Bài 1 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Viết điều kiện của các phương trình sau a) \(\sqrt {2x + 1} = {1 \over x}\) b) \({{x + 2} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }} = 3{x^2} + x + 1\) c) \({x \over {\sqrt {x - 1} }} = {2 \over {\sqrt {x + 3} }}\) d) \({{2x + 3} \over {{x^2} - 4}} = \sqrt {x + 1} \) Gợi ý làm bài a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge - {1 \over 2}\) và \(x \ne 0\) b) \(\forall x \in R\) c) Biểu thức vế trái có nghĩa khi x > 1 và biểu thức vế phải có nghĩa khi . Từ đó suy ra điều kiện của phương trình là x > 1. d) Điều kiện của phương trình là \(x \ge - 1,x \ne 2\) và \(x \ne - 2\) . Vì x > -1 thì \(x \ne 2\) . Vì x > -1 thì \(x \ne - 2\) suy ra điều kiện của phương trình là \(x \ge - 1,x \ne 2\) Bài 2 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương a) \(x + 2 = 0\) và \({{mx} \over {x + 3}} + 3m - 1 = 0\) b) \({x^2} - 9 = 0\) và \(2{x^2} + (m - 5)x - 3(m + 1) = 0\) Gợi ý làm bài a) Phương trình x + 2 = 0 có nghiệm x = -2. Phương trình \({{mx} \over {x + 3}} + 3m - 1 = 0\) có nghiệm duy nhất x = -2 khi -2m + 3m – 1 = 0 suy ra m = 1. Vậy hai phương trình tương đương khi m = 1. b) Phương trình \({x^2} - 9 = 0\) có hai nghiệm x =3 và x =-3 Giá trị x =3 là nghiệm của phương trình \(2{x^2} + (m - 5)x - 3(m + 1) = 0\) (1) Khi \(18 + 3(m - 5) - 3(m + 1) = 0\) Đẳng thức trên thỏa mãn với mọi m. Giá trị x = -3 là nghiệm của hệ phương trình (1) khi \(18 + 3(m - 5) - 3(m + 1) = 0\) \( \Leftrightarrow 30 - 6m = 0 \Leftrightarrow m = 5\) Khi m = 5 phương trình (1) trở thành \(2{x^2} - 18 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0\) Phương trình này có hai nghiệm x = 3 và x = -3. Vậy với m = 5 hai phương trình đã cho tương đương. Bài 3 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Gợi ý làm bài các phương trình a) \(\sqrt {x + 1} + x = \sqrt {x + 1} + 2\) b) \(x - \sqrt {3 - x} = \sqrt {x - 3} + 3\) c) \({x^2} - \sqrt {2 - x} = 3 + \sqrt {x - 4} \) d) \({x^2} + \sqrt { - x - 1} = 4 + \sqrt { - x - 1} \) Gợi ý làm bài a) Điều kiện của phương trình là: \(x \ge - 1\). Ta có \(\sqrt {x + 1} + x = \sqrt {x + 1} + 2 = > x = 2\) Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x = 2. b) Điều kiện của phương trình là: \(x \le 3\) và \(x \ge 3\) hay x = 3. Giá trị x = 3 nghiệm đúng phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3. c) Điều kiện của phương trình là: \(x \le 2\) và \(x \ge 4\) . Không có số thực nào thỏa mãn đồng thời hai điều kiện này. d) Điều kiện của phương trình là: \(x \le - 1\) . Ta có: \({x^2} + \sqrt { - x - 1} = 4 + \sqrt { - x - 1} = > {x^2} = 4 = > {x_1} = 2,{x_2} = - 2\) Chỉ có giá trị \({x_2} = - 2\) thỏa mãn điều kiện \(x \le - 1\) và nghiệm đúng phương trình đã cho. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -2. Bài 4 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Gợi ý làm bài các phương trình a) \({{3{x^2} + 1} \over {\sqrt {x - 1} }} = {4 \over {\sqrt {x - 1} }}\) b) \({{x{}^2 + 3x + 4} \over {\sqrt {x + 4} }} = \sqrt {x + 4} \) c) \({{3{x^2} - x - 2} \over {\sqrt {3x - 2} }} = \sqrt {3x - 2} \) d) \(2x + 3 + {4 \over {x - 1}} = {{{x^2} + 3} \over {x - 1}}\) Gợi ý làm bài a) Điều kiện của phương trình là x >1. Ta có \({{3{x^2} + 1} \over {\sqrt {x - 1} }} = {4 \over {\sqrt {x - 1} }} = > 3{x^2} + 1 = 4\) \( = > {x^2} = 1 = > \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - 1 \hfill \cr} \right.\) Cả hai giá trị x = 1, x = -1 đều không thỏa mãn điều kiện x > 1. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. b) Điều kiện của phương trình là x > -4. Ta có \({{x{}^2 + 3x + 4} \over {\sqrt {x + 4} }} = \sqrt {x + 4} = > {x^2} + 3x + 4 = x + 4\) => \({x^2} + 2x = 0 = > x(x + 2) = 0\) Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = 0\) và \({x_2} = - 2\) Cả hai giá trị \({x_1} = 0\) và \({x_2} = - 2\) đều thỏa mãn điều kiện x > -4 và nghiệm đúng phương trình đã cho. c) Điều kiện của phương trình là \(x > {2 \over 3}\) . Ta có \({{3{x^2} - x - 2} \over {\sqrt {3x - 2} }} = \sqrt {3x - 2} = > 3{x^2} - x - 2 = 3x - 2\) => \(3{x^2} - 4x = 0\) => \(x(3x - 4) = 0 = > \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\) Chỉ có giá trị \(x = {4 \over 3}\) thỏa mãn điều kiện \(x > {2 \over 3}\) và nghiệm đúng phương trình đã cho. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {4 \over 3}\) d) Điều kiện của phương trình là \(x \ne 1\) . Ta có \(2x + 3 + {4 \over {x - 1}} = {{{x^2} + 3} \over {x - 1}}\) => \((2x + 3)(x - 1) + 4 = {x^2} + 3\) => \({x^2} + x - 2 = 0\) => \(\left[ \matrix{x = 1 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right.\) Giá trị x = 1 bị loại do vi phậm điều kiện \(x \ne 1\) và giá trị x = -2 nghiệm đúng phương trình đã cho. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -2. Bài 5 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương a) \(3x - 2 = 0\) và \((m + 3)x - m + 4 = 0\) b) \(x + 2 = 0\) và \(m({x^2} + 3x + 2) + {m^2}x + 2 = 0\) Gợi ý làm bài a) Phương trình 3x – 2 = 0 có nghiệm \(x = {2 \over 3}\) , thay \(x = {2 \over 3}\) vào phương trình \((m + 3)x - m + 4 = 0\) , ta có \((m + 3){2 \over 3} - m + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow - {1 \over 3}m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 18\) Với m = 18 phương trình \((m + 3)x - m + 4 = 0\) trở thành 21x = 14 hay \(x = {2 \over 3}\) Vậy hai phương trình tương đương khi m = 18. b) Phương trình x + 2 = 0 có nghiệm x = -2. Thay x = -2 vào phương trình \(m({x^2} + 3x + 2) + {m^2}x + 2 = 0\) , ta có \( - 2{m^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\) Khi m = 1 phương trình thứ hai trở thành \({x^2} + 4x + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 2\) Khi m = -1 phương trình thứ hai trở thành \( - {x^2} - 2x = 0\) \( \Leftrightarrow - x(x + 2) = 0\) Phương trình này có hai nghiệm x = 0 , x = -2. Vậy hai phương trình đã cho tương đương khi m = 1.
