Câu 6.59 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao. Cho \(\sin \alpha - \cos \alpha = m\). Hãy tính theo \(m\) a) \(\sin \alpha \cos \alpha ;\) b) \(\left| {\sin \alpha + \cos \alpha } \right|;\) c) \({\sin ^3}\alpha - {\cos ^3}\alpha ;\) d) \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha .\) Giải: Cho \(\sin \alpha - \cos \alpha = m\) ta có a) \(\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \alpha = - \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)}^2} - 1} \right]\\ = \dfrac{{1 - {m^2}}}{2}.\end{array}\) b) \(\begin{array}{l}{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \\ = 1 + 1 - {m^2} = 2 - {m^2}.\end{array}\) Từ đó \(\left| {\sin \alpha + \cos \alpha } \right| = \sqrt {2 - {m^2}} .\) c) \(\begin{array}{l}{\sin ^3}\alpha - {\cos ^3}\alpha \\ = {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)\\ = {m^3} + 3\left( {\dfrac{{1 - {m^2}}}{2}} \right)m\\ = \dfrac{{m\left( {3 - {m^2}} \right)}}{2}.\end{array}\) d) \(\begin{array}{l}{\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \\ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + co{s^2}\alpha } \right)\\ = 1 - 3{\left( {\dfrac{{1 - {m^2}}}{2}} \right)^2}\\ = \dfrac{{ - 3{m^4} + 6{m^2} + 1}}{4}.\end{array}\) Câu 6.60 trang 206 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tính a) \({\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{75^0};\) b) \({\sin ^2}\dfrac{\pi }{8} + {\sin ^2}\dfrac{{3\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{8};\) c) \({\cos ^2}\dfrac{\pi }{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{7\pi }}{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{9\pi }}{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{11\pi }}{{12}}.\) Giải: a) Vì \(\sin {75^0} = \cos {15^0},\sin {55^0} = \cos {35^0}\) nên \({\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{75^0} = 2.\) b) Vì \(\begin{array}{l}\sin \dfrac{{7\pi }}{8} = \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \dfrac{{3\pi }}{8};\\\sin \dfrac{{5\pi }}{8} = \sin \left( {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{8}\end{array}\) nên \({\sin ^2}\dfrac{\pi }{8} + {\sin ^2}\dfrac{{3\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{5\pi }}{8} + {\sin ^2}\dfrac{{7\pi }}{8} = 2.\) c) Tương tự \(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{11\pi }}{{12}} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{5\pi }}{{12}}} \right) = - \sin \dfrac{{5\pi }}{{12}},\\\cos \dfrac{{9\pi }}{{12}} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{3\pi }}{{12}}} \right) = - \sin \dfrac{{3\pi }}{{12}},\\\cos \dfrac{{7\pi }}{{12}} = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right) = - \sin \dfrac{\pi }{{12}}\end{array}\) nên ta có: \({\cos ^2}\dfrac{\pi }{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{3\pi }}{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{7\pi }}{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{9\pi }}{{12}} + {\cos ^2}\dfrac{{11\pi }}{{12}} = 3\) Câu 6.61 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao. Giả sử phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {ac \ne 0} \right)\) có hai nghiệm là \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \). Chứng minh rằng: \(a.{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b.\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + c.{\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = c\). Giải: Ta có \(\tan \alpha + \tan \beta = - \dfrac{b}{a},\tan \alpha \tan \beta = \dfrac{c}{a}.\) • Nếu \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0\) thì vế trái của đẳng thức đã cho là \(\begin{array}{l}a{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + c{\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\\ = {\cos ^2}\left( {\alpha + \beta } \right)\left[ {a{{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b\tan \left( {\alpha + \beta } \right) + c} \right]\\ = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right)}}\left[ {a{{\tan }^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + b\tan \left( {\alpha + \beta } \right) + c} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Nhưng ta có \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \dfrac{b}{{c - a}}\) (để ý rằng \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0 \Leftrightarrow c \ne a\)) nên thay giá trị của \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right)\) vào biểu thức (*), sau khi đơn giản ta được biểu thức đó bằng c. • Nếu \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 0\left( { \Leftrightarrow \tan \alpha \tan \beta = 1 \Leftrightarrow a = c} \right)\) thì \({\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = 1\), nên vế trái của đẳng thức đã cho bằng \(a{\sin ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = a = c.