Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 22: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right)x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( \sqrt{3}+1 \right)x+1}=3$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}y+2={{y}^{2}} \\ & x{{y}^{2}}+2={{x}^{2}} \\ \end{align} \right.$. Giải: a) ĐKXĐ: $x\in \mathbb{R}$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}\le \frac{2{{x}^{2}}-2x+1+1}{2}=\frac{2{{x}^{2}}-2x+2}{2}$, dấu “=” xảy ra khi x = 0 hoặc x = 1. $\sqrt{2{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right)x+1}\le \frac{2{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right)x+2}{2}$, dấu “=” xảy ra khi x = 0 hoặc $x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. $\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( \sqrt{3}+1 \right)x+1}\le \frac{2{{x}^{2}}+\left( \sqrt{3}+1 \right)x+2}{2}$, dấu “=” xảy ra khi x = 0 hoặc $x=-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Do đó $\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right)x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( \sqrt{3}+1 \right)x+1}\le 3{{x}^{2}}+3$. Dấu “=” xảy ra khi $x=0$. Vậy $\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right)x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( \sqrt{3}+1 \right)x+1}=3$ có nghiệm duy nhất là x = 0. Cách khác: ĐKXĐ: $x\in \mathbb{R}$. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: $\begin{align} & \sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right)x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( \sqrt{3}+1 \right)x+1} \\ & \le \sqrt{3\left[ 2{{x}^{2}}-2x+1+2{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right)x+1+2{{x}^{2}}+\left( \sqrt{3}+1 \right)x+1 \right]}=3\sqrt{3{{x}^{2}}+1} \\ \end{align}$ Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}=\sqrt{2{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right)x+1}=\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( \sqrt{3}+1 \right)x+1}\Leftrightarrow x=0$. Vậy $\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}-1 \right)x+1}+\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( \sqrt{3}+1 \right)x+1}=3$ có nghiệm duy nhất là x = 0. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}y+2={{y}^{2}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & x{{y}^{2}}+2={{x}^{2}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$. Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: ${{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}={{y}^{2}}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( xy+x+y \right)=0$. Trường hợp 1: x = y. Khi đó (1) trở thành ${{x}^{3}}+2={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2=0\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)=0\Leftrightarrow x=-1$. Vậy hệ có nghiệm là (x;y) = $\left( x;y \right)=\left( -1;-1 \right)$. Trường hợp 2: xy + x + y = 0 $\Leftrightarrow y=\frac{-x}{x+1}$ (vì $x\ne -1$). Khi đó (1) trở thành $\frac{-{{x}^{3}}}{x+1}+2=\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4x-2=0$ (*) Bằng phương pháp hệ số bất định ta biến đổi được (*) về phương trình tích: $\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x+2=0\,\,\left( vo\hat{a}\,\,nghie\ddot{a}m \right) \\ & {{x}^{2}}-x-1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1-\sqrt{5} \\ & x=1+\sqrt{5} \\ \end{align} \right.$. · Với $x=1-\sqrt{5}$ thì $y=7-3\sqrt{5}$. · Với $x=1+\sqrt{5}$ thì $y=-3+\sqrt{5}$. Tóm lại: hệ đã cho có 3 nghiệm là $\left( -1;-1 \right)$; $\left( 1-\sqrt{5};7-3\sqrt{5} \right)$; $\left( 1+\sqrt{5};-3+\sqrt{5} \right)$. Bài 23: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) Giải phương trình $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & xy\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=240 \\ & \left( x-1 \right)\left( y-1 \right)=6 \\ \end{align} \right.$. Giải: a) ĐKXĐ: $x\ge 0$. Ta có $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{\left( x+3 \right)\left( 3x+1 \right)}}\le \frac{\sqrt{2\left( 3x+1+x+3 \right)}}{\sqrt{\left( x+3 \right)\left( 3x+1 \right)}}=\frac{2\sqrt{2x+2}}{\sqrt{\left( x+3 \right)\left( 3x+1 \right)}}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{3x+1}=\sqrt{x+3}\Leftrightarrow x=1$. Ta chứng minh $\frac{2\sqrt{2x+2}}{\sqrt{\left( x+3 \right)\left( 3x+1 \right)}}\le \frac{2}{1+\sqrt{x}}$ (*) Thật vậy (*) tương đương với: $\sqrt{2x+2}\left( 1+\sqrt{x} \right)\le \sqrt{\left( x+3 \right)\left( 3x+1 \right)}$ $\begin{align} & \Leftrightarrow \left( 2x+2 \right){{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}\le \left( x+3 \right)\left( 3x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow \left( 2x+2 \right)\left( 1+2\sqrt{x}+x \right)\le 3{{x}^{2}}+10x+3 \\ & \Leftrightarrow 2x+4x\sqrt{x}+2{{x}^{2}}+2+4\sqrt{x}+2x\le 3{{x}^{2}}+10x+3 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x\sqrt{x}+6x-4\sqrt{x}+1\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{4}}\ge 