Câu 1.18 trang 9 SBT Đại số 10 Nâng cao. Phát biểu và chứng minh các định lí sau: a. \(\forall n \in N,{n^2}\) chia hết cho 3 ⇒ n chia hết cho 3 (gợi ý : Chứng minh bằng phản ứng). b. \(\forall n \in N,{n^2}\) chia hết cho 6 ⇒ n chia hết cho 6. Giải: a. “Nếu n là số tự nhiên sao cho \({n^2}\) chia hết cho 3 thì n cũng chia hết cho 3”. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại \(n \in N\) để \({n^2}\) chia hết cho 3 nhưng n không chia hết cho 3. Nếu \(n = 3k + 1\left( {k \in N} \right)\) thì \({n^2} = 3k\left( {3k + 2} \right) + 1\) không chia hết cho 3. Nếu \(n = 3k - 1\left( {k \in N^*} \right)\) thì \({n^2} = 3k\left( {3k - 2} \right) + 1\) không chia hết cho 3. b. “Nếu n là số tự nhiên sao cho \({n^2}\) chia hết cho 6 thì n cũng chia hết cho 6” Thật vậy nếu \({n^2}\) chia hết cho 6 thì \({n^2}\) là số chẵn, do đó n là số chẵn, tức là n chia hết cho 2. Vì \({n^2}\) chia hết cho 6 nên nó chia hết cho 3. Theo câu a điều này kéo theo n chia hết cho 3. Vì n chia hết cho 2 và 3 nên n chia hết cho 6. Câu 1.19 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho các mệnh đề chứa biến \(P(n)\) : “n là số chẵn” và \(Q(n)\) : “\(7n + 4\) là số chẵn”. a. Phát biểu và chứng minh định lí \(\forall n \in N,P\left( n \right) \Rightarrow Q\left( n \right)\) b. Phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí trên. c. Phát biểu gộp định lí thuận và đảo bằng hai cách. Giải: a. Phát biểu : “Với mọi số tự nhiên \(n\), nếu \(n\) chẵn thì \(7n + 4\) là số chẵn” Chứng minh. Nếu \(n\) chẵn thì \(7n\) chẵn. Suy ra \(7n + 4\) chẵn vì tổng hai số chẵn là số chẵn. b. Định lí đảo : "\(\forall n \in N,P\left( n \right) \Rightarrow Q\left( n \right)\) tức là “Với mọi số tự nhiên \(n\), nếu \(7n + 4\) là số chẵn thì \(n\) chẵn”. Chứng minh. Nếu \(7n + 4 = m\) chẵn thì \(7n = m – 4\) chẵn. Vậy \(7n\) chẵn nên \(n\) chẵn. c. Phát biểu gộp hai định lí thuận và đảo như sau : “Với mọi số tự nhiên \(n\), \(n\) chẵn khi và chỉ khi \(7n + 4\) chẵn” hoặc “Với mọi số tự nhiên \(n\), \(n\) chẵn nếu và chỉ nếu \(7n + 4\) chẵn”. Câu 1.20 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho các mệnh đề chứa biến \(P(n)\) : “\(n\) chia hết cho 5” ; \(Q(n)\) : “\({n^2}\) chia hết cho 5” và \(R(n)\) : \({n^2} + 1\) và \({n^2} - 1\) đều không chia hết cho 5” Sử đụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây: a. \(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\) b. \(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\) Giải: a. Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \(n\) chia hết cho 5 là \({n^2}\) chia hết cho 5” Chứng minh : Nếu \(n = 5k\left( {k \in N} \right)\) thì \({n^2} = 25{k^2}\) chia hết cho 5. Ngược lại, giả sử \(n = 5k + r\) với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\). Khi đó \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\) chia hết cho 5 nên \({r^2}\) phải chia hết cho 5. Thử vào với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\), ta thấy chỉ có với \(r = 0\) thì \({r^2}\) mới chia hết cho 5. Do đó \(n = 5k\) tức là n chia hết cho 5. b. Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả \({n^2} - 1\,va\,{n^2} + 1\) đều không chia hết cho 5”. Chứng minh. Nếu n chia hết cho 5 thì \({n^2} - 1\) chia cho 5 dư 4 và \({n^2} + 1\) chia 5 dư 1. Đảo lại, giả sử \({n^2} - 1\) và \({n^2} + 1\) đều không chia hết cho 5. Gọi \(r\) là số dư khi chia \(n\) cho 5 (\(r = 0, 1, 2, 3, 4\)). Ta có \(n = 5k + r\left( {k \in N} \right)\). Vì \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\) nên suy ra cả \({r^2} - 1\) và \({r^2} + 1\) đều không chia hết cho 5. Với \(r = 1\) thì \({r^2} - 1 = 0\) chia hết cho 5. Với \(r = 2\) thì \({r^2} + 1 = 5\) chia hết cho 5. Với \(r = 3\) thì \({r^2} + 1 = 10\) chia hết cho 5. Với \(r = 4\) thì \({r^2} - 1 = 15\) chia hết cho 5. Vậy chỉ có thể \(r = 0\) tức là \(n = 5k\) hay \(n\) chia hết cho 5. Câu 1.21 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho các số thực \({a_1},{a_2},...,{a_n}.\) Gọi a là trung bình cộng của chúng \(a = {{{a_1} + ... + {a_n}} \over n}\) Chứng minh (bằng phản ứng) rằng : ít nhất một trong các số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) sẽ lớn hơn hay bằng a. Giải: Chứng minh bằng phản chứng như sau : Giả sử trái lại tất cả các số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) đều nhỏ hơn a. Khi đó \({a_1} + {a_2} + ... + {a_n} < na\) suy ra \(a = {{{a_1} + ... + {a_n}} \over n} < a.\) Mâu thuẫn. Câu 1.22 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các định lí sau : a. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng với nhau. b. Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. c. Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A cũng là đường cao. Giải: a. Điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng là chúng bằng nhau. b. Để một hình thang là hình thang cân, điều kiện đủ là hai đường chéo của nó bằng nhau. c. Điều kiện đủ để đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC vuông góc với BC là tam giác đó cân tại A. Câu 1.23 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các định lí sau : a. Nếu một số nguyên dương lẻ được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương thì số đó phải có dạng \(4k + 1\left( {k \in N} \right)\) b. Nếu \(m, n\) là hai số nguyên dương sao cho \({m^2} + {n^2}\) là một số chính phương thì \(m.n\) chia hết cho 12 Giải: a. Để một nguyên dương lẻ biểu diễn thành tổng của hai số chính phương điều kiện cần là số đó có dạng \(4k + 1\). b. Cho \(m, n\) là hai số nguyên dương. Điều kiện cần để \({m^2} + {n^2}\) là số chính phương là tích \(m.n\) chia hết cho 12. Câu 1.24 trang 11 SBT Đại số 10 Nâng cao. Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí sau (nếu có) rồi sử dụng thuật ngữ điều kiện “cần và đủ” để phát biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo : Nếu \(m, n\) là hai số nguyên dương và mỗi số đều chia hết cho 3 thì tổng \({m^2} + {n^2}\) cũng chia hết cho 3. Giải: Định lí đảo : “Nếu m, n là hai nguyên dương và \({m^2} + {n^2}\) chia hết cho 3 thì cả m và n đều chia hết cho 3”. Chứng minh. Nếu một số không chia hết cho 3 và số kia chia hết cho 3 thì rõ ràng tổng bình phương hai số đó không chia hết cho 3. Giả sử m và n đều không chia hết cho 3. Nếu \(m = 3k + 1\) hoặc \(m = 3k + 2\) ta đều có \({m^2}\) chia 3 dư 1. Thành thử \({m^2} + {n^2}\) chia 3 dư 2. Vậy nếu \({m^2} + {n^2}\) chia hết cho 3 thì chỉ có thể xảy ra khả năng cả m và n đều chia hết cho 3. Vậy : Điều kiện cần và đủ để \({m^2} + {n^2}\) chia hết cho 3 \(\left( {m,n \in {N^*}} \right)\) là cả m và n đều chia hết cho 3.
