Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 19: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\frac{1}{{{x}^{2}}}+\sqrt{x+2}=\frac{1}{x}+\sqrt{2x+1}$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & x-3y=\frac{4y}{x} \\ & y-3x=\frac{4x}{y} \\ \end{align} \right.$. Giải: a) ĐKXĐ: $x\ge -\frac{1}{2}$ và $x\ne 0$. Ta có $\frac{1}{{{x}^{2}}}+\sqrt{x+2}=\frac{1}{x}+\sqrt{2x+1}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=0 $ $ \Leftrightarrow \frac{x-1}{{{x}^{2}}}+\frac{\left( 2x+1 \right)-\left( x+2 \right)}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}=0 $ $ \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}} \right)=0 $ Vì $\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}>0$ nên $x-1=0$ $\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn đkxđ). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=1$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & x-3y=\frac{4y}{x} \\ & y-3x=\frac{4x}{y} \\ \end{align} \right.$. Đây là hệ phương trình đối xứng loại II. ĐKXĐ: $x\ne 0;\,\,y\ne 0$. Ta có: $\left\{ \begin{align} & x-3y=\frac{4y}{x} \\ & y-3x=\frac{4x}{y} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-3xy=4y\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{y}^{2}}-3xy=4x\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4y-4x$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+4x-4y=0$ $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( x+y+4 \right)=0$. Trường hợp 1: $\left\{ \begin{align} & x-y=0 \\ & {{x}^{2}}-3xy=4y \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=y \\ & {{x}^{2}}-3{{x}^{2}}=4x \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=y \\ & 2{{x}^{2}}+4x=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=y=-2$ (vì $x\ne 0$). Trường hợp 2: $\left\{ \begin{align} & x+y+4=0 \\ & {{x}^{2}}-3xy=4y \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & y=-x-4 \\ & {{x}^{2}}-3x\left( -x-4 \right)=4\left( -x-4 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & y=-x-4 \\ & {{x}^{2}}+4x+4=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-2 \\ & y=-2 \\ \end{align} \right.$. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x;y \right)=\left( -2;-2 \right)$. Bài 20: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{7}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{x-\frac{7}{{{x}^{2}}}}=x$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & x\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=10y \\ & 2y\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)=3x \\ \end{align} \right.$. Giải: a) ĐKXĐ: $x\ge \sqrt[3]{7}$. Đặt $\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{7}{{{x}^{2}}}}=a\,;\,\,\sqrt{x-\frac{7}{{{x}^{2}}}}=b$ với điều kiện $a,b\ge 0$. Khi đó ${{a}^{2}}={{x}^{2}}-\frac{7}{{{x}^{2}}}\,;\,\,{{b}^{2}}=x-\frac{7}{{{x}^{2}}}$ $\Rightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{x}^{2}}-x$. Do đó ta được: $\left\{ \begin{align} & a+b=x \\ & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{x}^{2}}-x \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a+b=x \\ & \left( a+b \right)\left( a-b \right)=x\left( x-1 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a+b=x \\ & a-b=x-1 \\ \end{align} \right.$ Từ đó suy ra: $2b=1$ $\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}$. Do đó $\sqrt{x-\frac{7}{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x-\frac{7}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-28=0$ $\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 4{{x}^{2}}+7x+14 \right)=0$ (*) Phương trình $4{{x}^{2}}+7x+14=0$ có $\Delta ={{7}^{2}}-4.4.14=49-224<0$ nên vô nghiệm. Từ (*) suy ra $x-2=0\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn đkxđ). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $x=2$. b) Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{align} & x\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=10y\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 2y\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)=3x\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$. Dễ thấy $\left( x;y \right)=\left( 0;0 \right)$ là một nghiệm của hệ phương trình. Nếu $x\ne 0$ thì $y\ne 0$. Khi đó chia phương trình (2) cho phương trình (1) vế theo vế ta được $\frac{2y}{x}.