Đặt \(I=\int\limits^3_1\dfrac{\text{dx}}{e^x-1}\) và \(t=e^x-1\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai? \(\text{dt}=e^x\text{dx}\) \(I=\ln\left(e^2+e+1\right)-2\) \(I=\int\limits^{e^3-1}_{e-1}\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{d}t\) \(\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{dt}=\ln t-\ln\left(t+1\right)+C\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=e^x-1\) thì \(e^x=t+1\) , \(\text{dt}=e^x\text{dx}\), \(\text{dx}=\dfrac{\text{dt}}{e^x}=\dfrac{\text{dt}}{t+1}\) khi đó: \(I=\int\limits^3_1\dfrac{\text{dx}}{e^x-1}=\int\limits^{e^3-1}_{e-1}\dfrac{1}{t\left(t+1\right)}\text{dt}\) \(=\int\limits^{e^3-1}_{e-1}\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{dt}=\left(\ln\left|t\right|-\ln\left|t+1\right|\right)|^{e^3-1}_{e-1}\) \(=\ln\left(e^2+e+1\right)-2\) Chú ý: \(\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)\text{dt}=\ln t-\ln\left(t+1\right)+C\) chỉ đúng với \(t\in\left(0;+\infty\right)\).
Đặt \(I=\int\limits^2_1\dfrac{x}{1+\sqrt{x-1}}\text{dx}\) và \(t=1+\sqrt{x-1}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai? \(x\text{dx}=\left(t^2-2t+2\right)\left(2t-2\right)\text{dt}\) \(I=\dfrac{11}{3}+4\ln2\) \(I=\int\limits^2_1\left(2t^2-6t+8-\dfrac{4}{t}\right)\text{dt}\) \(I=\left(\dfrac{2}{3}t^3-3t^2+8t-4ln\left|t\right|\right)|^2_1\) Hướng dẫn giải: Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\) thì \(x=\left(t-1\right)^2+1=t^2-2t+2\) và \(\text{dx}=\left(2t-2\right)\text{dt}\) Suy ra \(x\text{d}x=\left(t^2-2t+2\right)\left(2t-2\right)\text{dt}\) Khi đó: \(I=\int\limits^2_1\left(2t^2-6t+8-\dfrac{4}{t}\right)\text{dt}\) \(=\left(\dfrac{2}{3}t^3-3t^2+8t-4ln\left|t\right|\right)|^2_1\) \(=\dfrac{11}{3}-4\ln2\)
Khẳng định nào sai ? \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8t\text{dt}\) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{dt}\) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}=0\) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{dx}\) Hướng dẫn giải: A và B đúng vì đổi biến x bằng t. Với D, đổi \(x=\dfrac{\pi}{2}-t\) thì ta có \(dx=-\text{dt}\) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}=\int\limits^0_{-\dfrac{\pi}{2}}\sin^8\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\text{-dt}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{dt}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{dx}\) Vậy chỉ có C là sai. Có cách khác nhận thấy C sai vì \(\sin^8x>0,\forall x\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right),\sin\dfrac{\pi}{2}=1,\sin0=0\) nên \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}>0\).
Khẳng định nào sai ? \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8t\text{dt}\) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{dt}\) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}=0\) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{dx}\) Hướng dẫn giải: A và B đúng vì đổi biến x bằng t. Với D, đổi \(x=\dfrac{\pi}{2}-t\) thì ta có \(dx=-\text{dt}\) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}=\int\limits^0_{-\dfrac{\pi}{2}}\sin^8\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\text{-dt}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8t\text{dt}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^8x\text{dx}\) Vậy chỉ có C là sai. Có cách khác nhận thấy C sai vì \(\sin^8x>0,\forall x\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right),\sin\dfrac{\pi}{2}=1,\sin0=0\) nên \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^8x\text{dx}>0\).
