Bài 1.61 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho các điểm A'(-4;1), B'(2;4) và C'(2; - 2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC. a) Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC; b) Chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau. Gợi ý làm bài (Xem hình 1.72) a) \(\overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {A'B'} = > \left\{ \matrix{ {x_A} - 2 = 6 \hfill \cr {y_A} + 2 = 3 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ {x_A} = 8 \hfill \cr {y_A} = 1 \hfill \cr} \right.\) \(\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {C'B'} = > \left\{ \matrix{ - 4 - {x_B} = 0 \hfill \cr 1 - {y_B} = 6 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ {x_B} = - 4 \hfill \cr {y_B} = - 5 \hfill \cr} \right.\) \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {C'B'} = > \left\{ \matrix{ {x_C} + 4 = 0 \hfill \cr {y_C} - 1 = 6 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ {x_C} = - 4 \hfill \cr {y_C} = 7 \hfill \cr} \right.\) b) Tính tọa độ trọng tâm G, G' của tam giác ABC và A'B'C' ta được G(0;1) và G'(0;1). Vậy G=G' Bài 1.62 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho \(\overrightarrow a = (2; - 2)\) và \(\overrightarrow b = (1;4)\) a) Tính tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b ;\overrightarrow a - \overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \) b) Hãy phân tích vec tơ \(\overrightarrow c = (5;0)\) theo hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) Gợi ý làm bài a) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3;2)\) \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (1; - 6)\) \(2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = (7;8)\) b) Giả sử \(c = h\overrightarrow a + k\overrightarrow b \). Khi đó: \(\left\{ \matrix{ 2h + k = 5 \hfill \cr - 2h + 4k = 0 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{ h = 2 \hfill \cr k = 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \) Bài 1.63 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho $$\overrightarrow a = (2;1),\overrightarrow b = (3; - 4),\overrightarrow c = ( - 7;2)$$ a) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 4\overrightarrow c \) b) Tìm tọa độ vec tơ \(\overrightarrow x \) sao cho: \(\overrightarrow x + \overrightarrow a = \overrightarrow b - \overrightarrow c \) c) Tìm các số k và h sao cho: \(\overrightarrow c = k\overrightarrow a + h\overrightarrow b \) Gợi ý làm bài a) \(\overrightarrow u = (3.2 + 2.3 - 4.( - 7);3.1 + 2.( - 4) - 4.2)\) \(\overrightarrow u = (40; - 13)\) b) \(\overrightarrow u = \overrightarrow b - \overrightarrow c - \overrightarrow a = (8; - 7)\) c) \(k\overrightarrow a + h\overrightarrow b = (2k + 3h;k - 4h)\) \(\overrightarrow c = k\overrightarrow a + h\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2k + 3h = - 7 \hfill \cr k - 4h = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k = - 2 \hfill \cr h = - 1 \hfill \cr} \right.\) Bài 1.64 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {2 \over 3}\overrightarrow {MO} \) Gợi ý làm bài (Xem hình 1.73) Qua M kẻ các đường thẳng sau: \({K_1}{K_4}\)//AB, \({K_2}{K_5}\)//AC, \({K_3}{K_6}\)//BC \({K_1},{K_2} \in BC;{K_3},{K_4} \in AC;{K_5},{K_6} \in AB\). Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} \cr & = {1 \over 2}(\overrightarrow {M{K_1}} + \overrightarrow {M{K_2}} + \overrightarrow {M{K_3}} + \overrightarrow {M{K_4}} + \overrightarrow {M{K_5}} + \overrightarrow {M{K_6}} ) \cr} \) \( = {1 \over 2}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} )\) (Vì \(M{K_5}A{K_4},M{K_3}C{K_2},M{K_1}B{K_6}\) là các hình bình hành). Vậy \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = {1 \over 2}.3\overrightarrow {MO} = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \) Bài 1.65 trang 47 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Gợi ý làm bài Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác MPR và NQS. Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} \cr & = {1 \over 2}(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} ) \cr & = \overrightarrow 0 \cr} \) \(\eqalign{ & \overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} \cr & = {1 \over 2}(\overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {G'C} + \overrightarrow {G'D} + \overrightarrow {G'E} + \overrightarrow {G'F} + \overrightarrow {G'A} ) \cr & = \overrightarrow 0 \cr} \) Do đó: \(\eqalign{ & \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} \cr & = \overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {G'C} + \overrightarrow {G'D} + \overrightarrow {G'E} + \overrightarrow {G'F} + \overrightarrow {G'A} \cr} \) \( = > 6\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 = > G \equiv G'\) Bài 1.66 trang 47 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} = \overrightarrow 0 \) Gợi ý làm bài (Xem hình 1.74) \(\eqalign{ & \overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} \cr & = \overrightarrow {RA} + \overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {CS} \cr} \) \(= (\overrightarrow {RA} + \overrightarrow {CS} ) + (\overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} ) + (\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} )\) \(= \overrightarrow 0 \) Bài 1.67 trang 47 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_12}}\) đều là 100 N và \(\widehat {AMB} = {60^0}\) a) Đặt \(\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \). Tính độ dài của đoạn ME b) Tìm cường độ và hướng của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) Gợi ý làm bài (Xem hình 1.75) a) Vật đứng yên là do \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \) Vẽ hình thoi MAEB ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {ME} \) Tam giác MAB là tam giác đều có đường cao \(MH = {{100\sqrt 3 } \over 2}\) Suy ra \(ME = 100\sqrt 3 \) b) Lực \(\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {ME}\) có cường độ là \(100\sqrt 3 N\) Ta có \(\overrightarrow {{F_4}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \), do đó \(\overrightarrow {{F_3}} \) là vec tơ đối của \(\overrightarrow {{F_4}} \). Như vậy \(\overrightarrow {{F_3}} \) có cường độ là \(100\sqrt 3 N\) và ngược hướng với vec tơ \(\overrightarrow {ME} \) Bài 1.68 trang 47 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tứ giác ABCD.Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng: a) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP}\) b) \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MQ} \) Gợi ý làm bài (Xem hình 1.76) a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BN} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \) \(\overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QD} + \overrightarrow {DP} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} ) = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \) Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP}\) b) Tứ giác MNPQ có: \(\left\{ \matrix{ MN{\rm{//}}QD \hfill \cr MN = QP \hfill \cr} \right.\) Suy ra MNPQ là hình bình hành. Suy ra \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MQ} \) Bài 1.69 trang 47 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Xét xem ba điểm sau có thẳng hàng không? a) A(2; - 3), B(5;1) và C(8; 5); b) M(1;2), N(3; 6) và P(4;5). Gợi ý làm bài a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (3;4),\overrightarrow {AC} = (6;8),\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB} \) =>A, B, C thẳng hàng. b) \(\overrightarrow {MN} = (2;4);\overrightarrow {MP} = (3;3)\) mà \({2 \over 3} \ne {4 \over 3}\) Vậy M, N, P không thẳng hàng. Bài 1.70 trang 47 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. a) Với điểm M tùy ý, hãy chứng minh: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \) b) Chứng minh rằng: \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right|\) Gợi ý làm bài (Xem hình 1.77) a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \) \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MI}\) Vậy \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \) b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = > \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = AC\) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} = > \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right| = DB\) Vì hai đường chéo của hình chữ nhật dài bằng nhau nên \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right|\) Bài 1.71 trang 48 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm của BI. Chứng minh rằng: a) \(\overrightarrow {AK} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AI} \) b) \(\overrightarrow {AK} = {3 \over 4}\overrightarrow {AB} + {1 \over 4}\overrightarrow {AC} \) Gợi ý làm bài (Xem hình 1.78) a) Vì K là trung điểm của BI nên \(\overrightarrow {AK} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} )\) (1) b) Vì I là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AI} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\) (2) Thay (2) vào (1) ta được: \(\overrightarrow {AK} = {1 \over 2}{\rm{[}}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ){\rm{]}}\) \(\overrightarrow {AK} = {3 \over 4}\overrightarrow {AB} + {1 \over 4}\overrightarrow {AC} \) Bài 1.72 trang 48 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác đều OAB có cạnh bằng 2, AB song song với Ox, điểm A có hoành độ và tung độ dương. a) Tìm tọa độ hai đỉnh A và B; b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB. Gợi ý làm bài (Xem hình 1.79) a) Gọi H là trung điểm của AB ta có: \(OH = {{OA\sqrt 3 } \over 2} = \sqrt 3 ;HA = {{OA} \over 2} = 1\) Vậy ta có \(A(1;\sqrt 3 )\) và \(B( - 1;\sqrt 3 )\) b) \(OG = {2 \over 3}OH = {2 \over 3}\sqrt 3 \) Vậy ta có \(G\left( {0;{{2\sqrt 3 } \over 3}} \right)\)