\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{3}{10}.\frac{x}{y}$ $\Leftrightarrow \frac{2y}{x}.\frac{\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}-1}{\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+1}=\frac{3}{10}.\frac{x}{y}$. Đặt $\frac{x}{y}=t\ne 0\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1}{t}$ ta được phương trình: $\frac{2}{t}.\frac{{{t}^{2}}-1}{{{t}^{2}}+1}=\frac{3t}{10}$ $\Leftrightarrow 3{{t}^{4}}-17{{t}^{2}}+20=0$. Đặt ${{t}^{2}}=k>0\Rightarrow {{t}^{4}}={{k}^{2}}$ ta được phương trình: $3{{k}^{2}}-17k+20=0$. Giải phương trình trên ta được $k=\frac{5}{3}$; $k=4$ (tmđk). · Nếu $k=\frac{5}{3}$ thì ${{t}^{2}}=\frac{5}{3}$ $\Leftrightarrow t=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$ $\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$ $\Leftrightarrow x=\pm \frac{y\sqrt{15}}{3}$. · Nếu $k=4$ thì ${{t}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow t=\pm 2$ $\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\pm 2$ $\Leftrightarrow x=\pm 2y$. Đến đây bạn đọc tự giải. Bài 21: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x}$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & 2{{x}^{2}}-xy=1 \\ & 4{{x}^{2}}+4xy-{{y}^{2}}=7 \\ \end{align} \right.$. Giải: a) ĐKXĐ: $x<0$hoặc $x\ge 1$. Ta có $\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x}$ $ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{{{x}^{2}}-1}{x}}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}-\frac{x-1}{x}=0 $ $ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x-1}{x}}\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}-1 \right)=0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{\frac{x-1}{x}}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \sqrt{x+1}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}-1=0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ · Giải phương trình (1): $\sqrt{\frac{x-1}{x}}=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$ (tmđkxđ). · Giải phương trình (2): $\sqrt{x+1}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}-1=0$ $ \Leftrightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{\frac{x-1}{x}}+1$ $ \Leftrightarrow x+1=\frac{x-1}{x}+1+2\sqrt{\frac{x-1}{x}} $ $ \Leftrightarrow x+\frac{1}{x}-1=2\sqrt{\frac{x-1}{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) $ Nếu $x<0$ thì vế trái (*) âm còn vế phải (*) không âm nên phương trình vô nghiệm. Nếu $x\ge 1$ thì (*) tương đương với: ${{x}^{2}}-x+1=2\sqrt{{{x}^{2}}-x}$ $ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2\sqrt{{{x}^{2}}-x}+1=0 $ $ \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x}-1 \right)}^{2}}=0 $ $ \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x}-1=0 $ $ \Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x}=1 $ $ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-1=0 $ Giải phương trình trên ta được $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ (loại); $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>1$ (nhận). Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ 1;\,\,\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & 2{{x}^{2}}-xy=1 \\ & 4{{x}^{2}}+4xy-{{y}^{2}}=7 \\ \end{align} \right.$ (Đây là hệ đẳng cấp bậc hai). Ta có $\left\{ \begin{align} & 2{{x}^{2}}-xy=1 \\ & 4{{x}^{2}}+4xy-{{y}^{2}}=7 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 14{{x}^{2}}-7xy=7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 4{{x}^{2}}+4xy-{{y}^{2}}=7\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$ Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: $10{{x}^{2}}-11xy+{{y}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left( 10x-y \right)\left( x-y \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=x \\ & y=10x \\ \end{align} \right.$ · Nếu $y=x$ thì (1) $\Leftrightarrow 14{{x}^{2}}-7{{x}^{2}}=7\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow x=\pm 1$. Vậy $\left( x;y \right)=\left( 1;\,\,1 \right),\,\,\left( -1;\,\,-1 \right)$. · Nếu $y=10x$ thì (1) $\Leftrightarrow 14{{x}^{2}}-70{{x}^{2}}=7\Leftrightarrow 8{{x}^{2}}=-1$ phương trình vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là $\left( x;y \right)=\left( 1;\,\,1 \right),\,\,\left( -1;\,\,-1 \right)$.
