Bài 3.46 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;1). a) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d: x - y - 1 = 0 tại M(2;1) và có tâm nằm trên đường thẳng d' :x - 2y - 6 = 0 b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng m: x - y + 3 = 0 Gợi ý làm bài a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và vuông góc với d có phương trình \(\Delta :x + y + C = 0\). \(\Delta \) qua M nên C = -3. Vậy \(\Delta :x + y - 3 = 0\) Tọa độ tâm I của đường tròn (C) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \matrix{ x + y - 3 = 0 \hfill \cr x - 2y - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 4 \hfill \cr y = - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I(4; - 1).\) Bán kính \(R = IM = 2\sqrt 2 \) Phương trình đường tròn cần tìm có tâm I(4;-1) và có bán kính \(R = 2\sqrt 2 \) là: \({(x - 4)^2} + {(y + 1)^2} = 8.\) b) Đường thẳng m: x - y + 3 = 0 Tiếp tuyến \(\Delta '\) với (C) vuông góc với đường thẳng m nên \(\Delta '\) có phương trình : x + y + c = 0 \(\Delta '\) là tiếp tuyến với (C) \( \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta '} \right] = R\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta '} \right] = R \cr & \Leftrightarrow {{\left| {4 - 1 + c} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c = 1 \hfill \cr c = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy có hai tiếp tuyến với (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là : \(\left[ \matrix{ \Delta {'_1}:x + y + 1 = 0 \hfill \cr \Delta {'_2}:x + y - 7 = 0 \hfill \cr} \right.\) Bài 3.47 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) đi qua A(1;-6) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :2x + y + 1 = 0\) tại B( - 2;3). Gợi ý làm bài Gọi I(a;b) là tâm của (C). \(\eqalign{ & \overrightarrow {AI} = (a - 1;b + 6); \cr & \,\overrightarrow {BI} = (a + 2;b - 3)\,; \cr & \,{\overrightarrow u _\Delta } = ( - 1;2) \cr} \) là vectơ chỉ phương của \(\Delta \) Ta có : IA = IB = R và \(IB \bot \Delta \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ A{I^2} = B{I^2} \hfill \cr {\overrightarrow u _\Delta }.\overrightarrow {BI} = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {(a - 1)^2} + {(b + 6)^2} = {(a + 2)^2} + {(b - 3)^2} \hfill \cr - 1.(a + 2) + 2.(b - 3) = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 6a - 18b = 24 \hfill \cr - a + 2b = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - 32 \hfill \cr b = - 12 \hfill \cr} \right.\) Khi đó \({R^2} = A{I^2} = {( - 33)^2} + {( - 6)^2} = 1125\) Vậy (C) : \({(x + 32)^2} + {(y + 12)^2} = 1125\) Bài 3.48 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0.\) a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính của đường tròn (C) ; b) Viết phương trình tiếp tuyến của đườn tròn (C) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 5x + 12y + 2012 = 0. Gợi ý làm bài a) (C) có tâm I(3;-1) và R = 5. b) Tiếp tuyến \(\Delta \) song song với d \( \Rightarrow \Delta :5x + 12y + c = 0\,(c \ne 2012)\) \(\Delta \) tiếp xúc với (C) \( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left| {5.3 + 12.( - 2) + c} \right|} \over {\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = 5 \cr & \Leftrightarrow \left| {c - 9} \right| = 65 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c = 74 \hfill \cr c = - 56 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(\Delta :5x + 12y + 74 = 0\) hay \(\Delta :5x + 12y - 56 = 0.\) Bài 3.49 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Cho elip (E): \({{{x^2}} \over {64}} + {{{y^2}} \over {48}} = 1.\) Tìm tọa độ những điểm M trên (E) sao cho : \(M{F_1} + 2M{F_2} = 26\) Gợi ý làm bài Ta có \(a = 8\,;\,b = 4\sqrt 3 \,;\,c = 4\,;\,{c \over a} = {1 \over 2}\,.