Bài 26 trang 104 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) với \(A=(-1 ; 0), B=(2 ; 3), C=(3 ; -6)\) và đường thẳng \(\Delta : x - 2y - 3 = 0\). a) Xét xem đường thẳng \(\Delta \) cắt cạnh nào của tam giác. b) Tìm điểm M trên \(\Delta \) sao cho \(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất. Giải a) Thay lần lượt tọa độ của \(A, B, C\) vào vế trái phương trình của \(\Delta \), ta được: \( - 1 - 3 = - 4 ;\) \( 2 - 2.3 - 3 = - 7 ;\) \( 3 - 2.( - 6) - 3 = 12\). Vậy \(A, B\) nằm về một phía của \(\Delta \), còn \(C\) nằm về phía kia. Do đó \(\Delta \) cắt hai cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC.\) b) Cách 1: Xét \(M(2y+3 ; y) \in \Delta \) thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC}\) \( = ( - 6y - 5 ; - 3y - 3)\). Khi đó \(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} |\) \( = \sqrt {{{(6y + 5)}^2} + {{(3y + 3)}^2}}\) \( = \sqrt {45{y^2} + 78y + 34} \). \(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 45{y^2} + 78y + 34\) nhỏ nhất \(y = - \dfrac{{13}}{{15}}\). Từ đó ta tìm được \(M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ; - \dfrac{{13}}{{15}}} \right)\). Cách 2: Do \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)) nên \(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow |\overrightarrow {MG} |\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên \(\Delta \). Ta tìm được \(M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ; - \dfrac{{13}}{{15}}} \right)\). Bài 27 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm \(A(2 ; 0), B(4 ; 1), C(1 ; 2).\) a) Chứng minh rằng \(A, B, C\) là ba đỉnh của một tam giác. b) Viết phương trình đường phân giác trong của góc \(A.\) c) Tìm tọa độ tâm \(I\) của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\) Giải a) \(\overrightarrow {AB} = (2 ; 1), \overrightarrow {AC} = ( - 1 ; 2)\), \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương . Do đó \(A, B, C\) không thẳng hàng và là ba đỉnh của một tam giác. b) Phương trình đường thẳng \(AB\): \(x-2y-2=0.\) Phương trình đường thẳng \(AC\): \(2x+y-4=0.\) Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(A\) là \( \dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \pm \dfrac{{2x + y - 4}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\3x - y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\) Thay lần lượt tọa độ của \(B\) và \(C\) vào vế trái của (1) ta được \(4 + 3.1 - 2 = 5 ;\) \( 1 + 3.2 - 2 = 5\). Do đó \(B, C\) cùng phía đối với đường thẳng có phương trình (1), vậy phương trình đường phân giác trong của góc \(A\) là \(3x-y-6=0.\) c) \(\overrightarrow {BC} = ( - 3 ; 1)\). Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(x+3y-7=0.\) Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(B\) là \( \dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \pm \dfrac{{x + 3y - 7}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}(\sqrt 2 - 1)x - (2\sqrt 2 + 3)y + 7 - 2\sqrt 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\(\sqrt 2 + 1)x + (3 - 2\sqrt 2 )y - 7 - 2\sqrt 2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\) Thay lần lượt tọa độ của \(A\) và \(C\) vào vế trái của (3) ta được: \((\sqrt 2 - 1).2 + 7 - 2\sqrt 2 = 5 ;\) \( (\sqrt 2 - 1).1 - (2\sqrt 2 + 3).2 + 7 - 2\sqrt 2 = - 5\sqrt 2. \) Suy ra phương trình đường phân giác trong của góc \(B\) là \((\sqrt 2 - 1)x - (2\sqrt 2 + 3)y + 7 - 2\sqrt 2 = 0.\) Tâm \(I\) của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác trong. Tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 6 = 0\\(\sqrt 2 - 1)x - (2\sqrt 2 + 3)y + 7 - 2\sqrt 2 = 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\\y = \dfrac{3}{{2 + \sqrt 2 }}\end{array} \right.