Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 25: a) Giải phương trình $3\left( x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9} \right)=xy$. b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & xy+2x+3y=10 \\ & \frac{1}{\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)}+\frac{1}{\left( y+1 \right)\left( y+3 \right)}=\frac{2}{15} \\ \end{align} \right.$. Giải: a) ĐKXĐ: $x\ge 9\,\,;\,\,y\ge 9$. Ta có $3\left( x\sqrt{y-9}+y\sqrt{x-9} \right)=xy$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-9}}{x}+\frac{\sqrt{y-9}}{y}=\frac{1}{3}$ (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $\sqrt{9\left( x-9 \right)}\le \frac{9+x-9}{2}=\frac{x}{2}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-9}}{x}\le \frac{1}{6}$. Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{align} & x\ge 9 \\ & x-9=9 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=18$. Tương tự ta được $\frac{\sqrt{y-9}}{y}\le \frac{1}{6}$. Đẳng thức xảy ra khi $y=18$. Cộng các bất đẳng thức trên VTV ta được: $\frac{\sqrt{x-9}}{x}+\frac{\sqrt{y-9}}{y}\le \frac{1}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=18$ (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=y=18$. b) ĐKXĐ: $x\ne -2\,\,;\,\,x\ne -4\,\,;\,\,y\ne -1\,\,;\,\,y\ne -3$. Ta có $xy+2x+3y=10\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left( y+2 \right)=16$. Đặt $\left\{ \begin{align} & x+3=a \\ & y+2=b \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\left( a\ne \pm 1\,\,;\,\,b\ne \pm 1 \right)$. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{align} & ab=16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ & \frac{1}{\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)}+\frac{1}{\left( b-1 \right)\left( b+1 \right)}=\frac{2}{15}\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right.$. Ta có (2) $\Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}-1}+\frac{1}{{{b}^{2}}-1}=\frac{2}{15}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=32\,\,\,\,(3)$ Từ (1) và (3) suy ra ${{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab=32-2.16=0\Leftrightarrow a=b$. Từ (1) suy ra ${{a}^{2}}=16\Leftrightarrow a=\pm 4$ (thỏa mãn ĐKXĐ). Do đó $\left[ \begin{align} & a=b=4 \\ & a=b=-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-7 \\ & y=-6 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=2 \\ \end{align} \right.$ (thỏa mãn ĐKXĐ). Bài 26: a) Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+\sqrt{-{{x}^{2}}+x+1}={{x}^{2}}-x+2$. b) Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=11 \\ & xy\left( x+2 \right)\left( y+2 \right)=m \\ \end{align} \right.$. 1) Giải hệ phương trình khi m = 24. 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. Giải: a) ĐKXĐ: ${{x}^{2}}+x-1\ge 0\,\,;\,\,-{{x}^{2}}+x+1\ge 0$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}=\sqrt{\left( {{x}^{2}}+x-1 \right).1}\le \frac{{{x}^{2}}+x-1+1}{2}=\frac{{{x}^{2}}+x}{2}$. Dấu “=” xảy ra khi ${{x}^{2}}+x-1=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.$. $\sqrt{-{{x}^{2}}+x+1}=\sqrt{\left( -{{x}^{2}}+x+1 \right).1}\le \frac{-{{x}^{2}}+x+1+1}{2}=\frac{-{{x}^{2}}+x+2}{2}$. Dấu “=” xảy ra khi $-{{x}^{2}}+x+1=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=0 \\ \end{align} \right.$. Cộng VTV 2 bất đẳng trên ta được: $\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+\sqrt{-{{x}^{2}}+x+1}\le x+1$. Dấu “=” xảy ra khi x = 1. Ta lại có $x+1\le {{x}^{2}}-x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0$ luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi x = 1. Do đó $\sqrt{{{x}^{2}}+x-1}+\sqrt{-{{x}^{2}}+x+1}\le {{x}^{2}}-x+2$. Dấu “=” xảy ra khi x = 1 (tmđkxđ). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1. b.1) Với m = 24 thì hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=11 \\ & xy\left( x+2 \right)\left( y+2 \right)=24 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( {{x}^{2}}+2x \right)+\left( {{y}^{2}}+2y \right)=11 \\ & \left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{y}^{2}}+2y \right)=24 \\ \end{align} \right.