Câu 2.1 trang 29 SBT Đại số 10 Nâng cao. Đường tròn tâm O bán kính r không phải là đồ thị của một hàm số. Nhưng nửa đường tròn gồm các điểm có tung độ không âm của đường tròn tâm O bán kính r (h. 2.1) là đồ thị của một hàm số. Hãy viết biểu thức xác định hàm số đó và cho biết tập xác định của nó, biết rằng đường tròn tâm O bán kính r là tập hợp các điểm có tọa độ \((x ; y)\) thỏa mãn hệ thức \({x^2} + {y^2} = {r^2}\) Giải: \(y = \sqrt {{r^2} - {x^2}} ,\) xác định trên đoạn \(\left[ { - r;r} \right].\) Chú ý. Hàm số \(y = - \sqrt {{r^2} - {x^2}} \) có đồ thị là nửa đường tròn gồm các điểm thuộc đường tròn đang xét và có tung độ không dương (cũng có tập xác định là \(\left[ { - r;r} \right]\)) Câu 2.2 trang 29 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. \(y = {{x - 1} \over {{x^2} - 1}}\) b. \(y = {{\sqrt {2x + 1} } \over {2{x^2} - x - 1}}\) c. \(y = {{3x + 4} \over {\left( {x - 2} \right)\sqrt {x + 4} }}\) Giải: a. \(R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\) b. \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) c. \(\left( { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\) Câu 2.3 trang 30 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{ {{x \over {x + 1}}\,\,\,nếu\,\,\,x > 0} \cr {{{\root 3 \of {x + 1} } \over {x - 1}}\,\,\,nếu\,\,\, - 1 \le x \le 0.} \cr } } \right.\) a. Tìm tập xác định của hàm số \(y = f(x).\) b. Tính \(f(0), f(2), f(-3), f(-1)\) Giải: a. \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\) b. \(f\left( 0 \right) = - 1;\) \(f\left( 2 \right) = {2 \over 3};\) \(f\left( { - 1} \right) = 0;\) \(f\left( { - 3} \right)\) không xác định. Câu 2.4 trang 30 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \sqrt {x - 1} \) a. Tìm tập xác định của hàm số. b. Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của \(f(4),\) \(f\left( {\sqrt 2 } \right),f\left( \pi \right)\) chính xác đến hàng phần trăm. Giải: a. \(\left[ {1; + \infty } \right)\) b. \(f\left( 4 \right) = 16 + \sqrt 3 \approx 17,73;\) \(f\left( {\sqrt 2 } \right) \approx 2,64;\) \(f\left( \pi \right) \approx 11,33\) Câu 2.5 trang 30 SBT Đại số 10 Nâng cao. Hãy lập bảng biến thiên của hàm số có đồ thị là nữa đường tròn cho trên hình 2.1 Giải: Câu 2.6 trang 30 SBT Đại số 10 Nâng cao. Đồ thị của một hàm số xác định trên R được cho trên hình 2.2. Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó. Hãy cho biết giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số (nếu có). Giải: Câu 2.7 trang 30 SBT Đại số 10 Nâng cao. Bằng cách xét tỉ số \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}}\), hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó) trên các khoảng đã cho : a. \(y = {x^2} + 4x + 1\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) b. \(y = - {x^2} + 2x + 5\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) c. \(y = {x \over {x + 1}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) d. \(y = {{2x + 3} \over { - x + 2}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) Giải: a. \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_2} + {x_1} + 4\) Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 < 0\) nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right),\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 > 0\) nên hàm số đồng biến. b. \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = - {x_2} - {x_1} + 2.\) Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\) ta có \( - {x_2} - {x_1} + 2 > 0\) nên hàm số đồng biến. Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right),\) ta có \( - {x_2} - {x_1} + 2 < 0\) nên hàm số nghịch biến. c. Với hai số phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thuộc tập xác định của hàm số, ta có : \(\eqalign{ & f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = {{{x_2}} \over {{x_2} + 1}} - {{{x_1}} \over {{x_1} + 1}} \cr & = {{{x_2} - {x_1}} \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}, \cr & {{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} \cr} \) Do đó: - Nếu \(x_1 < -1\) và \(x_2 < -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) - Nếu \(x_1 > -1\) và \(x_2 > -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) d. \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {7 \over {\left( { - {x_2} + 2} \right)\left( { - {x_1} + 2} \right)}}.\) Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\,và\,\left( {2; + \infty } \right)\) . Câu 2.8 trang 31 SBT Đại số 10 Nâng cao. Có hay không một hàm số xác định trên R vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ? Giải: Dễ thấy hàm số \(y = 0\) là hàm số xác định trên \(R\), vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ. Giả sử hàm số \(y = f(x)\) là một hàm số bất kì có tính chất như thế. Khi đó với mọi \(x\) thuộc \(R\) ta có : \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) (vì \(f\) là hàm số chẵn) ; \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) (vì \(f\) là hàm số lẻ). Từ đó suy ra với mọi \(x\) thuộc \(R\), xảy ra \(f(x) = -f(x)\), nghĩa là \(f(x) = 0\). Vậy \(y = 0\) là hàm số duy nhất xác định trên \(R\), vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ. Câu 2.9 trang 31 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) xác định trên \(R\). Đặt \(S\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) và \(P\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right).\) Chứng minh rằng : a. Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số chẵn thì \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng là những hàm số chẵn. b. Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số lẻ thì \(y = S\left( x \right)\) là hàm số lẻ và \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn. c. Nếu \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(y = P\left( x \right)\) là hàm số lẻ. Giải: a. Dễ dàng suy ra từ giả thiết và định nghĩa hàm số chẵn. b. Với x tùy ý thuộc R, ta có : \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) và \(g\left( { - x} \right) = - g\left( x \right)\) (vì f và g là những hàm số lẻ) ; do đó \(\eqalign{ & S\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right) + g\left( { - x} \right) \cr & = - f\left( x \right) - g\left( x \right) \cr & = - \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] \cr & = - S\left( x \right) \cr} \) \(\eqalign{ & P\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right) \cr & = \left[ { - f\left( x \right)} \right]\left[ { - g\left( x \right)} \right] \cr & = f\left( x \right)g\left( x \right) \cr & = P\left( x \right) \cr} \) Vậy \(y = S(x)\) là hàm số lẻ và \(y = P(x)\) là hàm số chẵn. c. Với \(x\) tùy ý thuộc \(R\), ta có : \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) và \(g\left( { - x} \right) = - g\left( x \right)\) (vì \(f\) là hàm số chẵn và \(g\) là hàm số lẻ) ; do đó \(P\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right) \) \(= f\left( x \right)\left[ { - g\left( x \right)} \right]\) \(= - f\left( x \right)g\left( x \right)\) \(= - P\left( x \right).\) Vậy \(y = P(x)\) là hàm số lẻ. Câu 2.10 trang 31 SBT Đại số 10 Nâng cao. Xét tính chẵn – lẻ của các hàm số sau : a. \(y = 3{x^4} + 3{x^2} - 2;\) b. \(y = 2{x^3} - 5x;\) c. \(y = x\left| x \right|;\) d. \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x}; \) e. \(y = \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} .