\) \(\eqalign{ & M(x;y) \in (E) \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {64}} + {{{y^2}} \over {48}} = 1\,\,\,(1)\,\,; \cr & \,{F_1}M = 8 + {x \over 2};\,{F_2}M = 8 - {x \over 2}. \cr} \) Theo giả thiết ta có: \(\eqalign{ & 8 + {x \over 2} + 2\left( {8 - {x \over 2}} \right) = 26 \cr & \Leftrightarrow 24 - {x \over 2} = 26 \Leftrightarrow x = - 4. \cr} \) Thay vào (1) ta được: \({{16} \over {64}} = {{{y^2}} \over {48}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 36 \Leftrightarrow y = \pm 6.\) Vậy \(M( - 4; \pm 6).\) Bài 3.50 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Cho đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\) và điểm M(2;4). a) Chứng minh rằng điểm M nằm trong (C) ; b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. Gợi ý làm bài a) (C): \({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0 \Rightarrow \) (C) có \(\left\{ \matrix{ I(1;3) \hfill \cr \,R = 2 \hfill \cr} \right.\,\) (R là bán kính) \(IM = \sqrt 2 < R \Rightarrow \) M nằm trong (C) b) Đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng \(AB \Rightarrow d \bot IM\) tại M Phương trình đường thẳng: d: - qua M(2;4) - nhận \(\overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ = (1;1)}}\) làm vectơ pháp tuyến \( \Rightarrow d:1.(x - 2) + 1.(y - 4) = 0\) \( \Rightarrow d:x + y - 6 = 0.\) Bài 3.51 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự của elip (E) ; b) Tìm các điểm M thuộc (E) sao cho \({1 \over {M{F_1}}} + {1 \over {M{F_2}}} = {8 \over {{F_1}{F_2}}}\). Gợi ý làm bài \((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) a) Ta có : \(\left\{ \matrix{ {a^2} = 25 \Rightarrow a = 5 \hfill \cr {b^2} = 9 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4.\) Độ dài trục lớn : \({A_1}{A_2} = 2a = 10\); Độ dài trục bé : \({B_1}{B_2} = 2b = 6\). Tiêu cự : \({F_1}{F_2} = 2c = 8\) b) M thuộc \((E) \Rightarrow \left\{ \matrix{ M{F_1} = a + {c \over a}x = 5 + {4 \over 5}x \hfill \cr M{F_2} = a - {c \over a}x = 5 - {4 \over 5}x \hfill \cr} \right.\) \({1 \over {M{F_1}}} + {1 \over {M{F_2}}} = {8 \over {{F_1}{F_2}}} \Leftrightarrow 25 - {{16} \over {25}}{x^2} = 10\) \( \Leftrightarrow x \pm {{5\sqrt {15} } \over 4} \Rightarrow y = \pm {3 \over 4}\) Vậy : có bốn điểm thỏa mãn yêu cầu bào toán là: \(M\left( { \pm {{5\sqrt {15} } \over 4}; \pm {3 \over 4}} \right).\) Bài 3.52 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} + 4x + 4y + 6 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :x + my - 2m + 3 = 0\) với m là tham số thực. a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C) ; b) Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.12) a) Đường tròn (C) có tâm I(-2;-2) và bán kính \(R = \sqrt {2.} \) b) Diện tích tam giác IAB là : \(S = {1 \over 2}IA.IB\sin AIB \le {1 \over 2}{R^2} = 1.\) S lớn nhất \( \Leftrightarrow S = 1\) \( \Leftrightarrow \sin AIB = 1\) \( \Leftrightarrow IA \bot IB\) \( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = {R \over {\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow {{\left| { - 2 - 2m - 2m + 3} \right|} \over {\sqrt {1 + {m^2}} }} = 1\) \( \Leftrightarrow {\left( {1 - 4m} \right)^2} = 1 + {m^2}\) \( \Leftrightarrow 15{m^2} - 8m = 0\) \( \Leftrightarrow m = 0$ hay $m = {8 \over {15}}\) Bài 3.53 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân tại A có A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : \(\Delta :x - y - 4 = 0\) a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng \(\Delta \) b) Xác định tọa độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Gợi ý làm bài a) Gọi H là hình chiếu của A trên , suy ra H là trung điểm của BC. \(AH = d(A,BC) = {9 \over {\sqrt 2 }}$ b) \(BC = {{2{S_{\Delta ABC}}} \over {AH}} = 4\sqrt 2 .\) \(AB = AC = \sqrt {A{H^2} + {{B{C^2}} \over 4}} = \sqrt {{{97} \over 2}} .\) Tọa độ điểm B và C là nghiệm của hệ : \(\left\{ \matrix{ {\left( {x + 1} \right)^2} + {(y - 4)^2} = {{97} \over 2} \hfill \cr x - y - 4 = 0\,. \hfill \cr} \right.