Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 16: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $4{{x}^{2}}+12x\sqrt{x+1}=27\left( x+1 \right)$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=9 \\ & {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=x+4y \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $x\ge -1$. $4{{x}^{2}}+12x\sqrt{x+1}=27\left( x+1 \right)$ $\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+12x\sqrt{x+1}+9\left( x+1 \right)=36\left( x+1 \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( 2x+3\sqrt{x+1} \right)}^{2}}={{\left( 6\sqrt{x+1} \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x+3\sqrt{x+1}=6\sqrt{x+1} \\ & 2x+3\sqrt{x+1}=-6\sqrt{x+1} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3\sqrt{x+1}=2x\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 9\sqrt{x+1}=-2x\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Giải phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge 0 \\ & 9\left( x+1 \right)=4{{x}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge 0 \\ & 4{{x}^{2}}-9x-9=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=3$. Giải phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\le 0 \\ & 81\left( x+1 \right)=4{{x}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\le 0 \\ & 4{{x}^{2}}-81x-81=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=\frac{81-9\sqrt{97}}{8}$. Kết hợp với ĐKXĐ ta chọn $x=3$ là nghiệm của phương trình đã cho. b) $\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=x+4y\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}-1 \right)+\left( {{y}^{3}}-8 \right)=0$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{3}}+3x\left( x-1 \right)+{{\left( y-2 \right)}^{3}}+6y\left( y-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{3}}+{{\left( y-2 \right)}^{3}}+3\left[ x\left( x-1 \right)+2y\left( y-2 \right) \right]=0$ (*) Ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+2{{y}^{2}}-4y=0$ $\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)+2y\left( y-2 \right)=0$ (**) Từ (*) và (**) ta được ${{\left( x-1 \right)}^{3}}+{{\left( y-2 \right)}^{3}}=0\Leftrightarrow x=3-y\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$ Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( 3-y \right)}^{3}}+{{y}^{3}}=9$ $\Leftrightarrow {{y}^{2}}-3y+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=1 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.$ Do đó từ (3) tính được $x=2$ hoặc $x=1$. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là $\left( 2\,\,;\,\,1 \right)$, $\left( 1\,\,;\,\,2 \right)$. Bài 17: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $2\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}=\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} \right)\left( 2-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & x+y=\sqrt{x+3y} \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $-1\le x\le 1$. $2\left( x+1 \right)\sqrt{x+1}=\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} \right)\left( 2-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$ $\Leftrightarrow 2{{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{3}}=\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x} \right)\left[ {{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}}-\sqrt{x+1}.\sqrt{1-x}+{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{2}} \right]$ $\Leftrightarrow 2{{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{3}}={{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{3}}+{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{3}}={{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}$ $\Leftrightarrow x+1=1-x$ $\Leftrightarrow x=0$ (tmđkxđ). Vậy $x=0$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. b) ĐKXĐ: $x+3y\ge 0$. $\left\{ \begin{align} & x+y=\sqrt{x+3y} \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( x+y \right)}^{2}}=x+3y \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=x+3y-xy\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Từ (1) và (2) suy ra $x+3y-xy=3$ $\Leftrightarrow xy-x-3y+3=0$ $\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( y-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3 \\ & y=1 \\ \end{align} \right.$ Nếu $x=3$ thì (2) trở thành ${{y}^{2}}+3y+6=0$, phương trình này vô nghiệm. Nếu $y=1$ thì (2) trở thành ${{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.$ (tmđkxđ). Vậy hệ đã cho có hai nghiệm $\left( x;y \right)$ là $\left( 1\,\,;\,\,1 \right)$, $\left( -2\,\,;\,\,1 \right)$. Bài 18: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $2{{x}^{2}}+6=10x-\sqrt{5x-{{x}^{2}}}$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+xy=2x+4y-1 \\ & xy+x+2y=1 \\ \end{align} \right.$. Lời giải: a) ĐKXĐ: $0\le x\le 5$. $2{{x}^{2}}+6=10x-\sqrt{5x-{{x}^{2}}}$ $\Leftrightarrow 10x-2{{x}^{2}}-\sqrt{5x-{{x}^{2}}}-6=0$ $\Leftrightarrow 2\left( 5x-{{x}^{2}} \right)-\sqrt{5x-{{x}^{2}}}-6=0$ Đặt $\sqrt{5x-{{x}^{2}}}=t\ge 0$, ta có phương trình $2{{t}^{2}}-t-6=0\Leftrightarrow t=-\frac{3}{2}$ (loại) hoặc $t=2$ (nhận). Với $t=2$ thì $\sqrt{5x-{{x}^{2}}}=2$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{5-\sqrt{17}}{2} \\ & x=\frac{5+\sqrt{17}}{2} \\ \end{align} \right.$ (tmđkxđ). Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ \frac{5-\sqrt{17}}{2}\,;\frac{5+\sqrt{17}}{2} \right\}$. b) $\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+xy=2x+4y-1 \\ & xy+x+2y=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+xy=2x+4y-1\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 2xy+2x+4y=2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Cộng (1) và (2) VTV ta được ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+3xy=1$ $\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)+3xy-1=0$ $\Leftrightarrow \left( x+y-1 \right)\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}+\left( x+y \right)+1-3xy \right]=0$ $\Leftrightarrow \left( x+y-1 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+x+y+1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( x+y-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-2xy+2x+2y+2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( x+y-1 \right)\left[ {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}} \right]=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+y-1=0 \\ & {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=1-x \\ & x=y=-1 \\ \end{align} \right.$ Trường hợp 1: $x=y=-1$ không là nghiệm của hệ đã cho. Trường hợp 2: $y=1-x$ Khi đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow x\left( 1-x \right)+x+2\left( 1-x \right)=1$ $\Leftrightarrow x-{{x}^{2}}+x+2-2x=1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow x=\pm 1$. Từ đó tính được $y=0$ hoặc $y=2$. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là $\left( 1\,\,;\,\,0 \right)$, $\left( -1\,\,;\,\,2 \right)$.