\). Vậy \(I = \left( { \dfrac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }} ; \dfrac{3}{{2 + \sqrt 2 }}} \right)\). Bài 28 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao. Tìm các góc của một tam giác biết phương trình các cạnh tam giác đó là: \(x + 2y = 0 ; 2x + y = 0 ; x + y = 1.\) Giải Xét tam giác \(ABC\) với phương trình các cạnh của tam giác như đã cho. Khi đó , tọa độ các đỉnh của tam giác là nghiệm của các hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 0\\2x + y = 0\end{array} \right. ;\) \( \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. ;\) \( \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right.\). Giải các hệ này ta được tọa độ các đỉnh tam giác là \((0 ; 0), (2 ; -1), (-1 ; 2).\) Giả sử \(A(0 ; 0), B(2 ; -1), C(-1 ; 2).\) Suy ra \(\overrightarrow {AB} = (2 ; - 1) ,\) \( \overrightarrow {AC} = ( - 1 ; 2), \) \( \overrightarrow {BC} = ( - 3 ; 3). AB = AC = \sqrt 5 \) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). \(\begin{array}{l}\cos A = \cos (\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC} )\\ = \dfrac{{2.( - 1) + ( - 1).2}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = - \dfrac{4}{5} \\ \Rightarrow \widehat A \approx {143^0}8'\\ \Rightarrow \widehat B = \widehat C \approx {18^0}26'\end{array}\) Bài 29 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm \(A=(-1 ; 2)\) và đường thẳng \(\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2t.\end{array} \right.\) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \). Từ đó suy ra diện tích của hình tròn tâm \(A\) tiếp xúc với \(\Delta \). Giải \(\Delta \) có phương trình tổng quát : \(x+y+1=0\). Do đó \(d(A;\Delta ) = \dfrac{{| - 1 + 2 + 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\) \(= \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \). Đường tròn tâm \(A\) tiếp xúc với \(\Delta \) nên có bán kính \(R = \sqrt 2 \). Diện tích của hình tròn này là \(S = \pi {R^2} = 2\pi \). Bài 30 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao. Với điều kiện nào thì các điểm \(M(x_1; y_1)\) và \(N( x_2; y_2)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(\Delta : ax+by+c=0\) ? Giải Hai điểm \(M\) và \(N\) đối xứng với nhau qua \(\Delta \) khi và chỉ khi có hai điều kiện: - Trung điểm \(I\) của \(MN\) nằm trên \(\Delta \); - Vec tơ \(\overrightarrow {MN} \) là vec tơ pháp tuyến của \(\Delta \). Từ đó ta được điều kiện sau: \(\left\{ \begin{array}{l}a\left( { \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right) + b\left( { \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2}} \right) + c = 0\\b({x_2} - {x_1}) - a({y_2} - {y_1}) = 0\end{array} \right.\). Bài 31 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao. Biết các cạnh của tam giác \(ABC\) có phương trình: \(AB: x-y+4=0 ;\) \(BC: 3x+5y+4=0 ;\) \(AC: 7x+y-12=0.\) a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc \(A\). b) Không dùng hình vẽ, hãy cho biết gốc tọa độ \(O\) nằm trong hay nằm ngoài tam giác \(ABC.\) Giải a) Ta tìm được tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\) là \(A(1 ; 5),\) \( B(-3 ; 1),\) \( C(2 ; -2).\) Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(A\) là \( \dfrac{{x - y + 4}}{{\sqrt 2 }} = \pm \dfrac{{7x + y - 12}}{{\sqrt {49 + 1} }} \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3y - 16 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\3x - y + 2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\) Thay lần lượt tọa độ của điểm \(B\) và \(C\) vào vế trái của (1) ta được \( - 3 + 3 - 16 = - 16 ; 2 - 6 - 16 = - 20\) Suy ra \(B\) và \(C\) cùng phía đối với đường thẳng có phương trình (1). Vậy phương trình phân giác trong của góc \(A\) là \(3x-y+2=0.