\) Câu 6.62 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) mà \(\sin 2\alpha \ne 0\), ta có \(\sin \left( {\cot \alpha } \right) + \sin \left( {\tan \alpha } \right) = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right)\cos \left( {\cot 2\alpha } \right)\) Giải: Đặt \(u = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right),\) \(v = \dfrac{1}{2}\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)\) thì \(u + v = \tan \alpha ,u - v = \cot \alpha \). Khi đó ta có \(\begin{array}{l}\sin \left( {\tan \alpha } \right) + \sin \left( {\cot \alpha } \right)\\ = \sin \left( {u + v} \right) + \sin \left( {u - v} \right)\\ = 2\sin u\cos v\\ = 2\sin \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right].\cos \left[ {\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)} \right]\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right).\cos \left( {\dfrac{{{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha }}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)\\ = 2\sin \left( {\dfrac{1}{{\sin 2\alpha }}} \right).\cos \left( {\cot 2\alpha } \right).\end{array}\) Câu 6.63 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh công thức \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \) (với \(0 < \beta < \dfrac{\pi }{2}\)) bằng “phương pháp hình học” như sau: Xét tam giác vuông ABC với \(\widehat A = \dfrac{\pi }{2};\widehat {ABC} = \alpha ;\) E là một điểm trên AC sao cho \(\widehat {ABE} = \beta \). Kẻ AH, EK vuông góc với BC (h.6.8) thì dễ thấy \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \dfrac{{BK}}{{BE}} = \dfrac{{BH}}{{BE}} + \dfrac{{HK}}{{BE}}\). Từ đó suy ra công thức trên. Giải: Ta có: \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \dfrac{{BK}}{{BE}} = \dfrac{{BH}}{{BE}} + \dfrac{{HK}}{{BE}}\) \(= \dfrac{{BH}}{{BA}}.\dfrac{{BA}}{{BE}} + \dfrac{{EJ}}{{BE}}\) (HKEJ là hình chữ nhật) \(\dfrac{{BH}}{{BA}}.\dfrac{{BA}}{{BE}} + \dfrac{{EJ}}{{EA}}.\dfrac{{EA}}{{BE}} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\) Câu 6.64 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng \(\cos \dfrac{\pi }{{32}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } } .\) Giải: Ta có \(\cos \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{1}{2}\sqrt 2 ;\) \(\cos \dfrac{\pi }{8} = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \dfrac{\pi }{4}}}{2}}\) \( = \sqrt {\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{4}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } .\) \(\begin{array}{l}\cos \dfrac{\pi }{{16}} = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \dfrac{\pi }{8}}}{2}} \\ = \sqrt {\dfrac{{2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{4}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } ;\end{array}\) \(\begin{array}{l}\cos \dfrac{\pi }{{32}} = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \dfrac{\pi }{{16}}}}{2}} \\ = \sqrt {\dfrac{{2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } }}{4}} \\ = \dfrac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } } .\end{array}\) Câu 6.65 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao. a) Chứng minh \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} = - \dfrac{1}{8}\) bằng cách nhân cả hai vế với \(\sin \dfrac{{2\pi }}{9}.\) b) Chứng minh rằng\(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2\cos \dfrac{{5\pi }}{9}\cos \dfrac{\pi }{3} = \cos \dfrac{{5\pi }}{9},\) Từ đó suy ra \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0\) . c) Từ b) suy ra rằng \({\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{3}{2}\). d) Từ b và c) suy ra rằng: \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} = - \dfrac{3}{4}\) . e) Từ a), b) và d) suy ra rằng \(\left( {X - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = {X^3} - \dfrac{3}{4}X + \dfrac{1}{8},\) từ đó ta có \(\left( {1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = \dfrac{3}{8}.\) Suy ra • \(\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\) • \(\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\) f) Từ e) suy ra rằng \(\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{3\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{6\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{9}{{256}}.