Tìm tất cả các hàm số \(f\left(x\right)\) thỏa mãn điều kiện \(f'\left(x\right)=\sqrt[3]{4x+1}\). \(f\left(x\right)=\frac{4\left(4x+1\right)}{3}\sqrt[3]{4x+1}+C\) \(f\left(x\right)=\frac{3\left(4x+1\right)}{4}\sqrt[3]{4x+1}+C\) \(f\left(x\right)=\frac{3}{16}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\) \(f\left(x\right)=\frac{16}{3}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=\int\sqrt[3]{4x+1}\text{dx}=\int\left(4x+1\right)^{\frac{1}{3}}\text{dx}=\frac{1}{4}\int\left(4x+1\right)^{\frac{1}{3}}d\left(4x+1\right)\) \(=\frac{1}{4}\frac{1}{\frac{1}{3}+1}\left(4x+1\right)^{\frac{1}{3}+1}+C\) \(=\frac{1}{4}.\frac{3}{4}\left(4x+1\right)^{\frac{4}{3}}+C=\frac{3}{16}\sqrt[3]{\left(4x+1\right)^4}+C\)
Tìm \(f\left(x\right)\) biết \(\int f\left(x\right)\text{dx}=\ln\left(x^4+x^2+1\right)+C\). \(f\left(x\right)=\frac{1}{x^4+x^2+1}\) \(f\left(x\right)=e^{x^4+x^2+1}\) \(f\left(x\right)=\frac{4x^3+2x}{x^4+x^2+1}\) \(f\left(x\right)=\frac{4x^3+2x}{x^4+x^2+1}+C\) Hướng dẫn giải: \(\int f\left(x\right)\text{dx}=\ln\left(x^4+x^2+1\right)+C\) Lấy đạo hàm hai vế ta có: \(f\left(x\right)=\frac{\left(x^4+x^2+1\right)'}{x^4+x^2+1}\) \(=\frac{4x^3+2x}{x^4+x^2+1}\)
Tìm \(f\left(x\right)\), biết \(F\left(x\right)=\cos^3x\) là một nguyên hàm của \(f\left(x\right)\). \(f\left(x\right)=3\sin x\cos^2x\) \(f\left(x\right)=-3\sin x\cos^2x\) \(f\left(x\right)=-3\sin x\cos^2x+C\) \(f\left(x\right)=3\cos^2x\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=F'\left(x\right)=\left(\cos^3x\right)'=3\cos^2x.\left(-\sin x\right)=-3\sin x\cos^2x\)
Tìm \(f\left(x\right)\), biết \(\int f\left(x\right)\text{dx}=\sin2x+\cos2x-e^x+C\). \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cos2x-\frac{1}{2}\sin2x-e^x+C\) \(f\left(x\right)=2\cos2x+2\sin2x-e^x\) \(f\left(x\right)=2\cos2x-2\sin2x-e^x+C\) \(f\left(x\right)=2\cos2x-2\sin2x-e^x\) Hướng dẫn giải: \(\int f\left(x\right)\text{dx}=\sin2x+\cos2x-e^x+C\) Lấy đạo hàm hai vế: \(f\left(x\right)\text{ }=2\cos2x-2\sin2x-e^x\)
Tìm tất cả các hàm số \(F\left(x\right)\), biết \(F'\left(x\right)=\frac{1}{x},\forall x\ne0\) và \(F\left(1\right)=0\). \(F\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}\) \(F\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}\ln x,x>0\\\ln\left(-x\right)+C,x< 0\end{matrix}\right.\) , C là hằng số tùy ý \(F\left(x\right)=\ln\left|x\right|\) \(F\left(x\right)=e^x-e\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(F\left(x\right)=\int\frac{1}{x}\text{dx}=\left\{\begin{matrix}\ln x+C_1,x>0\\\ln\left(-x\right)+C_2,x< 0\end{matrix}\right.\), với \(C_1,C_2\) là hằng số bất kì. Thay x = 1 vào thì \(C_1=0\) và ta được: \(F\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}\ln x,x>0\\\ln\left(-x\right)+C,x< 0\end{matrix}\right.\), C là hằng số tùy ý.