\) b) Thay lần lượt tọa độ của \(O\) vào vế trái phương trình của \(BC, AC, AB\) ta được: \(4, -12, 4.\) Thay tọa độ của \(A, B, C\) lần lượt vào vế trái của phương trình của \(BC, AC, AB\) ta được: \(32, -32, 8.\) Vậy \(O\) và \(A\) nằm cùng phía đối với \(BC, O\) và \(B\) nằm cùng phía đối với \(AC, O\) và \(C\) nằm cùng phía với \(AB\). Vậy \(O\) nằm trong tam giác \(ABC.\) Bài 32 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao. Viết phương trình đường thẳng a) Qua \(A(-2 ; 0)\) và tạo với đường thẳng \(d: x+3y-3=0\) một góc \(45^0\). b) Qua \(B(-1 ; 2)\) và tạo với đường thẳng \(d: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 2t\end{array} \right.\) một góc 600. Giải a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(-2 ; 0)\) có phương trình: \(\alpha (x + 2) + \beta y = 0\) hay \(\alpha x + \beta y + 2\alpha = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\). \(\Delta \) tạo với \(d\) góc \(45^0\) \(\cos {45^0} = \dfrac{{|\alpha + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}\) \(\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{|\alpha + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}\) \(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 5({\alpha ^2} + {\beta ^2}) = {(\alpha + 3\beta )^2}\\\Leftrightarrow 2{\alpha ^2} - 3\alpha \beta - 2{\beta ^2} = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = 2\beta \\\alpha = - \dfrac{1}{2}\beta .\end{array} \right.\end{array}\) Với \(\alpha = 2\beta \), chọn \(\beta = 1, \alpha = 2\) ta được đường thẳng \({\Delta _1}: 2x + y + 4 = 0\). Với \(\alpha = - \dfrac{1}{2}\beta \), ta chọn \(\beta = - 2, \alpha = 1\), ta được đường thẳng \({\Delta _2}: x - 2y + 2 = 0\). b) Gọi \(\overrightarrow u (a ; b)\) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm (\({a^2} + {b^2} \ne 0\)). \(d\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow v = (3 ; - 2)\). \(\Delta \) tạo với d góc 600 khi và chỉ khi \(\cos {60^0} = \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \\ \Leftrightarrow 13({a^2} + {b^2}) = 4{(3a - 2b)^2}\\ \Leftrightarrow 23{a^2} - 48ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b\\a = \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b\end{array} \right.\end{array}\) Với \(a = \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b\), chọn \(b = 1, a = \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}\), ta được đường thẳng \({\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.\) Với \(a = \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b\), ta chọn \(b = 1, a = \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}\), ta được đường thẳng \({\Delta _2}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.\). Bài 33 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao. Xác định các giá trị của \(a\) để góc tạo bởi hai đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\) và \(3x+4y+12=0\) bằng \(45^0\). Giải Đường thẳng \({\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u (a ; - 2)\), đường thẳng \({\Delta _2}: 3x + 4y + 12 = 0\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow v (4 ; - 3)\). Góc giữa \({\Delta _1}, {\Delta _2}\) bằng \(45^0\) khi và chỉ khi \(\begin{array}{l}\cos {45^0} = \dfrac{{|4a + 6|}}{{\sqrt {{a^2} + {2^2}} .\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{|4a + 6|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\\ \Leftrightarrow 25({a^2} + 4) = 2{(4a + 6)^2}\\ \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{7}\\a = - 14.\end{array} \right.\end{array}\) Có hai giá trị cần tìm là \(a = \dfrac{2}{7}\) và \(a=-14.\) Bài 34 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao. a) Cho hai điểm \(A(1 ; 1)\) và \(B(3 ; 6)\). Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và cách \(B\) một khoảng bằng \(2\). b) Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(8x-6y-5=0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với \(d\) và cách \(d\) một khoảng bằng \(5.\) Giải: a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(1 ; 1)\) có phương trình: \(\alpha (x - 1) + \beta (y - 1) = 0 \) \( \Leftrightarrow \alpha x + \beta y - \alpha - \beta = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0).\) Ta có \(\begin{array}{l}d(B ; \Delta ) = 2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{|3\alpha + 6\beta - \alpha - \beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 \\ \Leftrightarrow {(2\alpha + 5\beta )^2} = 4({\alpha ^2} + {\beta ^2})\\ \Leftrightarrow \beta (21\beta + 20\alpha ) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\beta = 0\\21\beta + 20\alpha = 0.\end{array} \right.\end{array}\) Với \(\beta = 0\), chọn \(\alpha = 1\), ta được đường thẳng \({\Delta _1}: x - 1 = 0\). Với \(21\beta + 20\alpha = 0\), chọn \(\alpha = 21, \beta = - 20\), ta được đường thẳng \({\Delta _2}: 21x - 20y - 1 = 0\). b) \(M(x ; y) \in \Delta \Leftrightarrow d(M ; d) = 5\) \(\Leftrightarrow \dfrac{{|8x - 6y - 5|}}{{\sqrt {64 + 36} }} = 5 \) \(\Leftrightarrow 8x - 6y - 5 = \pm 50\). Vậy có hai đường thẳng cần tìm là \(\begin{array}{l}{\Delta _1}: 8x - 6y + 45 = 0\\{\Delta _2}: 8x - 6y - 55 = 0\end{array}\) Bài 35 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho ba điểm \(A(1 ; 1),\) \( B(2 ; 0),\) \(C(3 ; 4)\). Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và cách đều hai điểm \(B, C\). Giải: Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có phương trình: \(\alpha x + \beta y - \alpha - \beta = 0\,\,({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\). Từ giả thiết \(d(B\,;\,\Delta )\, = d(C\,;\,\Delta )\), ta tìm được \(\alpha = - 4\beta \) hoặc \(3\alpha + 2\beta = 0\). Suy ra có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là : \(\eqalign{ & {\Delta _1}:\,4x - y - 3 = 0 \cr & {\Delta _2}:\,2x - 3y + 1 = 0 \cr} \) Bài 36 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao. a) Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), biết phương trình các đường thẳng \(AB, BC\) lần lượt là \(x+2y-1=0\) và \(3x-y+5=0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\) biết rằng đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(M(1 ; -3).\) b) Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}: 2x - y + 5 = 0 , \) \( {\Delta _2}: 3x + 6y - 1 = 0\) và điểm \(M(2 ; -1)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và tạo với hai đường thẳng \(\Delta_1 \), \(\Delta_2 \) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của \(\Delta_1 \) và \(\Delta_2 \). Giải a) Đường thẳng \(AB\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} (1 ; 2)\), đường thẳng \(BC\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} (3 ; - 1)\). Đường thẳng \(AC\) qua \(M\) nên có phương trình: \(\alpha (x - 1) + \beta (y + 3) = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\). Tam giác \(ABC\) cân tại đỉnh \(A\) nên ta có Với \(\alpha = \dfrac{1}{2}\beta \), chọn \(\beta = 2, \alpha = 1\) ta được đường thẳng \(AC\): \(x+2y+5=0\). Trường hợp này bị loại vì khi đó đường thẳng \(AC\) song song với đường thẳng \(AB.\) Với \(\alpha = \dfrac{2}{{11}}\beta \), ta chọn \(\beta = 11, \alpha = 2\) ta được đường thẳng \(AC\): \(2x+11y+31=0.\) b) Hãy viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và vuông góc với mỗi đường phân giác của các góc tạo bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Ta tìm được hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là : \(3x+y-5=0\) và \(x-3y-5=0.