $t=\frac{1}{2}$ thì $x\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, khi đó $y=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$.
    Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là $\left( \sqrt[3]{4}\,\,;\,\,\sqrt[3]{4} \right)$, $\left( \sqrt[3]{\frac{1}{4}}\,\,;\,\,\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \right)$.


    Bài 15:
    Giải phương trình và hệ phương trình sau:
    a) Giải phương trình $\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2{{x}^{2}}}=2\sqrt{x-{{x}^{2}}}$.
    b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align}
    & {{x}^{3}}-{{y}^{3}}=9\left( x+y \right) \\
    & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=3 \\
    \end{align} \right.$ .
    Lời giải:
    a) ĐKXĐ: $\frac{1}{2}\le x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$.
    Đặt $\sqrt{2x-1}=u\ge 0$ và $\sqrt{1-2{{x}^{2}}}=v\ge 0$, suy ra ${{u}^{2}}+{{v}^{2}}=2\left( x-{{x}^{2}} \right)$
    Do đó phương trình đã cho trở thành
    $u+v=2\sqrt{\frac{{{u}^{2}}+{{v}^{2}}}{2}}\Leftrightarrow {{\left( u+v \right)}^{2}}=2\left( {{u}^{2}}+{{v}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{\left( u-v \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow u=v$
    Tức là $\sqrt{2x-1}=\sqrt{1-2{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 2x-1=1-2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \\
    & x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
    \end{align} \right.$
    Kết hợp với ĐKXĐ ta chọn $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ là nghiệm của phương trình đã cho.

    b) $\left\{ \begin{align}
    & {{x}^{3}}-{{y}^{3}}=9\left( x+y \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\
    & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\
    \end{align} \right.$
    Thay (2) vào (1) ta được
    ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}=3\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)$
    $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)=3\left( x-y \right){{\left( x+y \right)}^{2}}$
    $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( 2{{x}^{2}}+5xy+2{{y}^{2}} \right)=0$
    $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( 2x+y \right)\left( x+2y \right)=0$
    $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & x=y \\
    & y=-2x \\
    & x=-2y \\
    \end{align} \right.$
    Trường hợp 1: $x=y$ không thỏa mãn phương trình (2) của hệ.
    Trường hợp 2: $y=-2x$ thì (2) trở thành ${{x}^{2}}-4{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-1$ phương trình vô nghiệm.
    Trường hợp 3: $y=-2x$ thì (2) trở thành $4{{y}^{2}}-{{y}^{2}}=3\Leftrightarrow {{y}^{2}}=1\Leftrightarrow y=\pm 1$.
    Khi đó tính được $x=\mp \frac{1}{2}$.
    Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là $\left( -\frac{1}{2}\,\,;\,\,1 \right)$, $\left( \frac{1}{2}\,\,;\,\,-1 \right)$.