Bài 23 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng, đẳng thức nào sai? a) \(\sin (x + {\pi \over 2}) = \cos x\) b) \(cos(x + {\pi \over 2}) = sinx\) c) \(\sin (x - \pi ) = sinx\) d) \(cos(x - \pi ) = \cos x\) Gợi ý làm bài Đáp số: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai. Bài 24 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tồn tại hay không góc \(\alpha \) sao cho a) \(\sin \alpha = - 1\) b) \({\rm{cos}}\alpha = 0\) c) \(\sin \alpha = - 0,9\) d) \(cos\alpha = - 1,2\) e) \(\sin \alpha = 1,3\) g) \(\sin \alpha = - 2?\) Gợi ý làm bài Đáp số: a) Có; b) Có; c) Có; d) Không, vì -1,2 <-1. e) Không, vì 1,3 > 1; g) Không, vì -2 < -1. Bài 25 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Không dùng bảng số và máy tính, hãy xác định dấu của \(\sin \alpha \) và \(cos\alpha \) với a) \(\alpha = {135^0}\) b) \(\alpha = {210^0}\) c) \(\alpha = {334^0}\) d) \(\alpha = {1280^0}\) e) \(\alpha = - {235^0}\) g) \(\alpha = - {1876^0}\) Gợi ý làm bài a) \(\sin {135^0} > 0,cos{135^0} < 0\) b) \(\sin {210^0} < 0,cos{210^0} < 0\) c) \(\sin {334^0} < 0,cos{334^0} > 0\) d) \(\eqalign{ & \sin {1280^0} = \sin ({3.360^0} + {120^0}) = sin{200^0} < 0, \cr & cos{1280^0} = \cos {200^0} < 0 \cr} \) e) \(\eqalign{ & \sin ( - {235^0}) = \sin ( - {180^0} - {55^0}) \cr & = - sin( - {55^0}) = \sin {55^0} > 0,cos( - {235^0}) < 0 \cr} \) g) \(\eqalign{ & \sin ( - {1876^0}) = \sin ( - {1800^0} - {76^0}) = \sin ( - {76^0}) = - sin{76^0} < 0, \cr & cos( - {1876^0}) = \cos {( - 76)^0} = \cos {76^0} > 0 \cr} \) Bài 26 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Hãy viết theo thứ tự tăng dần các giá trị sau (không dùng bảng số và máy tính) a) \(\sin {40^0},\sin {90^0},\sin {220^0},\sin {10^0}\) b) \({\rm{cos}}{15^0},{\rm{cos}}{0^0},{\rm{cos}}{90^0},{\rm{cos}}{138^0}\) Gợi ý làm bài a) \(\sin {220^0} < \sin {10^0} < \sin {40^0} < \sin {90^0}\) b) \({\rm{cos}}{138^0} < {\rm{cos}}{90^0} < {\rm{cos}}{15^0}{\rm{ < cos}}{0^0}\) Bài 27 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Hãy xác định dấu của các tích (không dùng bảng số và máy tính) a) \(\sin {110^0}cos{130^0}tan{30^0}\cot {320^0}\) b) \(\sin ( - {50^0})\tan {170^0}{\rm{cos}}( - {91^0})\sin {530^0}\) Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\sin {110^0} > 0;cos{130^0} < 0;tan{30^0} > 0;\cot {320^0} < 0\), do đó tích của chúng dương. b) \(\sin ( - {50^0}) < 0;\tan {170^0}{\rm{ < 0;cos}}( - {91^0}) < 0;\sin {530^0} > 0\), do đó tích của chúng âm Bài 28 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho tam giác ABC. Hỏi tổng \(\sin A + \sin B + \sin C\) âm hay dương? Gợi ý làm bài Vì các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\) là góc trong tam giác ABC nên sinA > 0, sinB >0, sinC >0. Do đó sinA + sinB + sinC > 0. Bài 29 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tính các giá trị lượng giác của cung \(\alpha \) biết a) \(\sin \alpha = 0,6\) khi \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) b) \({\rm{cos}}\alpha = - 0,7\) khi \({\pi \over 2} < \alpha < \pi \) c) \(\tan \alpha = 2\) khi \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2}\) d) \(\cot \alpha = - 3\) khi \({{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi \) Gợi ý làm bài a) \(0 < \alpha < {\pi \over 2} = > \cos \alpha > 0\), do đó \(\cos \alpha = \sqrt {1 - si{n^2}\alpha } = \sqrt {1 - 0,36} = \sqrt {0,64} = 0,8\) => \(\tan \alpha = {3 \over 4},\cot \alpha = {4 \over 3}\) b) \({\pi \over 2} < \alpha < \pi = > \sin \alpha > 0\), do đó \(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - 0,49} = \sqrt {0,51} \approx 0,71\) Suy ra: \(\tan \alpha = - {{0,7} \over {0,71}} \approx - 0,98,\cot \alpha \approx - 1,01\) c) \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} = > \cos \alpha < 0\), do đó \(\eqalign{ & \cos \alpha = - {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = - {1 \over {\sqrt 5 }} = - {{\sqrt 5 } \over 5}, \cr & \sin \alpha = - {{2\sqrt 5 } \over 5},\cot \alpha = {1 \over 2} \cr} \) d) \({{3\pi } \over 2} < \alpha < 2\pi = > \sin \alpha < 0\), do đó \(\eqalign{ & \sin \alpha = - {1 \over {\sqrt {1 + {{\cot }^2}\alpha } }} = - {1 \over {\sqrt {10} }} = - {{\sqrt {10} } \over {10}}, \cr & cos\alpha = {{3\sqrt {10} } \over {10}},tan\alpha = - {1 \over 3} \cr} \) Bài 30 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Chứng minh rằng a) \(\sin ({270^0} - \alpha ) = - c{\rm{os}}\alpha \) b) \({\rm{cos}}({270^0} - \alpha ) = - \sin \alpha \) c) \(\sin ({270^0} + \alpha ) = - c{\rm{os}}\alpha \) d) \({\rm{cos}}({270^0} + \alpha ) = \sin \alpha \) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \sin ({270^0} - \alpha ) = \sin ({360^0} - ({90^0} + \alpha ) \cr & = - sin({90^0} + \alpha ) = - c{\rm{os}}\alpha \cr}\) b) \(\eqalign{ & \cos ({270^0} - \alpha ) = \cos ({360^0} - ({90^0} + \alpha )) \cr & = \cos ({90^0} + \alpha ) = - {\rm{sin}}\alpha \cr} \) c) \(\eqalign{ & \sin ({270^0} + \alpha ) = \sin ({360^0} - ({90^0} - \alpha )) \cr & = - \sin ({90^0} - \alpha ) = - c{\rm{os}}\alpha \cr} \) d) \(\eqalign{ & {\rm{cos}}({270^0} + \alpha ) = \cos ({360^0} - ({90^0} - \alpha ) \cr & = cos({90^0} - \alpha ) = \sin \alpha \cr} \) Bài 31 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Rút gọn các biểu thức (không dùng bảng số và máy tính) a) \({\sin ^2}({180^0} - \alpha ) + ta{n^2}({180^0} - \alpha ){\tan ^2}({270^0} - \alpha ) + \sin ({90^0} + \alpha )cos(\alpha - {360^0})\) b) \({{\cos (\alpha - {{90}^0})} \over {\sin ({{180}^0} - \alpha )}} + {{\tan (\alpha - {{180}^0})c{\rm{os(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha )\sin ({{270}^0} + \alpha )} \over {\tan ({{270}^0} + \alpha )}}\) c) \({{\cos ( - {{288}^0})cot{{72}^0}} \over {tan( - {{162}^0})\sin {{108}^0}}} + \tan {18^0}\) d) \({{\sin {{20}^0}\sin {\rm{3}}{{\rm{0}}^0}\sin {{40}^0}\sin {{50}^0}\sin {{60}^0}\sin {{70}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}}\) Gợi ý làm bài a) \({\sin ^2}({180^0} - \alpha ) + ta{n^2}({180^0} - \alpha ){\tan ^2}({270^0} - \alpha ) + \sin ({90^0} + \alpha )cos(\alpha - {360^0})\) = \({\sin ^2}\alpha + {\tan ^2}\alpha {\cot ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 2\) b) \({{\cos (\alpha - {{90}^0})} \over {\sin ({{180}^0} - \alpha )}} + {{\tan (\alpha - {{180}^0})c{\rm{os(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha )\sin ({{270}^0} + \alpha )} \over {\tan ({{270}^0} + \alpha )}}\) = \({{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\tan \alpha ( - \cos \alpha )( - \cos \alpha )} \over { - \cot \alpha }} = 1 - {\sin ^2}\alpha = {\cos ^2}\alpha \) c) \({{\cos ( - {{288}^0})cot{{72}^0}} \over {tan( - {{162}^0})\sin {{108}^0}}} + \tan {18^0}\) \( = {{\cos ({{72}^0} - {{360}^0})\cot {{72}^0}} \over {\tan ({{18}^0} - {{180}^0})\sin ({{180}^0} - {{72}^0})}} - \tan {18^0}\) = \({{{\rm{cos7}}{{\rm{2}}^0}\cot {{72}^0}} \over {\tan {{18}^0}\sin {{72}^0}}} - \tan {18^0}\) = \({{{{\cot }^2}{{72}^0}} \over {\tan {{18}^0}}} - \tan {18^0} = {{{{\tan }^2}{{18}^0}} \over {\tan {{18}^0}}} - \tan {18^0} = 0\) d) Ta có: \(\sin {70^0} = \cos {20^0},\sin {50^0} = cos4{{\rm{0}}^0};\sin {40^0} = cos{50^0}\). Vì vậy \({{\sin {{20}^0}\sin {\rm{3}}{{\rm{0}}^0}\sin {{40}^0}\sin {{50}^0}\sin {{60}^0}\sin {{70}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}}\) = \(\eqalign{ & {{{1 \over 2}.