\) Giải hệ ta được $\left( {x;y} \right) = \left( {{{11} \over 2};{3 \over 2}} \right)$ hoặc $\left( {x;y} \right) = \left( {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)\) Vậy \(B\left( {{{11} \over 2};{3 \over 2}} \right)\,,\,C\left( {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)$ hoặc $B\left( {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right)\,,C\left( {{{11} \over 2};{3 \over 2}} \right)\,.\) Bài 3.54 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng \(\Delta :x + y - 5 = 0\). \(\Delta :x + y - 5 = 0\) Gợi ý làm bài (Xem hình 3.14) Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, suy ra N(11 ; -1) và điểm N thuộc đường thẳng CD. \(E \in \Delta \Rightarrow E(x;5 - x)\,;\,\overrightarrow {IE} = (x - 6;3 - x)\) và: \(\overrightarrow {NE} = (x - 11;6 - x)\) E là trung điểm của CD \( \Rightarrow IE \bot EN.\) \(\overrightarrow {IE} .\overrightarrow {NE} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x - 11} \right) + \left( {3 - x} \right)\left( {6 - x} \right) = 0\) \(\overrightarrow {IE} .\overrightarrow {NE} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x - 11} \right) + \left( {3 - x} \right)\left( {6 - x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 6\) hoặc x = 7 Với \(x = 6 \Rightarrow \overrightarrow {IE} = (0;3),\) Phương trình \(AB:y - 5 = 0.\) Với \(x = 7 \Rightarrow IE = \left( {1; - 4} \right),\) Phương trình \(AB:x - 4y + 19 = 0.\) Bài 3.55 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : \({(x - 2)^2} + {y^2} = {4 \over 5}\) và đường thẳng \({\Delta _1}:x - y = 0\), \({\Delta _2}:x - 7y = 0\). Xác định tọa độ tâm K vàn bán kính của đường tròn (C1) ; biết đường tròng (C1) tiếp xúc với các đường thẳng \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và tâm K không thuộc đường tròn (C). Gợi ý làm bài (Xem hình 3.15) Gọi \(K\left( {a;b} \right)\,;\,k \in (C) \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} = {5 \over 4}\,\,\,\,\,(1)\) \(({C_1})\) tiếp xúc với \({\Delta _1},{\Delta _2} \Leftrightarrow {{\left| {a - b} \right|} \over {\sqrt 2 }} = {{\left| {a - 7b} \right|} \over {5\sqrt 2 }}\,\,(2).\) Từ (1) và (2) cho ta : \(\left\{ \matrix{ 5{\left( {a - 2} \right)^2} + 5{b^2} = 4 \hfill \cr 5\left| {a - b} \right| = \left| {a - 7b} \right| \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\left( {a - 2} \right)^2} + 5{b^2} = 4 \hfill \cr 5\left( {a - b} \right) = a - 7b \hfill \cr} \right.\,\,\,\,(I)\,\,\,\) và \(\left\{ \matrix{ 5{\left( {a - 2} \right)^2} + 5{b^2} = 4 \hfill \cr 5(a - b) = 7b - a \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,(II)\) \((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 25{a^2} - 20a + 16 = 0 \hfill \cr b = - 2a \hfill \cr} \right.\) (vô nghiệm) \((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 2b \hfill \cr 25{b^2} - 40b + 16 = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {{8 \over 5};{4 \over 5}} \right).\) Bán kính (C1): \(R = {{\left| {a - b} \right|} \over {\sqrt 2 }} = {{2\sqrt 2 } \over 5}.\) Vậy \(K\left( {{8 \over 5};{4 \over 5}} \right)\) và \(R = {{2\sqrt 2 } \over 5}.\) Bài 3.56 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y - 1 = 0 Gợi ý làm bài Ta gọi \({d_1}:x - y + 2 = 0\) và \({d_2}:4x + 3y - 1 = 0\). Gọi H'(a;b) là điểm đối xứng của H qua \({d_1}\) Khi đó H' thuộc đường thẳng AC (h.3.16). \(\overrightarrow u = (1;1)\) là vectơ chỉ phương của \({d_1}\), \(\overrightarrow {HH'} = \left( {a + 1;b + 1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow u \) và trung điểm \(I\left( {{{a - 1} \over 2};{{b - 1} \over 2}} \right)\) của \(\overrightarrow {HH'} \) thuộc \({d_1}\). Do đó tọa độ của H' là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ 1.\left( {a + 1} \right) + 1\left( {b + 1} \right) = 0 \hfill \cr {{a - 1} \over 2} - {{b - 1} \over 2} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H'( - 3;1).