Bài 1.48 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Dựa vào các điểm A, B, C, D, O, M, N đã cho, hãy: a) Kể tên hai vec tơ cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \), hai vec tơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \), hai vec tơ ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \) (các vec tơ kể ra này đều khác \(\overrightarrow 0 \)) b) Chỉ ra một vec tơ bằng vec tơ \(\overrightarrow {MO} \), một vec tơ \(\overrightarrow {OB} \) Gợi ý làm bài (Xem h.162) a) Hai vec tơ cùng phương với \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {CD} \); Hai vec tơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {ON} ,\overrightarrow {DC} \); Hai vec tơ ngược hướng với \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {NO} \); b) Vec tơ \(\overrightarrow {MO} \) là \(\overrightarrow {ON} \) Vec tơ \(\overrightarrow {OB} \) là \(\overrightarrow {DO} \) Bài 1.49 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Nối AF và CE, hai đường thẳng này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N. Chứng minh \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NB} \) Gợi ý làm bài (h.1.63) AECF là hình bình hành => EN // AM E là trung điểm của AB => N là trung điểm của BM, do đó MN = NB. Tương tự, M là trung điểm của DN, do đó DM = MN. Vậy \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NB} \) Bài 1.50 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF với A, D, F không thẳng hàng. Dựng các vec tơ $\(\overrightarrow {EH} \) và \(\overrightarrow {FG} \) bằng vec tơ \(\overrightarrow {AD} \). Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành. Gợi ý làm bài (h.1.64) \(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {FG} = \overrightarrow {AD} = > \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {FG} \) =>Tứ giác FEHG là hình bình hành \( = > \overrightarrow {GH} = \overrightarrow {FE} \,(1)\) Ta có: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {FE} \) \(\overrightarrow { = > DC} = \overrightarrow {FE} \,(2)\) Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {GH} = \overrightarrow {DC} \) Vậy tứ giác GHCD là hình bình hành. Bài 1.51 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho bốn điểm A, B, C, D. Tìm các vec tơ: a) \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \) b) \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} \) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \overrightarrow u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \cr & = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} ) + (\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CA} ) \cr & = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr} \) b) \(\eqalign{ & \overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} \cr & = (\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} ) + (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} ) \cr & = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DD} = \overrightarrow 0 \cr} \) Bài 1.52 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho lục giác đều ABCDEF và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} \) Gợi ý làm bài (h.1.65) Gọi O là tâm lục giác đều. Khi đó O là trọng tâm của các tam giác đều ACE và BDF. Do đó, với mọi điểm M ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {ME} = 3\overrightarrow {MO} \) \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} = 3\overrightarrow {MO} \) Vậy ta có đẳng thức cần chứng minh. Bài 1.53 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện: \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) Gợi ý làm bài (h.1.66) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CM} $\) M là đỉnh của hình bình hành ABCM. Bài 1.54 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC. BE cắt trung tuyến AM tại N. Tính \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {MN} \) Gợi ý làm bài (h.1.67) Ta có \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {FC} \) Vì MF // BE nên N là trung điểm của AM, suy ra \(\overrightarrow {AN} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 \) Do đó \(\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FC} = \overrightarrow {AC}\) Bài 1.55 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\). Chứng minh rằng: \(OM = {1 \over 2}AB\), trong đó O là trung điểm của AB. Gợi ý làm bài (h.1.68) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MO} = > \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2MO\) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} = > \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = AB\) Vậy 2MO = AB hay \(OM = {1 \over 2}AB.\) Chú ý: Tập hợp các điểm M có tính chất \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) là đường tròn đường kính AB. Bài 1.56 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vec tơ \(\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} \) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy xác định điểm D sao cho \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow v \). Gợi ý làm bài \(\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC}\) \( = 2\overrightarrow {ME} - 2\overrightarrow {MC} \) (E là trung điểm cạnh AB) \( = 2(\overrightarrow {ME} - \overrightarrow {MC} ) = 2\overrightarrow {EC} \) Vậy \(\overrightarrow v \) không phụ thuộc vị trí của điểm M. \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow v = 2\overrightarrow {CE} \) thì E là trung điểm của CD. Vậy ta xác định được điểm D. Bài 1.57 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau: \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \) a) Chứng minh \(2\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm O. b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. Gợi ý làm bài (Xem h.1.69) a) \(3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} = 3(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} ) - (\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} )\) \(= 3(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM} ) + (3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} ) = 2\overrightarrow {OM} \) b) Gọi S, Q và R lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} = > \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC} \) \(\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} = > \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CQ} \) \(\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} = > \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {RB} = \overrightarrow {QS} \) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\) Ta có: \(\eqalign{ & \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \cr & = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \cr} \) \(\overrightarrow { = (GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CQ} + \overrightarrow {QS} )\) \( = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 \) Vậy G là trọng tâm của tam giác MNP. Bài 1.58 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của CD. Hãy phân tích theo hai vec tơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} \). Gợi ý làm bài (h.1.70) Gọi F là trung điểm của cạnh AB. Ta có \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AF} = \overrightarrow u + {1 \over 2}\overrightarrow v \) Vậy \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow u + {1 \over 2}\overrightarrow v\) Bài 1.59 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho các điểm A, B, C trên trục \((O;\overrightarrow e )\) có tọa độ lần lượt là \(5; - 3; - 4\). Tính độ dài đại số của \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \) Gợi ý làm bài \(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = - 8,\overrightarrow {BA} = 8, \cr & \overrightarrow {AC} = - 9,\overrightarrow {BC} = - 1 \cr} \) Bài 1.60 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Cho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = 6. Chọn hệ tọa độ \((O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) sao cho \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow {OC} \) cùng hướng, \(\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi; b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm của tam giác ABC; c) Tìm tọa độ điểm đối xứng I' của I qua tâm O. Chứng minh A, I', D thẳng hàng d) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \) Gợi ý làm bài (Xem h.1.71) a) Ta có: AO = OC = 4 và OB = OD = 3 \( \Rightarrow A( - 4;0),C(4,0),B(0;3),D(0; - 3)\) b) I là trung điểm BC \( \Rightarrow I\left( {2;{3 \over 2}} \right)\) G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow G(0;1)\) c) I' đối xứng với I qua O \( \Rightarrow I'\left( { - 2; - {2 \over 3}} \right)\) Ta có \(\overrightarrow {AI'} \left( {2; - {3 \over 2}} \right),\overrightarrow {AD} \left( {4; - 3} \right)\) Vậy \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AI'} \) Vậy A, I', D thẳng hàng d) \(\overrightarrow {AC} (8;0),{\rm{ }}\overrightarrow {BD} (0; - 6),{\rm{ }}\overrightarrow {BC} (4; - 3){\rm{ }}\)