{{\sqrt 3 } \over 2}.\sin {{20}^0}\cos {\rm{2}}{{\rm{0}}^0}\cos {{50}^0}\cos {{40}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}} \cr & = {{{1 \over 2}.{{\sqrt 3 } \over 4}\sin {{40}^0}.cos{{40}^0}} \over {{\rm{cos1}}{{\rm{0}}^0}}} \cr} \) = \({{{{\sqrt 3 } \over {16}}\sin {{80}^0}} \over {cos{{10}^0}}} = {{\sqrt 3 } \over {16}}\) Bài 32 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho \({0^0} < \alpha < {90^0}\). a) Có giá trị nào của \(\alpha \) sao cho \(\tan \alpha < \sin \alpha \) hay không? b) Chứng minh rằng \(\sin \alpha + \cos \alpha > 1\) Gợi ý làm bài a) Với \({0^0} < \alpha < {90^0}\) thì \(0 < \cos \alpha < 1\) hay \({1 \over {\cos \alpha }} > 1\) Nhân hai vế với \(\sin \alpha > 0\) ta được \(tan\alpha > \sin \alpha \). Vậy không có giá trị nào của \(\alpha ({0^0} < \alpha < {90^0})\) để \(tan\alpha < \sin \alpha \) b) Ta có \(\sin \alpha + \cos \alpha > 0\) và \(\sin \alpha \cos \alpha > 0\). Do đó \(\eqalign{ & {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = {\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + 2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha \cr & {\rm{ = 1 + 2}}\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha > 1 \cr} \) Từ đó suy ra: \(\sin \alpha + \cos \alpha > 1\) Bài 33 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), biết a) \(\cos \alpha = 2\sin \alpha \) khi \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) b) \(\cot \alpha = 4\tan \alpha \) khi \({\pi \over 2} < \alpha < \pi \) Gợi ý làm bài a) Với \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) thì \(\cos \alpha > 0,\sin \alpha > 0\). Ta có \(1 - {\sin ^2}\alpha = {\cos ^2}\alpha \) Mặt khác \({\cos ^2}\alpha = {(2\sin \alpha )^2} = 4{\sin ^2}\alpha \) nên \(5{\sin ^2}\alpha = 1\) hay \(\eqalign{ & \sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }},\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}, \cr & \tan \alpha = {1 \over 2},\cot \alpha = 2 \cr} \) b) Với \({\pi \over 2} < \alpha < \pi \) thì \(\sin \alpha > 0,cos\alpha {\rm{ < 0,tan}}\alpha {\rm{ < 0}}\) Ta có: \(\cot \alpha = 4\tan \alpha = > {1 \over {\tan \alpha }} = 4\tan \alpha \) \( = > {\tan ^2}\alpha = {1 \over 4} = > \tan \alpha = - {1 \over 2},\cot \alpha = - 2\) \(\cos \alpha = - {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over 4}} }} = - {2 \over {\sqrt 5 }},\sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}\) Bài 34 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Chứng minh các đẳng thức a) \(\tan 3\alpha - \tan 2\alpha - \tan \alpha = \tan \alpha \tan 2\alpha \tan 3\alpha \) b) \({{4\tan \alpha (1 - {{\tan }^2}\alpha )} \over {{{(1 + {{\tan }^2}\alpha )}^2}}} = \sin 4\alpha \) c) \({{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \) d) \({{\cos \alpha \sin (\alpha - 3) - \sin \alpha \cos (\alpha - 3)} \over {\cos (3 - {\pi \over 6}) - {1 \over 2}\sin 3}} = - {{2\tan 3} \over {\sqrt 3 }}\) Gợi ý làm bài a) \(\tan 3\alpha - \tan 2\alpha - \tan \alpha = \tan (2\alpha + \alpha ) - \tan (2\alpha + \alpha )\) = \({{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 - \tan 2\alpha \tan \alpha }} - (\tan 2\alpha + tan\alpha )\) = \((\tan 2\alpha + tan\alpha )({1 \over {1 - \tan 2\alpha \tan \alpha }} - 1)\) = \(\eqalign{ & {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 - \tan 2\alpha \tan \alpha }}(1 - 1 + \tan 2\alpha \tan \alpha ) \cr & = \tan 3\alpha \tan 2\alpha \tan \alpha \cr} \) b) \(\eqalign{ & {{4\tan \alpha (1 - {{\tan }^2}\alpha )} \over {{{(1 + {{\tan }^2}\alpha )}^2}}} = {{2.2\tan \alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}.