0\,\,\,\,\,\,\left( \tilde{n}u\grave{u}ng\,v\hat{o}\grave{u}i\,mo\ddot{i}i\,x\ge 0 \right) \\ \end{align}$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{4}}=0\Leftrightarrow x=1$. Do đó $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}\le \frac{2}{1+\sqrt{x}}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=1$. Vậy phương trình $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$ có nghiệm duy nhất $x=1$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & xy\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=240\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \left( x-1 \right)\left( y-1 \right)=6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$. Từ (1) suy ra $xy\ne 0$, do đó: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=\frac{240}{xy}\Leftrightarrow xy+x+y+1=\frac{240}{xy}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$ Ta lại có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow xy-x-y+1=6\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$ Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được: $2xy+2=\frac{240}{xy}+6\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{y}^{2}}-2xy-120=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & xy=12 \\ & xy=-10 \\ \end{align} \right.$. Trường hợp 1: $xy=12$ Ta thu được hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & xy=12 \\ & x+y=7 \\ \end{align} \right.$, giải ra ta được $\left( x;y \right)=\left( 3;4 \right),\,\,\left( 4;3 \right)$. Trường hợp 2: $xy=-10$ Ta thu được hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & xy=-10 \\ & x+y=-15 \\ \end{align} \right.$, giải ra ta được $\left( x;y \right)=\left( \frac{-15-\sqrt{265}}{2};\frac{-15+\sqrt{265}}{2} \right),\,\,\left( \frac{-15+\sqrt{265}}{2};\frac{-15-\sqrt{265}}{2} \right)$. Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: $\left( 3;4 \right),\,\,\left( 4;3 \right),\,\,\left( \frac{-15-\sqrt{265}}{2};\frac{-15+\sqrt{265}}{2} \right),\,\,\left( \frac{-15+\sqrt{265}}{2};\frac{-15-\sqrt{265}}{2} \right)$. Bài 24: a) Giải phương trình $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}=12y+6 \\ & 2{{y}^{2}}=x-1 \\ \end{align} \right.$. Giải: a) ĐKXĐ: $x\ge -\frac{1}{3}$ và $x\ne 0$. Ta có $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-\left( 3x+1 \right)=4x\sqrt{3x+1}$ (*) Đặt $y=\sqrt{3x+1}\Rightarrow {{y}^{2}}=3x+1$ ; $y\ge 0$ ; $y\ne 1$. Khi đó (*) $\Leftrightarrow 12{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4xy\Leftrightarrow \left( 12{{x}^{2}}-6xy \right)-\left( {{y}^{2}}-2xy \right)=0\Leftrightarrow \left( 2x-y \right)\left( 6x+y \right)=0$. Trường hợp 1: $2x-y=0\Leftrightarrow y=2x$ (x > 0). Khi đó ${{y}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-3x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( nha\ddot{a}n \right) \\ & x=-\frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\left( loa\ddot{i}i \right) \\ \end{align} \right.$ . Trường hợp 2: $6x+y=0\Leftrightarrow y=-6x$ (x < 0). Khi đó ${{y}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow 36{{x}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow 36{{x}^{2}}-3x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{1-\sqrt{17}}{24}\,\,\,\,\,\,\left( nha\ddot{a}n \right) \\ & x=\frac{1+\sqrt{17}}{24}\,\,\,\,\,\,\,\left( loa\ddot{i}i \right) \\ \end{align} \right.$. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left\{ 1\,\,;\,\,\frac{1-\sqrt{17}}{24} \right\}$. b) Ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}=12y+6 \\ & 2{{y}^{2}}=x-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}=12y+6\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 4{{y}^{2}}=2x-2\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.$. Lấy (1) trừ (2) VTV ta được: ${{x}^{2}}-4{{y}^{2}}=12y-2x+8\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+1=4{{y}^{2}}+12y+9\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}={{\left( 2y+3 \right)}^{2}}$. Trường hợp 1: $x+1=2y+3\Leftrightarrow x=2y+2$. Khi đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow 4{{y}^{2}}=4y+2\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}-2y-1=0\Leftrightarrow y\in \left\{ \frac{1-\sqrt{3}}{2}\,\,;\,\,\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right\}$. · Với $y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ thì $x=3-\sqrt{3}$. · Với $y=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ thì $x=3+\sqrt{3}$. Trường hợp 2: $x+1=-2y-3\Leftrightarrow x=-2y-4$. Khi đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow 4{{y}^{2}}=-4y-6\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+2y+3=0$. Phương trình vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: $\left( 3-\sqrt{3}\,\,;\,\,\frac{1-\sqrt{3}}{2} \right)$; $\left( 3+\sqrt{3}\,\,;\,\,\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right)$.