$. Đặt $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x=u \\ & {{y}^{2}}+2y=v \\ \end{align} \right.$ với điều kiện $\left\{ \begin{align} & u\ge -1 \\ & v\ge -1 \\ \end{align} \right.$. Ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{align} & u+v=11 \\ & uv=24 \\ \end{align} \right.$. Do đó u, v là hai nghiệm của phương trình X2 – 11X + 24 = 0. Giải phương trình này ta được X1 = 3 ; X2 = 8. TH1: $\left\{ \begin{align} & u=3 \\ & v=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x=3 \\ & {{y}^{2}}+2y=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3=0 \\ & {{y}^{2}}+2y-8=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=1\,\,;\,\,{{x}_{2}}=-3 \\ & {{y}_{1}}=2\,\,;\,\,{{y}_{2}}=-4 \\ \end{align} \right.$. TH2: $\left\{ \begin{align} & u=8 \\ & v=3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x=8 \\ & {{y}^{2}}+2y=3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x-8=0 \\ & {{y}^{2}}+2y-3=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=2\,\,;\,\,{{x}_{2}}=-4 \\ & {{y}_{1}}=1\,\,;\,\,{{y}_{2}}=-3 \\ \end{align} \right.$. Vậy hệ phương trình có 8 nghiệm là: $\left( 1\,\,;\,\,2 \right),\,\,\left( -3\,\,;\,\,-4 \right),\,\,\left( 1\,\,;\,\,-4 \right),\,\,\left( -3\,\,;\,\,2 \right),\,\,\left( 2\,\,;\,\,1 \right),\,\,\left( -4\,\,;\,\,-3 \right),\,\,\left( -4\,\,;\,\,1 \right),\,\,\left( 2\,\,;\,\,-3 \right).$ b.2) Ta có $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=11 \\ & xy\left( x+2 \right)\left( y+2 \right)=m \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( {{x}^{2}}+2x \right)+\left( {{y}^{2}}+2y \right)=11 \\ & \left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{y}^{2}}+2y \right)=m \\ \end{align} \right.$. Đặt $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+2x=u \\ & {{y}^{2}}+2y=v \\ \end{align} \right.$ với điều kiện $\left\{ \begin{align} & u\ge -1 \\ & v\ge -1 \\ \end{align} \right.$. Hệ phương trình đã cho trở thành $\left\{ \begin{align} & u+v=11 \\ & uv=m \\ \end{align} \right.$. Hệ này có nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( u+v \right)}^{2}}\ge 4uv \\ & \left( u+1 \right)\left( v+1 \right)\ge 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{11}^{2}}\ge 4m \\ & m+12\ge 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow -12\le m\le \frac{121}{4}$. Bài 27: a) Giải phương trình ${{x}^{2}}+5x-4=6.\sqrt{x+4}$. b) Tìm m để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align} & 2x\ge m-1 \\ & mx\ge 1 \\ \end{align} \right.$ có một nghiệm duy nhất. Giải: a) ĐKXĐ: $x\ge -4$. Ta có ${{x}^{2}}+5x-4=6\sqrt{x+4}$ $ \Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x+9=x+4+6\sqrt{x+4}+9 $ $ \Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{x+4}+3 \right)}^{2}} $ $ \Leftrightarrow \sqrt{x+4}+3=x+3 \vee \sqrt{x+4}+3=-x-3 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{x+4}=x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ & \sqrt{x+4}=-x-6\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right. $ · Giải phương trình (1). $\sqrt{x+4}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge 0 \\ & x+4={{x}^{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge 0 \\ & {{x}^{2}}-x-4=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$. · Giải phương trình (2). Vì $x\ge -4\Rightarrow -x-6\le -2$ nên phương trình $\sqrt{x+4}=-x-6$ vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$. b) Đặt $\left\{ \begin{align} & 2x\ge m-1\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ & mx\ge 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right.$. Ta có $(1)\Leftrightarrow x\ge \frac{m-1}{2}$ và $(2)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\in \varnothing \,\,\,\,\,\,\,ne\acute{a}u\,\,m=0 \\ & x\ge \frac{1}{m}\,\,\,\,\,\,ne\acute{a}u\,\,m>0 \\ & x\le \frac{1}{m}\,\,\,\,\,\,ne\acute{a}u\,\,m<0 \\ \end{align} \right.$ . Do đó hệ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<0 \\ & \frac{m-1}{2}=\frac{1}{m} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<0 \\ & {{m}^{2}}-m-2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<0 \\ & m=-1 \vee m=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=-1$.