\) Bài 37 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hai đường thẳng song song \(\Delta_1 \): \(ax+by+c=0\) và \(\Delta_2 \): \(ax+by+d=0\). Chứng minh rằng a) Khoảng cách giữa \(\Delta \)1 và \(\Delta \)2 bằng \( \dfrac{{|c - d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\); b) Phương trình đường thẳng song song và cách đều \(\Delta \)1 và \(\Delta \)2 có dạng \(ax + by + \dfrac{{c + d}}{2} = 0\). Áp dụng: Cho hai đường thẳng song song có phương trình \(-3x+4y-10=0\) và \(-3x+4y+1=0\). Hãy lập phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng trên. Giải a) Lấy \(M(x_0 ; y_0)\) thuộc \({\Delta _1}\), suy ra \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\). Kí hiệu \(d({\Delta _1} ; {\Delta _2})\)là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Khi đó ta có: \(d({\Delta _1} ; {\Delta _2}) = d( M ; {\Delta _2})\) \(= \dfrac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{|c - d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\). b) Phương trình đường thẳng \({\Delta _3}\) song song với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _3}\) có dạng \(ax + by + e = 0 (e \ne c, e \ne d)\). Áp dụng câu a), ta có \(d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) = \dfrac{{|c - e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} ;\) \( d({\Delta _2} ; {\Delta _3}) = \dfrac{{|d - e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\). \({\Delta _3}\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) = d({\Delta _2} ; {\Delta _3})\) \( \Leftrightarrow |c - e| = |d - e| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = d\\e = \dfrac{{c + d}}{2}\end{array} \right.\) Trường hợp c=d loại vì \({\Delta _1} \ne {\Delta _2}\). Vậy phương trình của \({\Delta _3}\) là \(ax + by + \dfrac{{c + d}}{2} = 0\). Áp dụng: Đường thẳng song song và cách đều ha đường thẳng đã cho có phương trình: \( - 3x + 4y + \dfrac{{ - 10 + 1}}{2} = 0\) hay \( - 3x + 4y - \dfrac{9}{2} = 0\). Bài 38 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hình vuông có đỉnh \(A=(-4 ; 5)\) và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình \(7x-y+8=0\). Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông. Giải (h.101). Nhận thấy \(A \notin \Delta : 7x - y + 8 = 0\). Vậy \(B, D \in \Delta \). \(\Delta \) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (1 ; 7)\). Phương trình đường chéo \(AC\) là: \(1(x + 4) + 7(y - 5) = 0\) \(\Leftrightarrow x + 7y - 31 = 0\). Tọa độ giao điểm \(I\) của \(AC\) và \(BD\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 8 = 0\\x + 7y - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\). Vậy \(I\left( { - \dfrac{1}{2} ; \dfrac{9}{2}} \right)\) Suy ra tọa độ của \(C\) là \((3 ; 4)\). Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC\) tạo với các đường thẳng \(AB\) và \(AD\) các góc \(45^0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A(-4 ; 5)\) có phương trình: \(\alpha (x + 4) + \beta (y - 5) = 0 \) \(\Leftrightarrow \alpha x + \beta y + 4\alpha - 5\beta = 0\) \(({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\). D tạo với \(AC\) một góc \(45^0\) khi và chỉ khi \(\cos {45^0} = \dfrac{{|\alpha + 7\beta |}}{{\sqrt {50.} \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{|\alpha + 7\beta |}}{{\sqrt {50} .\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}\) \(\Leftrightarrow 12{\alpha ^2} - 7\alpha \beta - 12{\beta ^2} = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = \dfrac{4}{3}\beta \\\alpha = - \dfrac{3}{4}\beta \end{array} \right.