Đặt \(I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin x.\cos^3x.e^{\sin^2x}\text{dx}\) và \(t=\sin^2x\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? \(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0e^t\left(1-t\right)\text{dt}\) \(I=2\int\limits^1_0e^t\left(1-t\right)\text{dt}\) \(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0e^t\left(1+t\right)\text{dt}\) \(I=2\int\limits^1_0e^t\left(1+t\right)\text{dt}\) Hướng dẫn giải: \(t=\sin^2x\) suy ra \(\text{dt}=2\sin x.\cos x\text{dx}\). Đổi biến số \(x|^{\dfrac{\pi}{2}}_0\Rightarrow t^1_0\) Vậy \(I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^2x\sin x\cos x.e^{\sin^2s}\text{dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(1-\sin^2x\right).e^{\sin^2x}2.\sin x.\cos x\text{d}x\) \(=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\left(1-t\right)e^t\text{dt}\)
Đặt \(I=\int\limits^6_{3\sqrt{2}}\dfrac{\text{dx}}{x\sqrt{x^2-9}}\) và \(x=\dfrac{3}{\cos t}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? \(\text{dx}=\dfrac{3\tan t\text{dt}}{\cos t}\) \(x\sqrt{x^2-9}=\dfrac{9\tan t}{\cos t}\) \(I=\dfrac{1}{3}\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}\text{dt}\) \(I=\dfrac{\pi}{36}\) Hướng dẫn giải: \(x=\dfrac{3}{\cos t}\) suy ra \(\text{dx}=-3.\dfrac{-\sin t}{\cos^2t}\text{dt}=3.\dfrac{\tan t}{\cos t}\text{dt}\) \(x\sqrt{x^2-9}=\dfrac{3}{\cos t}\sqrt{\dfrac{9}{\cos^2t}-9}=\dfrac{9\left|\tan t\right|}{\cos t}\) Vậy B sai.
Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục \(y=f\left(x\right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) như trong hình vẽ sau. Khẳng định nào sai? \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\) \(S=\int\limits^b_a\left(-f\left(x\right)\right)\text{dx}\) \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{dx}\) \(S=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\right|\) Hướng dẫn giải: Vì đồ thì nằm dưới trục hoành với mọi x trong đoạn [a;b] nên \(\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}< 0\) nên công thức tính diện tích này sai vì diện tích không thể là số âm.
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) như trong hình vẽ sau. Khẳng định nào đúng? \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\) \(S=-\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\) \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{dx}\) \(S=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{dx}\right|\) Hướng dẫn giải: Do f(x) nhận cả giá trị âm và dương trên đoạn [a;b] nên trong 4 công thức trên chỉ có công thức sau là tính diện tích hình phẳng cho trong đề bài: \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{dx}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=x\) và \(y=\sqrt{x}\). \(\dfrac{1}{6}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{5}\) \(\dfrac{1}{7}\) Hướng dẫn giải: Trước hết tìm giao của hai đồ thị. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: \(x=\sqrt{x}\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2=x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2-x=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\) Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là: \(S=\int\limits^1_0\left|x-\sqrt{x}\right|\text{dx}=\left|\int\limits^1_0\left(x-x^{\dfrac{1}{2}}\right)\text{dx}\right|\) chú ý \(x-\sqrt{x}\) không đổi dấu trên đoạn [0;1] (vì nếu chúng đổi dấu thì sẽ có thêm 1 giao điểm chung nữa trên đoạn [0;1]) nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân. \(S=\left|\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}}\right)|^1_0\right|=\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{1}{6}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y^2=8x,x=2\). \(\dfrac{32}{3}\) \(\dfrac{3}{128}\) \(\dfrac{61\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) Hướng dẫn giải: Giao của hai đồ thị có tung độ là nghiệm của phương trình: \(\dfrac{y^2}{8}=2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=4\\y=-4\end{matrix}\right.\) Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên là: \(S=\int\limits^4_{-4}\left|\dfrac{y^2}{8}-2\right|\text{dy}=\left|\int\limits^4_{-4}\left(\dfrac{y^2}{8}-2\right)\text{dy}\right|\) Ta đưa trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân được là do hai đồ thị chỉ cắt nhau tại 2 điểm có tung độ là -4 và 4 (vì biểu thức \(\dfrac{y^2}{8}-2\) chỉ nhận giá trị dương hoặc âm trên toàn đoạn [-4;4]). \(S=\left|\left(\dfrac{y^3}{24}-2y\right)|^4_{-4}\right|=\dfrac{32}{3}\)
