Phương trình và hệ phương trình chọn lọc _ Kì 9

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC
    --------- ---------

    Bài 25:

    a) Giải phương trình $3\left( x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9} \right)=xy$.
    b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
    & xy+2x+3y=10 \\
    & \frac{1}{\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}+\frac{1}{\left( y+1 \right)\left( y+3 \right)}=\frac{2}{15} \\
    \end{align} \right.$.
    Giải:
    a) ĐKXĐ: $x\ge 9\,\,;\,\,y\ge 9$.
    Ta có $3\left( x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9} \right)=xy$
    $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-9}}{x}+\frac{\sqrt{y-9}}{y}=\frac{1}{3}$ (1)
    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
    $\sqrt{9\left( x-9 \right)}\le \frac{9+x-9}{2}=\frac{x}{2}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-9}}{x}\le \frac{1}{6}$. Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{align}
    & x\ge 9 \\
    & x-9=9 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=18$.
    Tương tự ta được $\frac{\sqrt{y-9}}{y}\le \frac{1}{6}$. Đẳng thức xảy ra khi $y=18$.
    Cộng các bất đẳng thức trên VTV ta được:
    $\frac{\sqrt{x-9}}{x}+\frac{\sqrt{y-9}}{y}\le \frac{1}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=18$ (2)
    Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=y=18$.

    b) ĐKXĐ: $x\ne -2\,\,;\,\,x\ne -4\,\,;\,\,y\ne -1\,\,;\,\,y\ne -3$.
    Ta có $xy+2x+3y=10\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left( y+2 \right)=16$.
    Đặt $\left\{ \begin{align}
    & x+3=a \\
    & y+2=b \\
    \end{align} \right.\,\,\,\,\left( a\ne \pm 1\,\,;\,\,b\ne \pm 1 \right)$.
    Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{align}
    & ab=16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\
    & \frac{1}{\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)}+\frac{1}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}=\frac{2}{15}\,\,\,\,\,\,(2) \\
    \end{align} \right.$.
    Ta có (2) $\Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}-1}+\frac{1}{{{b}^{2}}-1}=\frac{2}{15}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=32\,\,\,\,(3)$
    Từ (1) và (3) suy ra ${{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab=32-2.16=0\Leftrightarrow a=b$.
    Từ (1) suy ra ${{a}^{2}}=16\Leftrightarrow a=\pm 4$ (thỏa mãn ĐKXĐ).
    Do đó $\left[ \begin{align}
    & a=b=4 \\
    & a=b=-4 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & x=-7 \\
    & y=-6 \\
    \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}
    & x=1 \\
    & y=2 \\
    \end{align} \right.$ (thỏa mãn ĐKXĐ).


    Bài 26
    :
    a) Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+\sqrt{-{{x}^{2}}+x+1}={{x}^{2}}-x+2$.
    b) Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=11 \\
    & xy\left( x+2 \right)\left( y+2 \right)=m \\
    \end{align} \right.$.
    1) Giải hệ phương trình khi m = 24.
    2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
    Giải:
    a) ĐKXĐ: ${{x}^{2}}+x-1\ge 0\,\,;\,\,-{{x}^{2}}+x+1\ge 0$.
    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
    $\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}=\sqrt{\left( {{x}^{2}}+x-1 \right).1}\le \frac{{{x}^{2}}+x-1+1}{2}=\frac{{{x}^{2}}+x}{2}$.
    Dấu “=” xảy ra khi ${{x}^{2}}+x-1=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & x=1 \\
    & x=-2 \\
    \end{align} \right.$.
    $\sqrt{-{{x}^{2}}+x+1}=\sqrt{\left( -{{x}^{2}}+x+1 \right).1}\le \frac{-{{x}^{2}}+x+1+1}{2}=\frac{-{{x}^{2}}+x+2}{2}$.
    Dấu “=” xảy ra khi $-{{x}^{2}}+x+1=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & x=1 \\
    & x=0 \\
    \end{align} \right.$.
    Cộng VTV 2 bất đẳng trên ta được: $\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+\sqrt{-{{x}^{2}}+x+1}\le x+1$. Dấu “=” xảy ra khi x = 1.
    Ta lại có $x+1\le {{x}^{2}}-x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0$ luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi x = 1.
    Do đó $\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+\sqrt{-{{x}^{2}}+x+1}\le {{x}^{2}}-x+2$. Dấu “=” xảy ra khi x = 1 (tmđkxđ).
    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