\) Với \(\alpha = \dfrac{4}{3}\beta \), ta chọn \(\beta = 3, \alpha = 4\) ta được đường thẳng \({d_1}: 4x + 3y + 1 = 0\). Với \(\alpha = - \dfrac{3}{4}\beta \), ta chọn \(\beta = - 4, \alpha = 3\) ta được đường thẳng \({d_2}: 3x - 4y + 32 = 0\). Lấy phương trình \(AB\) là :\(4x+3y+1=0\) thì phương trình \(AD\) là \(3x-4y+32=0.\) Do đó ta viết được phương trình của \(CD\) và \(BC\) lần lượt là \(4x+3y-24=0\) và \(3x-4y+7=0.\) (Lấy phương trình \(AD\) là \(4x+3y+1=0\) thì phương trình của \(AB\) là \(3x-4y+32=0\) và ta cũng có kết quả tương tự). Bài 39 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A = \left( { \dfrac{4}{5} ; \dfrac{7}{5}} \right)\). Hai đường phân giác trong của góc \(B\) và \(C\) lần lượt có phương trình \(x-2y-1=0\) và \(x+3y-1=0\). Viết phương trình cạnh \(BC\) của tam giác . Giải (h.102). Kẻ \(AH \bot CN, AK \bot BM\). Gọi \(A_1, A_2\) theo thứ tự là giao điểm của \(AH, AK\) với \(BC\). Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA_1\), \(K\) là trung điểm của \(AA_2\). Ta tìm được tọa độ của \(A_1\) và \(A_2\). Từ đó viết được phương trình cạnh \(BC\) là \(y+1=0.\) Bài 40 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho hai điểm \(P(1 ; 6), Q(-3 ; -4)\) và đường thẳng \(\Delta \): \(2x-y-1=0.\) a) Tìm tọa độ điểm \(M\) trên \(\Delta \) sao cho \(MP +MQ\) nhỏ nhất. b) Tìm tọa độ điểm \(N\) trên \(\Delta \) sao cho \(|NP-NQ|\) lớn nhất. Giải a) Dễ thấy \(P, Q\) nằm về một phía đối với đường thẳng \(\Delta \). Gọi \(P’\) là điểm đối xứng với \(p\) qua \(\Delta \). Khi đó, \(MP + MQ \ge P'Q\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(M, P’, Q\) thẳng hàng. Ta tìm được \(P’=(5;4)\), phương trình \(P’Q\) là \(\left\{ \matrix{ x = 5 - t \hfill \cr y = 4 - t \hfill \cr} \right.\). Từ đó ta tìm được \(M=(0 ;1)\). b) Ta có \(|NP - NQ| \le PQ\). Dấu “= xảy ra khi và chỉ khi \(N, P, Q\) thẳng hàng. Vậy \(N\) chính là giao điểm của đường thẳng \(PQ\) và \(\Delta \). Ta tìm được \(N=(-9 ; -19)\). Bài 41 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao. Cho đường thẳng \(\Delta _m\): \((m-2)x+(m-1)y+2m-1=0\) và hai điểm \(A(2 ; 3), B(1 ; 0).\) a) Chứng minh rằng \(\Delta_m \) luôn đi qua một điểm cố định với mọi \(m;\) b) Xác định \(m\) để \(\Delta_m \) có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng \(AB;\) c) Tìm \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta_m \) là lớn nhất. Giải a) \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M(x_0 ; y_0)\) với mọi \(m\) khi và chỉ khi \(\begin{array}{l}(m - 2){x_0} + (m - 1){y_0} + 2m - 1 = 0 \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow ({x_0} + {y_0} + 2)m - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0 \,\,\,\,\, \forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} + 2 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = - 3.\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M(1 ; -3)\) với mọi \(m\). b) Đặt \(f(x,y) = (m - 2)x + (m - 1)y + 2m - 1 = 0\) \({\Delta _m}\) có ít nhất một điểm chung với đoạn \(AB\) \( \Leftrightarrow f({x_A} , {y_A}).f({x_B} , {y_B}) \le 0\) \( \Leftrightarrow (7m - 8)(3m - 3) \le 0 \) \( \Leftrightarrow 1 \le m \le \dfrac{8}{7}\). c) (h.103). Dựng \(AH \bot {\Delta _m}\). Ta có \(AH \le AM\) với mọi \(m\) (\(M\) là điểm thuộc \({\Delta _m}\) với mọi \(m\) đã nói ở câu a). Vậy \(AH\) lớn nhất bằng \(AM\) khi và chỉ khi \(H\) trùng với \(M\) hay \(AM \bot {\Delta _m}\). Ta có : \(\overrightarrow {AM} = ( - 1 ; - 6), {\Delta _m}\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (1 - m ; m - 2)\). \(AM \bot {D_m} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0 \) \( \Leftrightarrow - 1(1 - m) - 6(m - 2) = 0 \) \( \Leftrightarrow m = \dfrac{{11}}{5}\). Vậy với \(m = \dfrac{{11}}{5}\) thì khoảng cách từ \(A\) đến \({\Delta _m}\) là lớn nhất.
