Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\left(x-1\right)^2,y=0,x=0,x=2\). \(15\) \(21\) \(\dfrac{2}{3}\) \(35\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^2_0\left|\left(x-1\right)^2-0\right|\text{dx}=\int\limits^2_0\left(x-1\right)^2\text{dx}\) \(=\int\limits^2_0\left(x-1\right)^2d\left(x-1\right)=\dfrac{\left(x-1\right)^3}{3}|^2_0\) \(=\dfrac{2}{3}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\left(x-2\right)^2-1,y=0\). \(\dfrac{4}{3}\) \(\dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{25}{3}\) \(\dfrac{25}{4}\) Hướng dẫn giải: Tìm giao của 2 đồ thị bằng giải phương trình sau: \(\left(x-2\right)^2-1=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\) Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là: \(S=\int\limits^3_1\left|\left(x-2\right)^2-1\right|\text{dx}=\left|\int\limits^3_1\left(x^2-4x+3\right)\text{dx}\right|\) Chú ý ta có thể chuyển dấu trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân vì biểu thức dưới dấu tích phân chỉ có 2 nghiệm tại hai đầu mút 1 và 3. \(S=\left|\left(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)|^3_1\right|=\dfrac{4}{3}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x\ln x,y=0,x=e\). \(\dfrac{e^2-1}{4}\) \(\dfrac{e^2+1}{4}\) \(\dfrac{e^2}{4}\) \(\dfrac{1}{4}\) Hướng dẫn giải: Miền xác định của đồ thị \(y=x\ln x\) là \(x>0\). Đồ thị \(y=x\ln x\) cắt đồ thị \(y=0\) tại điểm có hoành độ thỏa mãn: \(x\ln x=0\Leftrightarrow x=1\). Vậy Hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng \(y=x\ln x\), trục hoành (y=0), \(x=1,x=e\). Diện tích hình phằng bằng: \(S=\int\limits^e_1\left|x\ln x\right|\text{dx}=\left|\int\limits^e_1x\ln x\text{dx}\right|\) Tính tích phân trên bằng phương pháp tích phân từng phần. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\) \(S=\left|\dfrac{x^2}{2}\ln x|^e_1-\int\limits^e_1\dfrac{1}{x}.\dfrac{x^2}{2}\text{dx}\right|=\left|\dfrac{x^2\ln x}{2}|^e_1-\dfrac{1}{2}\int\limits^e_1x\text{dx}\right|\) \(=\left(\dfrac{x^2\ln x}{2}-\dfrac{1}{4}x^2\right)|^e_1=\dfrac{e^2+1}{4}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\tan x,y=0,x=0,x=\dfrac{\pi}{3}\). \(\ln2\) \(\ln3\) \(\ln4\) \(\ln\sqrt{2}\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\left|\tan x\right|\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\tan x\text{dx}\) (Bỏ dấu trị tuyệt đối được do hàm tan không âm trên đoạn \(\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]\). \(S=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\dfrac{\sin x}{\cos x}\text{dx}=-\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\dfrac{d\left(\cos x\right)}{\cos x}=-\ln\left(\cos x\right)|^{\dfrac{\pi}{3}}_0\) \(=\ln2\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2-4,y=2x-4,x=0,x=2\). \(\dfrac{8}{3}\) \(\dfrac{4}{3}\) \(2\) \(\sqrt{8}\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^2_0\left|\left(x^2-4\right)-\left(2x-4\right)\right|\text{dx}=\int\limits^2_0\left|x^2-2x\right|\text{dx}\) Ta có: \(x^2-2x=x\left(x-2\right)\le0,\forall x\in\left[0;2\right]\) suy ra: \(S=\int\limits^2_0\left(-x^2+2x\right)\text{dx}=\left(-\dfrac{x^3}{3}+x^2\right)|^2_0=\dfrac{4}{3}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sin x,y=0,x=0,x=\pi\). \(4\pi\) \(4\) \(2\) \(\pi\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^{\pi}_0\left|\sin x\right|\text{dx}\) Vì \(\sin x\ge0\) với mọi \(x\in\left[0;\pi\right]\) nên tích phân trên bằng: \(S=\int\limits^{\pi}_0\sin x\text{dx}=-\cos x|^{\pi}_0=1+1=2\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^3+1,y=0,x=0,x=1\). \(\dfrac{5}{4}\) \(\dfrac{7}{4}\) \(\dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{4}{3}\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^1_0\left|x^3+1\right|\text{dx}\) Trên đoạn [0;1], \(x^3+1>0\) nên \(S=\int\limits^1_0\left(x^3+1\right)\text{dx}=\left(\dfrac{x^4}{4}+x\right)|^1_0=\dfrac{5}{4}\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2-4x+4,y=0,x=0,x=3\). \(5\) \(3\) \(\dfrac{4}{3}\) \(\dfrac{8}{3}\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^3_0\left|x^2-4x+4\right|\text{dx}=\int\limits^3_0\left|\left(x-2\right)^2\right|\text{dx}\) \(=\int\limits^3_0\left(x-2\right)^2d\left(x-2\right)=\dfrac{\left(x-2\right)^3}{3}|^3_0=3\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\dfrac{e^{\tan x}}{\cos^2x},y=0,x=0,x=\dfrac{\pi}{3}\). \(e^3-1\) \(e^{\sqrt{2}}-1\) \(e^{\sqrt{3}}+1\) \(e^{\sqrt{3}}-1\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\left|\dfrac{e^{\tan x}}{\cos^2x}\right|\text{dx}\) Vì trên đoạn \(\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]\) biểu thức \(\dfrac{e^{\tan x}}{\cos^2x}>0\) nên tích phân trên bằng: \(S=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\dfrac{e^{\tan x}}{\cos^2x}\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0e^{\tan x}d\left(\tan x\right)=e^{\tan x}|^{\dfrac{\pi}{3}}_0=e^{\sqrt{3}}-1\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\dfrac{2x-1}{x-1},y=0,x=0,x=-1\). \(2-\ln2\) \(3+\ln4\) \(2-\ln4\) \(5-\ln4\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^0_{-1}\left|\dfrac{2x-1}{x-1}\right|\text{dx}\) Trên đoạn [-1;0] thì \(\dfrac{2x-1}{x-1}>0\) nên tích phân trên bằng: \(S=\int\limits^0_{-1}\dfrac{2x-1}{x-1}\text{dx}=\int\limits^0_{-1}\dfrac{2\left(x-1\right)+1}{x-1}\text{dx}=\int\limits^0_{-1}\left(2+\dfrac{1}{x-1}\right)dx\) \(=\left[2x+\ln\left|x-1\right|\right]|^0_{-1}=2-\ln2\)