\) (Chú ý. Người ta chứng minh được rằng không thể dùng thước và compa để dựng đa giác đều chín cạnh nội tiếp trong một đường tròn cho trước.) Giải: a) Ta có: \(\begin{array}{l}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{4}\sin \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{8}\sin \dfrac{{16\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{8}\sin \left( {2\pi - \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\\ = - \dfrac{1}{8}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\end{array}\) Từ đó: \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} = - \dfrac{1}{8}.\) b) Ta có \(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2\cos \dfrac{{5\pi }}{9}\cos \dfrac{\pi }{3}\\ = \cos \dfrac{{5\pi }}{9} = \cos \left( {\pi - \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\\ = - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\end{array}\) từ đó \(\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 0.\) c) Do \(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{\pi }{9} - 1 = 2{\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} - 1,\\cos\dfrac{{4\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} - 1\\\cos \dfrac{{8\pi }}{9} = 2{\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} - 1,\end{array}\) nên từ b) suy ra \({\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {\cos ^2}\dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{3}{2}.\) d) Với mọi số A, B, C ta có: \(AB + BC + CA = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {A + B + C} \right)}^2} - {A^2} - {B^2} - {C^2}} \right]\) nên \(\begin{array}{l}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right)}^2} - \left( {{{\cos }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\cos }^2}\dfrac{{4\pi }}{9} + {{\cos }^2}\dfrac{{8\pi }}{9}} \right)} \right]\\ = - \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2} = - \dfrac{3}{4}.\end{array}\) e) Ta có \(\begin{array}{l}\left( {X - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {X - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right)\\ = {X^3} - \left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right){X^2}\\ + \left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9} + \cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9} + \cos \dfrac{{8\pi }}{9}\cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)X\\ - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}\cos \dfrac{{4\pi }}{9}\cos \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = {X^3} - \dfrac{3}{4}X + \dfrac{1}{8}.\end{array}\) Từ đó \(\left( {1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{4\pi }}{9}} \right)\left( {1 - \cos \dfrac{{8\pi }}{9}} \right) = \dfrac{3}{8}\), tức là \(2{\sin ^2}\dfrac{\pi }{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{2\pi }}{9}.2{\sin ^2}\dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{3}{8}\), suy ra \(\sin \dfrac{\pi }{9}.\sin \dfrac{{2\pi }}{9}.\sin \dfrac{{4\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\) Đẳng thức này lại cho ta \(\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\) f) Từ e) ta suy ra: \(\begin{array}{l}\sin \dfrac{\pi }{9}\sin \dfrac{{2\pi }}{9}\sin \dfrac{{3\pi }}{9}\sin \dfrac{{4\pi }}{9}\sin \dfrac{{5\pi }}{9}\sin \dfrac{{6\pi }}{9}\sin \dfrac{{7\pi }}{9}\sin \dfrac{{8\pi }}{9}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{8}\sin \dfrac{\pi }{3}\sin \dfrac{{2\pi }}{3} = \dfrac{9}{{256}}.\end{array}\) Câu 6.66 trang 208 SBT Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng \(\begin{array}{l}{\cos ^2}\left( {\gamma - \alpha } \right) + {\sin ^2}\left( {\gamma - \beta } \right) - 2\cos \left( {\gamma - \alpha } \right)\sin \left( {\gamma - \beta } \right)\\ = {\cos ^2}\left( {\alpha - \beta } \right)\end{array}\) Giải: Ta có \(\begin{array}{l}{\cos ^2}\left( {\gamma - \alpha } \right) + {\sin ^2}\left( {\gamma - \beta } \right)\\ = \dfrac{{1 + \cos 2\left( {\gamma - \alpha } \right)}}{2} + \dfrac{{1 - \cos 2\left( {\gamma - \beta } \right)}}{2}\\ = 1 + \dfrac{1}{2}\left[ {\cos 2\left( {\gamma - \alpha } \right) - \cos 2\left( {\gamma - \beta } \right)} \right]\\ = 1 + \sin \left( {2\gamma - \alpha - \beta } \right)\sin \left( {\alpha - \beta } \right)\end{array}\) Từ đó \(\begin{array}{l}{\cos ^2}\left( {\gamma - \alpha } \right) + {\sin ^2}\left( {\gamma - \beta } \right) - 2\cos \left( {\gamma - \alpha } \right)\sin \left( {\gamma - \beta } \right)\sin \left( {\alpha - \beta } \right)\\ = 1 + \sin \left( {2\gamma - \alpha - \beta } \right)\sin \left( {\alpha - \beta } \right) - 2\cos \left( {\gamma - \alpha } \right)\sin \left( {\gamma - \beta } \right)\sin \left( {\alpha - \beta } \right)\\ = 1 + \sin \left( {\alpha - \beta } \right)\left[ {\sin \left( {2\gamma - \alpha - \beta } \right) - 2\cos \left( {\gamma - \alpha } \right)\sin \left( {\gamma - \beta } \right)} \right]\\ = 1 + \sin \left( {\alpha - \beta } \right)\left[ {\sin \left( {2\gamma - \alpha - \beta } \right) - \sin \left( {2\gamma - \alpha - \beta } \right) - \sin \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\\ = 1 - {\sin ^2}\left( {\alpha - \beta } \right) = {\cos ^2}\left( {\alpha - \beta } \right)\end{array}\) Câu 6.67 trang 208 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức \({\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \) Giải: \(\begin{array}{l}{\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \\ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \\ = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2\alpha .