\) Đường thẳng AC đi qua H' vuông góc với \({d_2}\) nên có viectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow v = \left( {3; - 4} \right)\), suy ra AC có phương trình là : \(\eqalign{ & 3\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0. \cr} \) Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ 3x - 4y + 13 = 0 \hfill \cr x - y + 2 = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow A(5;7).\) Đường thẳng CH đi qua H (-1 ; -1) với vectơ pháp tuyến là \({1 \over 2}\overrightarrow {HA} = \left( {3;4} \right)\) nên có phương trình là: \(3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 7 = 0.\) Tọa độ của C là nghiệm của phương trình \(\left\{ \matrix{ 3x + 4y + 7 = 0 \hfill \cr 3x - 4y + 13 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C\left( { - {{10} \over 3};{3 \over 4}} \right).\) Bài 3.57 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y - 3 = 0\) và \({\Delta _2}:x + y + 1 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng \({\Delta _1}\) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng \({\Delta _2}\) bằng \({1 \over {\sqrt 2 }}\). Gợi ý làm bài Khoảng cách từ M đến \({\Delta _2}\) là \(d(M,{\Delta _2}) = {{\left| {2t + 3 + t + 1} \right|} \over {\sqrt 2 }}\) \(d(M,{\Delta _2}) = {1 \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = - 1 \hfill \cr t = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\) Vậy M(1;-1) hoặc \(M\left( { - {1 \over 3}; - {5 \over 3}} \right).\) Bài 3.58 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x - 2y + 3 = 0. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.17) \(\eqalign{ & A \in Ox\,,\,B \in Oy \cr & \Rightarrow A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right),AB = \left( { - a;b} \right). \cr} \) Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\) Tọa độ trung điểm I của AB là \(\left( {{a \over 2};{b \over 2}} \right)\). A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr I \in d \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2a + b = 0 \hfill \cr {a \over 2} - b + 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 2 \hfill \cr b = 4. \hfill \cr} \right.\) Vậy \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0;4} \right).\) Bài 3.59 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.18) Ta có \(M\left( { - 1;0} \right),N\left( {1; - 2} \right),AC = \left( {4; - 4} \right)\) Giả sử H(x;y) . Ta có : \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \hfill \cr H \in AC \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4(x + 2) - 4(y + 2) = 0 \hfill \cr 4x + 4(y - 2) = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {1;1} \right). \cr} \) Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là: \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1).\) Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện : \(\left\{ \matrix{ 2a - c = 1 \hfill \cr 2a - 4b + c = - 5 \hfill \cr 2a + 2b + c = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - {1 \over 2} \hfill \cr b = {1 \over 2} \hfill \cr c = - 2. \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \({x^2} + {y^2} - x + y - 2 = 0\) Bài 3.60 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 2;2) và các đường thẳng \({d_1}:x + y - 2 = 0\); \({d_2}:x + y - 8 = 0\) Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gợi ý làm bài (xem hình 3.19) Vì \(B \in {d_1},C \in {d_2}\) nên \(B\left( {b;2 - b} \right),C\left( {c;8 - c} \right).\) Tam giác ABC vuông cân tại A \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr AB = AC \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ bc - 4b - c + 2 = 0 \hfill \cr {b^2} - 2b = {c^2} - 8c + 18 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ (b - 1)(c - 4) = 2 \hfill \cr {(b - 1)^2}{(c - 4)^2} = 3. \hfill \cr} \right. \cr} \) Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ : \(\left\{ \matrix{ x.y = 2 \hfill \cr {x^2} - {y^2} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr y = - 1 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 1. \hfill \cr} \right.