\) Giải: a. Hàm số chẵn (tổng của ba hàm số chẵn). b. Hàm số lẻ (tổng của hai hàm số lẻ). c. Hàm số lẻ (tích của hàm số lẻ \(y = x\) và hàm số chẵn \(y = |x|\)). d. Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} \) là đoạn \(\left[ { - 1;1} \right].\) Với mọi \(x\) thuộc đoạn \(\left( { - 1;1} \right)\), ta có : \(f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} = f\left( x \right)\) Vậy \(y = f(x)\) là hàm số chẵn. e. Tập xác định của hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} \) là đoạn \(\left[ { - 1;1} \right].\) Với mọi x thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right],\) ta có : \(g\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} = - g\left( x \right)\) Vậy \(y = g(x)\) là hàm số lẻ. Câu 2.11 trang 31 SBT Đại số 10 Nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm \(A(-1 ; 3)\), \(B(2 ; -5)\), \(C(a ; b)\). Hãy tính tọa độ các điểm có được khi tịnh tiến các điểm đã cho: a. Lên trên 5 đơn vị b. Xuống dưới 3 đơn vị c. Sang phải 1 đơn vị d. Sang trái 4 đơn vị Giải: a. Khi tịnh tiến lên trên 5 đơn vị, ta được: \(A\left( { - 1;3} \right) \mapsto {A_1}\left( { - 1;8} \right);\) \(B\left( {2; - 5} \right) \mapsto {B_1}\left( {2;0} \right);\) \(C\left( {a;b} \right) \mapsto {C_1}\left( {a;b + 5} \right).\) b. Khi tịnh tiến xuống dưới 3 đơn vị, ta được: \(A\left( { - 1;3} \right) \mapsto {A_2}\left( { - 1;0} \right);\) \(B\left( {2; - 5} \right) \mapsto {B_2}\left( {2; - 8} \right);\) \(C\left( {a;b} \right) \mapsto {C_2}\left( {a;b - 3} \right).\) c. Khi tịnh tiến sang phải 1 đơn vị, ta được: \(A\left( { - 1;3} \right) \mapsto {A_3}\left( {0;3} \right);\) \(B\left( {2; - 5} \right) \mapsto {B_3}\left( {3; - 5} \right);\) \(C\left( {a;b} \right) \mapsto {C_3}\left( {a + 1;b} \right)\) d. Khi tịnh tiến sang trái 4 đơn vị, ta được: \(A\left( { - 1;3} \right) \mapsto {A_4}\left( { - 5;3} \right);\) \(B\left( {2; - 5} \right) \mapsto {B_4}\left( { - 2; - 5} \right);\) \(C\left( {a;b} \right) \mapsto {C_4}\left( {a - 4;b} \right)\) Câu 2.12 trang 31 SBT Đại số 10 Nâng cao. Hàm số \(y = 4x - 3\) có đồ thị là đường thẳng (d) a. Gọi \((d_1)\) là đường thẳng có được khi tịnh tiến \((d)\) lên trên 4 đơn vị. Hỏi \((d_1)\) là đồ thị của hàm số nào ? b. Gọi \((d_2)\) là đường thẳng có được khi tịnh tiến \((d)\) sang trái 1 đơn vị. Hỏi \((d_2)\) là đồ thị của hàm số nào ? c. Em có nhận xét gì về hai kết quả trên ? Giải: a. \((d_1)\) là đồ thị của hàm số \(y = (4x – 3) + 4\) hay \(y = 4x + 1\) b. \((d_2)\) là đồ thị của hàm số \(y = (x + 1) – 3\) hay \(y = 4x + 1\) c. Đường thẳng \(y = 4x + 1\) có thể có được bằng cách tịnh tiến đường thẳng \(y = 4x – 3\) theo hai cách như trong \(a\) và \(b\). Câu 2.13 trang 32 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giả sử hàm số \(y = {{ - 2} \over x}\) có đồ thị là (H). a. Nếu tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào ? b. Nếu tịnh tiến (H) sang phải 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào ? c. Nếu tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị rồi sang trái 4 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào ? Giải: a. Tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = {{ - 2} \over x} - 3\) hay \(y = {{ - 3x - 2} \over x}.\) b. Tịnh tiến (H) sang phải 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = {{ - 2} \over {x - 2}}\) c. Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị rồi sang trái 4 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = {{ - 2} \over {x + 4}} + 1\) hay \(y = {{x + 2} \over {x + 4}}\)