{{1 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} \cr & = 2sin2\alpha c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ = }}\sin 4\alpha \cr} \) c) \(\eqalign{ & {{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }} = {{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha + {1 \over {{{\tan }^2}\alpha }}}} \cr & = {{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{{{\tan }^4}\alpha + 1} \over {{{\tan }^2}\alpha }}}} = {\tan ^2}\alpha \cr} \) d) \(\eqalign{ & {{\cos \alpha \sin (\alpha - 3) - \sin \alpha \cos (\alpha - 3)} \over {\cos (3 - {\pi \over 6}) - {1 \over 2}\sin 3}} \cr & = {{\sin (\alpha - 3 - \alpha )} \over {\cos 3cos{\pi \over 6} + \sin 3\sin {\pi \over 6} - {1 \over 2}\sin 3}} \cr & = {{ - \sin 3} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}\cos 3}} = - {{2\tan 3} \over {\sqrt 3 }} \cr} \) Bài 35 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Chứng minh rằng các biểu thức sau là những số không phụ thuộc \(\alpha \) a) \(A = 2({\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) - 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )\) b) \(A = 4({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha ) - c{\rm{os4}}\alpha \) c) \(C = 8(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^8}\alpha - {\sin ^8}\alpha ) - \cos 6\alpha - 7\cos 2\alpha \) Gợi ý làm bài a) \(A = 2({\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha - {\sin ^2}\alpha co{s^2}\alpha ) - 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )\) = \( - {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha - 2{\sin ^2}{\cos ^2}\alpha \) = \( - {({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha )^2} = - 1\) b) \(A = 4{\rm{[}}{({\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{]}} - c{\rm{os4}}\alpha \) = \(4\left( {1 - {1 \over 2}{{\sin }^2}2\alpha } \right) - 1 + 2{\sin ^2}2\alpha = 3\) c) \(C = 8(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha )(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha ) - \cos 6\alpha - 7\cos 2\alpha \) \( = 8(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha )(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha ){\rm{[}}{(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{]}} - \cos 6\alpha - 7\cos 2\alpha \) \( = 8c{\rm{os}}2\alpha \left( {1 - {1 \over 2}si{n^2}2\alpha } \right) - c{\rm{os6}}\alpha {\rm{ - 7cos2}}\alpha \) \( = c{\rm{os}}2\alpha - 4\cos 2\alpha si{n^2}2\alpha - c{\rm{os(4}}\alpha + {\rm{2}}\alpha )\) \( = c{\rm{os}}2\alpha - 2\sin 4\alpha sin2\alpha - c{\rm{os4}}\alpha c{\rm{os2}}\alpha + \sin 4\alpha sin2\alpha \) \( = c{\rm{os}}2\alpha - (\cos 4\alpha \cos 2\alpha + \sin {\rm{4}}\alpha \sin {\rm{2}}\alpha )\) \( = \cos 2\alpha - c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ = 0}}\) Bài 36 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Rút gọn các biểu thức a) \({{\tan 2\alpha } \over {\tan 4\alpha - \tan 2\alpha }}\) b) \(\sqrt {1 + \sin \alpha } - \sqrt {1 - \sin \alpha } \) với \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) c) \({{3 - 4\cos 2\alpha + c{\rm{os4}}\alpha } \over {3 + 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha }}\) d) \({{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha } \over {\cos \alpha + \cos 3\alpha + c{\rm{os5}}\alpha }}\) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & {{\tan 2\alpha } \over {\tan 4\alpha - \tan 2\alpha }} = {{\tan 2\alpha } \over {{{2\tan 2\alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }} - \tan 2\alpha }} \cr & = {{1 - {{\tan }^2}2\alpha } \over {1 + {{\tan }^2}2\alpha }} = \cos 4\alpha \cr} \) b) \(\eqalign{ & \sqrt {1 + \sin \alpha } - \sqrt {1 - \sin \alpha } \cr & = \sqrt {{{\left( {cos{\alpha \over 2} + sin{\alpha \over 2}} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {cos{\alpha \over 2} - sin{\alpha \over 2}} \right)}^2}} \cr} \) Vì \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) nên \(0 < {\alpha \over 2} < {\pi \over 4}\) Suy ra \(0 < \sin {\alpha \over 2} < \cos {\alpha \over 2}\) Vậy \(\sqrt {1 + \sin \alpha } - \sqrt {1 - \sin \alpha } = cos{\alpha \over 2} + sin{\alpha \over 2} - (cos{\alpha \over 2} - sin{\alpha \over 2})\) \( = 2sin{\alpha \over 2}\) c) \({{3 - 4\cos 2\alpha + c{\rm{os4}}\alpha } \over {3 + 4\cos 2\alpha + \cos 4\alpha }} = {{3 - 4\cos 2\alpha + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{2}}\alpha - 1} \over {3 + 4\cos 2\alpha + 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{2}}\alpha - 1}}\) \( = {{2(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{2}}\alpha - 2\cos 2\alpha + 1)} \over {2(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\rm{2}}\alpha + 2\cos 2\alpha + 1)}}\) \( = {{{{(\cos 2\alpha - 1)}^2}} \over {{{(\cos 2\alpha + 1)}^2}}} = {{{{( - 2{{\sin }^2}\alpha )}^2}} \over {{{(2{{\cos }^2}\alpha )}^2}}} = {\tan ^4}\alpha \) d) \(\eqalign{ & {{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha } \over {\cos \alpha + \cos 3\alpha + c{\rm{os5}}\alpha }} \cr & = {{(\sin 5\alpha + \sin \alpha ) + \sin 3\alpha } \over {(\cos 5\alpha + \cos \alpha ) + c{\rm{os3}}\alpha }} \cr} \) \( = {{\sin 3\alpha (2\cos 2\alpha + 1)} \over {c{\rm{os3}}\alpha (2\cos 2\alpha + 1)}} = \tan 3\alpha \) Bài 37 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10. Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện \({\rm{cos2A + 2}}\sqrt 2 \cos B + 2\sqrt 2 \cos C = 3\)ợi ý làm bài Hướng dẫn Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc của tam giác nhỏ hơn hoặc bằng \({\pi \over 2}\) và hiệu của hai góc cũng nằm trong khoảng từ \( - {\pi \over 2}\) đến \({\pi \over 2}\). Do đó với \(A \le {\pi \over 2}\) thì \(\cos {A \over 2} \ge \cos {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) còn với \( - {\pi \over 2} < B - C < {\pi \over 2}\) thì \( - {\pi \over 4} < {{B - C} \over 2} < {\pi \over 4}\) do đó \(\cos {{B - C} \over 2} > 0\) Giải chi tiết Ta có \(\cos 2A + 2\sqrt 2 (\cos B + \cos C) = 3\) \( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 \cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} = 3\) \( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} = 3\) \( \Leftrightarrow 2si{n^2}A - 4\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow si{n^2}A - 2\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} + 1 = 0\) Tam giác ABC không tù nên \(\cos {A \over 2} \ge {{\sqrt 2 } \over 2}\), suy ra \(\sqrt 2 \le 2\cos {A \over 2}\). Mặt khác, \(\cos {{B - C} \over 2} > 0\) nên ta có \(2\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \le 4sin{A \over 2}\cos {A \over 2}\cos {{B - C} \over 2}\) Hay \( - 2\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \ge - 2\sin A\cos {{B - C} \over 2}\) Vì vậy vế trái của (*) \( \ge si{n^2}A - 2\sin A\cos {{B - C} \over 2} + 1\) \( = {(\sin A - \cos {{B - C} \over 2})^2} - {\cos ^2}{{B - C} \over 2} + 1\) \( = {(\sin A - \cos {{B - C} \over 2})^2} + {\sin ^2}{{B - C} \over 2} \ge 0\) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ B - C = 0 \hfill \cr \sin A = \cos {{B - C} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ B = C \hfill \cr \sin A = 1 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow A = {\pi \over 2},B = C = {\pi \over 4}\) Vậy ABC là tam giác vuông cân.