\) Vậy B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5;3) Bài 3.61 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) và đường thẳng d: 3x - 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.20) (C) có tâm I(1 ; -2) và bán kính R = 3. Ta có tam giác PAB đều thì \(IP = 2IA = 2R = 6 \Leftrightarrow P\) thuộc đường tròn (C ’) có tâm I, bán kính R'=6. Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với (C ’) tại P \( \Leftrightarrow d(I,d) = 6\) \( \Leftrightarrow m = 19,\,\,m = - 41.\) Bài 3.62 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: \({d_1}:x - y = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\) Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc \({d_1}\) , đỉnh C thuộc \({d_2}\) và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.21) Vì \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t} \right).\) Vì A và C đối xứng nhau qua BD và \(B,D \in Ox\) nên \(C\left( {t; - t} \right)\) Vì \(C \in {d_2}\) nên \(2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\). Vậy A(1 ; 1), C(1 ; -1). Trung điểm AC là I(1 ; 0). Vì I là tâm hình vuông nên \(\left\{ \matrix{ IB = IA = 1 \hfill \cr ID = IA = 1 \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ B \in Ox \hfill \cr D \in Ox \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ B(b;0) \hfill \cr D(d;0) \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ \left| {b - 1} \right| = 1 \hfill \cr \left| {d - 1} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b = 0,b = 2 \hfill \cr d = 0,d = 2. \hfill \cr} \right. \cr} \) Suy ra B(0 ; 0) và D(2 ; 0) hoặc B(2 ; 0), D(0 ; 0). Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1 ; 1), B(0 ; 0), C(1 ; -1), D(2 ; 0) hoặc A(1 ; 1), B(2 ; 0), C(1 ; -1), D(0 ; 0). Bài 3.63 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5. Gợi ý làm bài Gọi tâm của (C) là I(a;b) và bán kính của (C) là R. (C) tiếp xúc với Ox tai A \( \Rightarrow a = 2\) và \(\left| b \right| = R\) \(IB = 5 \Leftrightarrow {\left( {6 - 2} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = 25\) \( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 7 = 0 \Leftrightarrow b = 1,b = 7.\) Với a = 2, b = 1 ta có đường tròn (C 1): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\) Với a = 2, b = 7 ta có đường tròn (C 2): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 49.\) Bài 3.64 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\) và đường thẳng d: x - y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài vơi đường tròng (C). Gợi ý làm bài (Xem hình 3.22) Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), bán kính R = 1. Vì \(M \in d\) nên M(x;x + 3). Yêu cầu của bài toán tương đương với: \(MI = R + 2R \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = 9\) \( \Leftrightarrow x = 1,x = - 2\) Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(1 ; 4) và M(-2 ; 1). Bài 3.65 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4\) và đường thẳng d: x - y - 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C ’) đối xứng vơi đường tròng (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C ’) và (C). Gợi ý làm bài (Xem hình 3.23) Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right).\) Do đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và vuông góc với d có phương trình : \({{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over { - 1}} \Leftrightarrow x + y - 3 = 0.\) Tọa độ giao điểm H của d và là nghiệm của hệ phương trình : \(\left\{ \matrix{ x - y - 1 = 0 \hfill \cr x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {2;1} \right)\) Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó : \(\left\{ \matrix{ {x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3 \hfill \cr {y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow J(3;0).