Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\cos4x,y=0,x=0,x=\dfrac{\pi}{8}\). \(\dfrac{1}{4}\) \(3\) \(4\) \(0,5\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^{\dfrac{\pi}{8}}_0\left|\cos4x\right|\text{dx}\) Trên đoạn \(\left[0;\dfrac{\pi}{8}\right]\) thì \(0\le4x\le\dfrac{\pi}{2}\) nên \(\cos4x\ge0\). Suy ra công thức tích phân trên bằng: \(S=\int\limits^{\dfrac{\pi}{8}}_0\cos4x\text{dx}=\dfrac{1}{4}\int\limits^{\dfrac{\pi}{8}}_0\cos4x\text{d}\left(4x\right)=\dfrac{1}{4}\sin4x|^{\dfrac{\pi}{8}}_0\) \(=\dfrac{1}{4}\)
Gọi S là số đo của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=2x^2+3x+1\) và parabol \(y=x^2-x-2\). Tính \(\cos\left(\dfrac{\pi}{S}\right)\). \(\cos\left(\dfrac{\pi}{S}\right)=0\) \(\cos\left(\dfrac{\pi}{S}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\cos\left(\dfrac{\pi}{S}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\cos\left(\dfrac{\pi}{S}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm của hao parabol là nghiệm phương trình: \(2x^2+3x+1=x^2-x-2\) \(\Leftrightarrow x^2+4x+3=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-3\end{matrix}\right.\) Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol là: \(S=\int\limits^{-1}_{-3}\left|\left(2x^2+3x+1\right)-\left(x^2-x-2\right)\right|\text{dx}=\int\limits^{-1}_{-3}\left|x^2+4x+3\right|\text{dx}\) Trên đoạn [-3; -1] biểu thức \(x^2+4x+3\le0\) (theo qui tắc ngoài khoảng 2 nghiệm thì dương và trong khoảng 2 nghiệm thì âm). Vậy \(S=\int\limits^{-1}_{-3}\left(-x^2-4x-3\right)\text{dx}=\left(-\dfrac{x^3}{3}-2x^2-3x\right)|^{-1}_{-3}=\dfrac{4}{3}\) Suy ra \(\cos\left(\dfrac{\pi}{S}\right)=\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Gọi S là số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường \(y=x\sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0,x=\pi\). Khẳng định nào sai? \(\sin\dfrac{S}{2}=1\) \(\cos2S=1\) \(\tan\dfrac{S}{4}=1\) \(\sin S=1\) Hướng dẫn giải: \(S=\int\limits^{\pi}_0\left|x\sin x\right|\text{d}x\) Trên đoạn \(\left[0;\pi\right]\) biểu thức \(x\sin x\ge0\) nên tích phân trên được tính như sau: \(S=\int\limits^{\pi}_0x\sin x\text{d}x\) Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần ta có: Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1\\v=-\cos x\end{matrix}\right.\) \(S=-x\cos x|^{\pi}_0+\int\limits^{\pi}_0\cos x\text{d}x=\left(-x\cos x+\sin x\right)|^{\pi}_0\) \(=\pi\) Vậy đẳng thức \(\sin S=1\) là sai.
Kí hiệu \(S_1,S_2\) lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2+1,y=0,x=-1,x=2\). Chọn khẳng định đúng. \(S_1=S_2\) \(S_1>S_2\) \(S_1=\dfrac{1}{2}S_2\) \(\dfrac{S_2}{S_1}=6\) Hướng dẫn giải: \(S_2=\int\limits^2_{-1}\left|x^2+1\right|\text{dx}=\int\limits^2_{-1}\left(x^2+1\right)\text{dx}=\left(\dfrac{x^3}{3}+x\right)|^2_{-1}=6\) Vậy ta có khẳng định đúng là: \(\dfrac{S_2}{S_1}=6\)
Hình phẳng H có diện tích gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y^2=2x,x-2y+2=0,y=0\). Tính S. \(S=20\) \(S=30\) \(S=40\) \(S=50\) Hướng dẫn giải: Hai đường \(y^2=2x,x-2y+2=0\) có thể viết lại như sau: (Chú ý bậc của x là 1 và bậc của y là 2 nên ta coi chúng là hàm số biến số là y). \(x=\dfrac{y^2}{2}\) \(x=2y-2\) Hai đường này cắt nhau tại điểm có tung độ thỏa mãn: \(\dfrac{y^2}{2}=2y-2\) \(\Leftrightarrow y^2-4y+4=0\Leftrightarrow y=2\) Vậy giao của các đường \(x=\dfrac{y^2}{2},x=2y-2,y=0\) và \(y=2\) là: \(S_1=\int\limits^2_0\left|\dfrac{y^2}{2}-\left(2y-2\right)\right|\text{dy}=\dfrac{1}{2}\int\limits^2_0\left|y^2-4y+4\right|\text{dy}\) \(=\dfrac{1}{2}\int\limits^2_0\left|\left(y-2\right)^2\right|\text{dy}=\dfrac{1}{2}\int\limits^2_0\left(y-2\right)^2d\left(y-2\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}\left(y-2\right)^3|^2_0=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\) Suy ra \(S=30.S_1=30.\dfrac{4}{3}=40\)