Tìm nguyên hàm \(F\left(x\right)\) của hàm số \(f\left(x\right)=-\cos x\) bieets \(F\left(2017\pi\right)=1\). \(F\left(x\right)=\sin x+1\) \(F\left(x\right)=-\sin x+1\) \(F\left(x\right)=\frac{x}{2017\pi}\) \(F\left(x\right)=-\sin x+C\) Hướng dẫn giải: \(F\left(x\right)=\int\left(-\cos x\right)\text{dx}=-\int\cos x\text{dx}=-\sin x+C\) \(F\left(2017\pi\right)=-\sin\left(2017\pi\right)+C=0+C=1\) Suy ra C = 1, vậy: \(F\left(x\right)=-\sin x+1\)
Tìm nguyên hàm \(f\left(x\right)\) của hàm số \(e^{2x}\), biết rằng đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) đi qua điểm \(M\left(\ln\sqrt{2};2\right)\). \(f\left(x\right)=e^{2x}+1\) \(f\left(x\right)=e^{2x}\) \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{2x}+1\) \(f\left(x\right)=2e^{2x}\) Hướng dẫn giải: \(f\left(x\right)=\int e^{2x}\text{dx}=\frac{1}{2}\int e^{2x}d\left(2x\right)=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) Vì hàm số đi qua điểm \(M\left(\ln\sqrt{2};2\right)\) nên: \(f\left(\ln\sqrt{2}\right)=2\) Suy ra: \(\frac{1}{2}e^{2.\ln\sqrt{2}}+C=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}e^{\ln\sqrt{2}^2}+C=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\sqrt{2}^2+C=2\) \(\Leftrightarrow C=1\) Vậy \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{2x}+1\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? \(\int x^e\text{dx}=\dfrac{x^{e+1}}{e+1}+C\) \(\int\cos2x\text{dx}=\dfrac{1}{2}\sin2x+C\) \(\int e^x\text{dx}=\dfrac{e^{x+1}}{x+1}+C\) \(\int\dfrac{1}{x}dx=\ln\left|x\right|+C\) Hướng dẫn giải: \(\int e^x\text{dx}=\dfrac{e^{x+1}}{x+1}+C\) là sai, đúng là: \(\int e^x\text{dx}=e^x+C\)
Cho \(\alpha\in\mathbb{R}\). Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos x\). \(F\left(x\right)=\sin x\) \(F\left(x\right)=2\cos\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}\) \(F\left(x\right)=2\sin\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}\) \(F\left(x\right)=2\sin\left(\dfrac{x}{2}+\alpha\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}-\alpha\right)\) Hướng dẫn giải: Ta có: A) \(\left(\sin x\right)'=\cos x\) B) \(\left(2\cos\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}\right)'=\left(\cos x+\cos\alpha\right)'=-\sin x\) C) \(\left(2\sin\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}\right)'=\left(\sin x+\cos\alpha\right)'=\cos x\) D) \(\left[2\sin\left(\dfrac{x}{2}+\alpha\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}-\alpha\right)\right]'=\left[\sin x+\sin2\alpha\right]'=\cos x\)
Hàm số nào trong các hàm dưới đây không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=1+\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\) ? \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+\left(1+\cos\alpha\right)x+\cos\alpha-3}{x+1}\) \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+\left(1+\sin2\alpha\right)x+\sin2\alpha-3}{x+1}\) \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}\) \(F\left(x\right)=\dfrac{x^2+x-3}{x+1}\) Hướng dẫn giải: \(\int\left(1+\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\right)\text{dx}=x-\dfrac{3}{x+1}+C\) A) \(\dfrac{x^2+\left(1+\cos\alpha\right)x+\cos\alpha-3}{x+1}=x+\cos\alpha-\dfrac{3}{x+1}\) là một nguyên hàm của f(x) vì lấy \(C=\cos\alpha\). B) \(\dfrac{x^2+\left(1+\sin2\alpha\right)x+\sin2\alpha-3}{x+1}=x+\sin2\alpha-\dfrac{3}{x+1}\) cũng là một nguyên hàm của f(x) vì lấy \(C=\sin2\alpha\) C) \(\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=x+\dfrac{1}{x+1}\) không phải là một nguyên hàm của f(x). D) \(\dfrac{x^2+x-3}{x+1}=x-\dfrac{3}{x+1}\) là một nguyên hàm của f(x) vì lấy C = 0.