\end{array}\) Vậy biểu thức đã cho lấy giá trị bé nhất là \(\dfrac{1}{2}\) khi \({\sin ^2}2\alpha = 1\) . Câu 6.68 trang 208 SBT Đại số 10 Nâng cao. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha .\) Giải: \(\begin{array}{l}{\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha \\ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\ = 1 - 3{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \\ = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha \end{array}\) Vậy biểu thức đã cho lấy giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{1}{4}\) khi \({\sin ^2}2\alpha = 1\). Câu 6.69. \(\sin \dfrac{{3\pi }}{{10}}\) bằng: A. \(\cos \dfrac{{4\pi }}{5};\) B. \(\cos \dfrac{\pi }{5};\) C. \(1 - \cos \dfrac{\pi }{5};\) D. \( - \cos \dfrac{\pi }{5}\). Giải: Chọn B Câu 6.70. \(\sin \dfrac{\pi }{5}\cos \dfrac{\pi }{{30}} + \sin \dfrac{\pi }{{30}}\cos \dfrac{{4\pi }}{5}\) bằng A. 1; B. \( - \dfrac{1}{2};\) C. \(\dfrac{1}{2}\) D. 0 Giải: Chọn C. (Để ý rằng \(\cos \dfrac{{4\pi }}{5} = - \cos \dfrac{\pi }{5}\)) Câu 6.71. \(\dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{9} + \sin \dfrac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \dfrac{\pi }{9} + \cos \dfrac{{5\pi }}{9}}}\) bằng A. \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\) B. \( - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\) C. \(\sqrt 3 ;\) D. \( - \sqrt 3 .\) Giải: Chọn C. Câu 6.72. \(\dfrac{{\sin \dfrac{{5\pi }}{9} - \sin \dfrac{\pi }{9}}}{{\cos \dfrac{{5\pi }}{9} - \cos \dfrac{\pi }{9}}}\) bằng A. \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\) B. \( - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\) C. \(\sqrt 3 ;\) D. \( - \sqrt 3 .\) Giải: Chọn B. Câu 6.73. Giá trị lớn nhất của biểu thức \({\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \) là A. 1; B. \(\dfrac{1}{4};\) C. \(\dfrac{1}{2};\) D. Không phải ba giá trị trên Giải: Chọn A. (Để ý rằng \({\sin ^4}\alpha \le {\sin ^2}\alpha ,co{s^4}\alpha \le {\cos ^2}\alpha \)) Câu 6.74. Giá trị lớn nhất của biểu thức \({\sin ^4}\alpha + {\cos ^7}\alpha \) là: A. 2; B. 1; C. \(\dfrac{1}{2};\) D. Không phải ba giá trị trên Giải: Chọn B. (Để ý rằng \({\sin ^4}\alpha \le {\sin ^2}\alpha ,co{s^7}\alpha \le {\cos ^2}\alpha \)) Câu 6.75. Giá trị bé nhất của biểu thức \({\sin ^4}\alpha + {\cos ^7}\alpha \) là: A. -2; B. -1; C. \( - \dfrac{1}{2};\) D. 1 Giải: Chọn B. (Để ý rằng \( - {\sin ^2}\alpha \le {\sin ^4}\alpha , - {\cos ^2}\alpha \le {\cos ^7}\alpha \)) Câu 6.76. Giá trị lớn nhất của biểu thức \({\sin ^{12}}\alpha + {\cos ^{12}}\alpha \) là: A. 2; B. \(\dfrac{1}{4}\); C. 1; D. \(\dfrac{1}{2}\) . Giải: Chọn C. (Để ý rằng \({\sin ^{12}}\alpha \le {\sin ^2}\alpha ,{\cos ^{12}}\alpha \le {\cos ^2}\alpha \)) Câu 6.77. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\dfrac{4}{{{{\cos }^6}\alpha }} - 3{\tan ^6}\alpha \) là: A. 4; B. -3; C. 1; D. 2. Giải: Chọn A. (Để ý rằng \(\dfrac{4}{{{{\cos }^6}}} - 3{\tan ^6}\alpha = 4{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)^3} - 3{\tan ^6}\alpha \) chỉ chứa những lũy thừa bậc chẵn của \(\tan \alpha \) với hệ số không âm nên nó đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\tan \alpha = 0,\left| {\cos \alpha } \right| = 1\)) Câu 6.78. Với mọi \(\alpha \), biểu thức \(\cos \alpha + \cos \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{5}} \right) + \cos \left( {\alpha + \dfrac{{2\pi }}{5}} \right) +\) \( \ldots + \cos \left( {\alpha + \dfrac{{9\pi }}{5}} \right)\) nhận giá trị bằng A. 10; B. -10; C. 0; D. Không phải ba giá trị trên Giải: Chọn C. (Để ý rằng các điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi các số \(\alpha ,\alpha + \dfrac{\pi }{5},\alpha + \dfrac{{2\pi }}{5}, \ldots ,\alpha + \dfrac{{9\pi }}{5}\) là các đỉnh của một thập giác đều nội tiếp đường tròn đó hoặc để ý rằng: \(\cos \alpha = - \cos \left( {\alpha + \dfrac{{5\pi }}{5}} \right),\) \(\cos \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{5}} \right) = - \cos \left( {\alpha + \dfrac{{6\pi }}{5}} \right), \ldots \)).