\) Vì (C ’) đối xứng với (C ) qua d nên (C ’) có tâm là \(J\left( {3;0} \right)\) và bán kính R = 2. Do đó (C ’) có phương trình là : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\) Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình : \(\left\{ \matrix{ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4 \hfill \cr {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - y - 1 = 0 \hfill \cr {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = x - 1 \hfill \cr 2{x^2} - 8x + 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1,y = 0 \hfill \cr x = 3,y = 2. \hfill \cr} \right.\) Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C ’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2). Bài 3.66 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm \(I\left( {{1 \over 2};0} \right)\) phương trình đường thẳng AB là : x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. Gợi ý làm bài (Xem hình 3.24) Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB bằng \({{\sqrt 5 } \over 2}\) \(\Rightarrow AD = \sqrt 5 \) và \(IA = IB = {5 \over 2}.\) Do đó A, B là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính \(R = {5 \over 2}.\) Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ : \(\left\{ \matrix{ x - 2y + 2 = 0 \hfill \cr {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {y^2} = {\left( {{5 \over 2}} \right)^2} \hfill \cr} \right.\) Giải hệ ta được \(A( - 2;0),B(2;2)\) (vì \({x_A} < 0\)) \( \Rightarrow C\left( {3;0} \right),D\left( { - 1; - 2} \right).\) Bài 3.67 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : \(\sqrt 3 x - y - \sqrt 3 = 0\), các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Gợi ý làm bài ( Xem hình 3.25) Ta có: \(BC \cap Ox = B(1;0)\) Đặt \({x_A} = a\) ta có A(a;0) và \({x_C} = a \Rightarrow {y_C} = \sqrt 3 a - \sqrt 3 .\) Vậy \(C\left( {a;\sqrt 3 a - \sqrt 3 } \right).\) Từ công thức \(\left\{ \matrix{ {x_G} = {1 \over 3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right) \hfill \cr {y_G} = {1 \over 3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) \hfill \cr} \right.\) Ta có: \(G\left( {{{2a + 1} \over 3};{{\sqrt 3 \left( {a - 1} \right)} \over 3}} \right).\) Mà \(AB = \left| {a - 1} \right|,AC = \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|,BC = 2\left| {a - 1} \right|\). Do đó : \({S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {{\sqrt 3 } \over 2}{\left( {a - 1} \right)^2}.\) Ta có: \(\eqalign{ & r = {{2S} \over {AB + AC + BC}} \cr & = {{\sqrt 3 {{\left( {a - 1} \right)}^2}} \over {3\left| {a - 1} \right| + \sqrt 3 \left| {a - 1} \right|}} = {{\left| {a - 1} \right|} \over {\sqrt 3 + 1}} = 2. \cr} \) Vậy \(\left| {a - 1} \right| = 2\sqrt 3 + 2.\) Trường hợp 1. \({a_1} = 2\sqrt 3 + 3 \Rightarrow {G_1}\left( {{{7 + 4\sqrt 3 } \over 3};{{6 + 2\sqrt 3 } \over 3}} \right).\) Trường hợp 2. \({a_2} = - 2\sqrt 3 - 1 \Rightarrow {G_2}\left( {{{4\sqrt 3 - 1} \over 3};{{ - 6 - 2\sqrt 3 } \over 3}} \right).\) Bài 3.68 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E): \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. Gợi ý làm bài Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\) Ta có : \(A{B^2} = 4y_0^2\) và \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.\) Vì \(A \in (E)\) nên \({{x_0^2} \over 4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - {{x_0^2} \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Vì AB = AC nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được \(7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_0} = 2 \hfill \cr {x_0} = {2 \over 7}. \hfill \cr} \right.\) Với \({x_0} = 2\) thay vào (1) ta có \({y_0} = 0.\) Trường hợp này loại vì \(A \equiv C.\) Với \({x_0} = {2 \over 7}\) thay vào (1) ta có \({y_0} = \pm {{4\sqrt 3 } \over 7}.\) Vậy \(A\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),B\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\) hoặc \(A\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),B\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\)