    b.1) Với m = 24 thì hệ phương trình trở thành:
    $\left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=11 \\
    & xy\left( x+2 \right)\left( y+2 \right)=24 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & \left( {{x}^{2}}+2x \right)+\left( {{y}^{2}}+2y \right)=11 \\
    & \left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{y}^{2}}+2y \right)=24 \\
    \end{align} \right.$.
    Đặt $\left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}+2x=u \\
    & {{y}^{2}}+2y=v \\
    \end{align} \right.$ với điều kiện $\left\{ \begin{align}
    & u\ge -1 \\
    & v\ge -1 \\
    \end{align} \right.$.
    Ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
    & u+v=11 \\
    & uv=24 \\
    \end{align} \right.$.
    Do đó u, v là hai nghiệm của phương trình X2 – 11X + 24 = 0.
    Giải phương trình này ta được X1 = 3 ; X2 = 8.
    TH1: $\left\{ \begin{align}
    & u=3 \\
    & v=8 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}+2x=3 \\
    & {{y}^{2}}+2y=8 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}+2x-3=0 \\
    & {{y}^{2}}+2y-8=0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}=1\,\,;\,\,{{x}_{2}}=-3 \\
    & {{y}_{1}}=2\,\,;\,\,{{y}_{2}}=-4 \\
    \end{align} \right.$.
    TH2: $\left\{ \begin{align}
    & u=8 \\
    & v=3 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}+2x=8 \\
    & {{y}^{2}}+2y=3 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}+2x-8=0 \\
    & {{y}^{2}}+2y-3=0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{x}_{1}}=2\,\,;\,\,{{x}_{2}}=-4 \\
    & {{y}_{1}}=1\,\,;\,\,{{y}_{2}}=-3 \\
    \end{align} \right.$.
    Vậy hệ phương trình có 8 nghiệm là: $\left( 1\,\,;\,\,2 \right),\,\,\left( -3\,\,;\,\,-4 \right),\,\,\left( 1\,\,;\,\,-4 \right),\,\,\left( -3\,\,;\,\,2 \right),\,\,\left( 2\,\,;\,\,1 \right),\,\,\left( -4\,\,;\,\,-3 \right),\,\,\left( -4\,\,;\,\,1 \right),\,\,\left( 2\,\,;\,\,-3 \right).$

    b.2) Ta có $\left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=11 \\
    & xy\left( x+2 \right)\left( y+2 \right)=m \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & \left( {{x}^{2}}+2x \right)+\left( {{y}^{2}}+2y \right)=11 \\
    & \left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{y}^{2}}+2y \right)=m \\
    \end{align} \right.$.
    Đặt $\left\{ \begin{align}
    & {{x}^{2}}+2x=u \\
    & {{y}^{2}}+2y=v \\
    \end{align} \right.$ với điều kiện $\left\{ \begin{align}
    & u\ge -1 \\
    & v\ge -1 \\
    \end{align} \right.$.
    Hệ phương trình đã cho trở thành $\left\{ \begin{align}
    & u+v=11 \\
    & uv=m \\
    \end{align} \right.$.
    Hệ này có nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{\left( u+v \right)}^{2}}\ge 4uv \\
    & \left( u+1 \right)\left( v+1 \right)\ge 0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & {{11}^{2}}\ge 4m \\
    & m+12\ge 0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow -12\le m\le \frac{121}{4}$.


    Bài 27:

    a) Giải phương trình ${{x}^{2}}+5x-4=6.\sqrt{x+4}$.
    b) Tìm m để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}
    & 2x\ge m-1 \\
    & mx\ge 1 \\
    \end{align} \right.$ có một nghiệm duy nhất.
    Giải:
    a) ĐKXĐ: $x\ge -4$.
    Ta có ${{x}^{2}}+5x-4=6\sqrt{x+4}$
    $ \Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x+9=x+4+6\sqrt{x+4}+9 $
    $ \Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x+4}+3 \right)}^{2}} $
    $ \Leftrightarrow \sqrt{x+4}+3=x+3 \vee \sqrt{x+4}+3=-x-3 $
    $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align}
    & \sqrt{x+4}=x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\
    & \sqrt{x+4}=-x-6\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\
    \end{align} \right. $

    · Giải phương trình (1).
    $\sqrt{x+4}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & x\ge 0 \\
    & x+4={{x}^{2}} \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & x\ge 0 \\
    & {{x}^{2}}-x-4=0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$.
    · Giải phương trình (2).
    Vì $x\ge -4\Rightarrow -x-6\le -2$ nên phương trình $\sqrt{x+4}=-x-6$ vô nghiệm.
    Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$.

    b) Đặt $\left\{ \begin{align}
    & 2x\ge m-1\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\
    & mx\ge 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\
    \end{align} \right.$.
    Ta có $(1)\Leftrightarrow x\ge \frac{m-1}{2}$ và $(2)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & x\in \varnothing \,\,\,\,\,\,\,ne\acute{a}u\,\,m=0 \\
    & x\ge \frac{1}{m}\,\,\,\,\,\,ne\acute{a}u\,\,m>0 \\
    & x\le \frac{1}{m}\,\,\,\,\,\,ne\acute{a}u\,\,m<0 \\
    \end{align} \right.$ .
    Do đó hệ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & m<0 \\
    & \frac{m-1}{2}=\frac{1}{m} \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & m<0 \\
    & {{m}^{2}}-m-2=0 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
    & m<0 \\
    & m=-1 \vee m=2 \\
    \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=-1$.