Kí hiệu \(S_1,S_2,S_3\) lần lượt là diện tích hình vuông đơn vị (có cạnh bằng 1 đơn vị dài), hình tròn đơn vị (có bán kính bằng 1 đơn vị dài), hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y=2\sqrt{1-x^2},y=2\left(1-x\right)\). Tính tỉ số \(\dfrac{S_1+S_3}{S_2}\)/ \(\dfrac{S_1+S_3}{S_2}=\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{S_1+S_3}{S_2}=\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{S_1+S_3}{S_2}=\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{S_1+S_3}{S_2}=\dfrac{1}{5}\) Hướng dẫn giải: Ta tính \(S_3\) như sau: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn: \(2\sqrt{1-x^2}=2\left(1-x\right)\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x\ge0\\1-x^2=\left(1-x\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=0;x=1\) Suy ra \(S_3=\int\limits^1_0\left|2\sqrt{1-x^2}-2\left(1-x\right)\right|\text{dx}=\left|2\int\limits^1_0\left(\sqrt{1-x^2}-1+x\right)\text{dx}\right|\) (Chú ý ta đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài được vì biểu thức dưới dấu tích phân không đổi dấu trên đoạn [0;1].) \(S_3=2\left|\int\limits^1_0\sqrt{1-x^2}dx-\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)|^1_0\right|\) \(=2\left|\int\limits^1_0\sqrt{1-x^2}\text{dx}-\dfrac{1}{2}\right|\) Đặt \(x=\sin t\) \(\Rightarrow\text{dx}=\cos t\text{dt}\), Đổi cận: \(x|^1_0\Rightarrow t|^{\dfrac{\pi}{2}}_0\) Ta có \(\int\limits^1_0\sqrt{1-x^2}\text{dx}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sqrt{1-\sin^2t}\cos t\text{dt}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos^2t\text{dt}\) \(=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{1+\cos2t}{2}\text{dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(1+\cos2t\right)\text{dt}=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{1}{2}\sin2t\right)|^{\dfrac{\pi}{2}}_0=\dfrac{\pi}{4}\) Suy ra \(S_3=2\left|\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{\pi}{2}-1\) Tỉ số: \(\dfrac{S_1+S_3}{S_2}=\dfrac{1+\dfrac{\pi}{2}-1}{\pi.1^2}=\dfrac{1}{2}\)
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh truch Õ hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt[3]{x},y=0,x=1,x=8\). \(V=\pi^2\) \(V=\dfrac{9\pi}{4}\) \(V=18,6\) \(V=\dfrac{93\pi}{5}\) Hướng dẫn giải: \(V=\pi\int\limits^8_1\left(\sqrt[3]{x}\right)^2\text{dx}=\pi\int\limits^8_1x^{\dfrac{2}{3}}\text{dx}=\pi.\left(\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}+1}x^{\dfrac{2}{3}+1}\right)|^8_1\) \(=\pi.\dfrac{3}{5}x^{\dfrac{5}{3}}|^8_1=\dfrac{93\pi}{5}\)
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường\(y=\sqrt{\tan x},y=0,x=0,x=\dfrac{\pi}{4}\). \(V=\dfrac{\pi}{4}\) \(V=\dfrac{\pi^2}{4}\) \(V=\dfrac{\sqrt{\pi}}{4}\) \(V=\dfrac{\pi\ln2}{4}\) Hướng dẫn giải: \(V=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\left(\sqrt{\tan x}\right)^2\text{dx}=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\tan x\text{dx}\) \(=\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{\sin x}{\cos x}\text{dx}=-\pi\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{d\left(\cos x\right)}{\cos x}=-\pi.\ln\cos x|^{\dfrac{\pi}{4}}_0\) \(=-\pi\left(\ln\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\pi\ln\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\pi\ln2\)
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=4-x^2,y=0\). \(V=2\pi\) \(V=\dfrac{71}{82}\) \(V=\dfrac{512\pi}{15}\) \(V=\dfrac{8}{3}\pi^2\) Hướng dẫn giải: Giao điểm của 2 đường \(y=4-x^2,y=0\) là (2;0) và (-2;0). Thể tích khối tròn xoay là: \(V=\pi\int\limits^2_{-2}\left(4-x^2\right)^2\text{dx}=\pi\int\limits^2_{-2}\left(4-8x^2+x^4\right)\text{dx}\) \(=\pi\left(4x-\dfrac{8}{3}x^3+\dfrac{x^5}{5}\right)|^2_{-2}=\dfrac{512\pi}{15}\)
Kí hiệu \(V_1,V_2\) lần lượt là thể tích hình cầu bán kính đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y=-2x+2\) và đường cong \(y=2\sqrt{1-x^2}\). Hãy so sánh \(V_1,V_2\). \(V_1< V_2\) \(V_1=V_2\) \(V_1>V_2\) \(V_1=2V_2\) Hướng dẫn giải: Hai đồ thị \(y=-2x+2\) và \(y=2\sqrt{1-x^2}\) cắt nhau tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình: \(-2x+2=2\sqrt{1-x^2}\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x+1\ge0\\-2x+2=2\sqrt{1-x^2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le1\\\left(-x+1\right)^2=1-x^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=0;x=1\) Thể tích \(V_2\) khối tròn xoay tạo thành như sau: \(V_2=\pi\int\limits^1_0\left|\left(-2x+2\right)^2-\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2\right|\text{d}x\) \(=\pi\int\limits^1_0\left|8\left(x^2-x\right)\right|\text{dx}=8\pi\int\limits^1_0\left(x-x^2\right)\text{dx}\) \(=8\pi\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right)|^1_0=\dfrac{8\pi}{6}=\dfrac{4\pi}{3}\) Thể tích khối cầu bán kính đơn vị là: \(V_1=\dfrac{4}{3}\pi.1^3=\dfrac{4\pi}{3}\) Vậy \(V_1=V_2\)
