Sách bài tập Toán 10 - Hình học 10 nâng cao - Chương III - Bài 4. Đường tròn

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 42 trang 107 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của các đường tròn sau:
    a) \({(x + 4)^2} + {(y - 2)^2} = 7\,;\)
    b) \({(x - 5)^2} + {(y + 7)^2} = 15;\)
    c) \({x^2} + {y^2} - 6x - 4y = 36;\)
    d) \({x^2} + {y^2} - 10x - 10y = 55;\)
    e) \({x^2} + {y^2} + 8x - 6y + 8 = 0;\)
    f) \({x^2} + {y^2} + 4x + 10y + 15 = 0.\)
    Giải
    a) \(I( - 4\,;\,2)\,,\,\,R = \sqrt 7 ;\)
    b) \(I(5\,;\, - 7)\,,\,\,R = \sqrt {15}; \)
    c) \(I(3\,;\,2)\,,\,\,R = 7;\)
    d) \(I(5\,;\,5)\,,\,\,R = \sqrt {105}; \)
    e) \(I( - 4\,;\,3)\,,\,\,R = \sqrt {17} ;\)
    f) \(I( - 2\,;\, - 5)\,,\,\,R = \sqrt {14}. \)

    Bài 43 trang 107 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Viết phương trình đường tròn đường kính \(AB\) trong các trường hợp sau
    a) \(A(7 ; -3) ; B(1 ; 7) ;\)
    b) \(A(-3 ; 2); B(7 ; -4).\)
    Giải
    a) Đường tròn đường kính \(AB\) nhận trung điểm \(I\) của \(AB\) là tâm và có bán kính \(R = \dfrac{1}{2}AB\).
    Ta có:
    \(I(4 ; 2), R = \dfrac{1}{2}AB\)
    \(= \dfrac{1}{2}\sqrt {{{(1 - 7)}^2} + {{(7 + 3)}^2}}\)
    \( = \dfrac{1}{2}.2\sqrt {34} = \sqrt {34} \).
    Phương trình đường tròn là
    \({(x - 4)^2} + {(y - 2)^2} = 34 \)
    \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 4y - 14 = 0\).
    b) \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 29 = 0\).

    Bài 44 trang 107 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) biết \(A=(1 ; 3),\) \( B=(5 ; 6),\) \( C=(7 ; 0).\)
    Giải
    Gọi \(I(x,y)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Ta có
    \(\begin{array}{l}IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} + I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} = {(x - 5)^2} + {(y - 6)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} = {(x - 7)^2} + {y^2}\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x + 6y = 51\\12x - 6y = 39\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{9}{2}\\y = \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \\ \Rightarrow I = \left( { \dfrac{9}{2} ; \dfrac{5}{2}} \right)\end{array}\)
    Bán kính đường tròn :
    \(R = IA\)
    \(= \sqrt {{{\left( { \dfrac{9}{2} - 1} \right)}^2} + {{\left( { \dfrac{5}{2} - 3} \right)}^2}} \)
    \(= \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
    Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là
    \({\left( {x - \dfrac{9}{2}} \right)^2} + {\left( {y - {{ \dfrac{5}{2}}^{}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{2}\).

    Bài 45 trang 107 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) biết phương trình các cạnh \(AB: 3x+4y-6=0 ;\) \(AC: 4x+3y-1=0 ;\) \(BC: y=0.\)
    Giải
    Tọa độ cũa \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\4x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.\).
    Giải hệ ta có \(A=(-2 ; 3).\)
    Tương tự, ta tính được \(B(2 ; 0),\) \(C\left( { \dfrac{1}{4} ; 0} \right)\).
    Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(A\) là
    \( \dfrac{{3x + 4y - 6}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \pm \dfrac{{4x + 3y - 1}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y + 5 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x + y - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2).\end{array} \right.\)
    Thay lần lượt tọa độ của \(B, C\) vào vế trái của (1), ta được: \(2+5=7>0;\) \( \dfrac{1}{4} + 5 > 0\). Vậy (2) là phương trình đường phân giác trong của góc \(A\).
    Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(B\) là
    \( \dfrac{{3x + 4y - 6}}{5} = \pm y \)
    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\x + 3y - 2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)
    Thay lần lượt tọa độ của \(A, C\) vào vế trái của (4), ta được \(-2+3.3-2=5 > 0,\) \( \dfrac{1}{4} - 2 = - \dfrac{7}{4} < 0\). Vậy (4) là phương trình đường phân giác trong của góc \(B\).
    Gọi \(I(x,y)\) và \(r\) là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Khi đó tọa độ của \(I\) là nghiệm của hệ:
    \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x + 3y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)
    \(\Leftrightarrow I = \left( { \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}} \right)\).
    \(r = d(I ; BC) = \dfrac{1}{2}\). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là:
    \({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\)

    Bài 46 trang 107 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Biện luận theo \(m\) vị trí tương đối của đường thẳng \({\Delta _m}: x - my + 2m + 3 = 0\) và đường tròn \((C) : {x^2} + {y^2} + 2x - 2y - 2 = 0\).
    Giải
    \(0 < m < \dfrac{4}{3} \Rightarrow {\Delta _m}\) không có điểm chung với \((C).\)
    \(m < 0\) hoặc \(m > \dfrac{4}{3} \Rightarrow {\Delta _m}\) cắt \((C).\)
    \(m=0\) hoặc \(m = \dfrac{4}{3} \Rightarrow {\Delta _m}\) tiếp xúc với \((C).\)

    Bài 47 trang 107 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Cho ba điểm \(A(-1 ; 0), B(2 ; 4), C(4 ; 1).\)
    a) Chứng minh rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}\) là một đường tròn \((C)\). Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C)\).
    b) Một đường thẳng \(\Delta \) thay đổi đi qua \(A\) cắt \((C)\) tại \(M\) và \(N\). Hãy viết phương trình của \(\Delta \) sao cho đoạn \(MN\) ngắn nhất.
    Giải
    a) Xét điểm \(M(x ; y)\). Biến đổi điều kiện \(3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}\)qua tọa độ ta được phương trình đường tròn cần tìm \((C): {\left( {x + \dfrac{9}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \dfrac{{107}}{4}\), \((C)\) có tâm \(I\left( { - \dfrac{9}{2} ; 1} \right)\), bán kính \(R = \dfrac{{\sqrt {107} }}{2}\).
    b) (h.104).
    01.jpg
    \(IA < R\) nên \(A\) trong \((C)\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\) thì \(IH \bot MN\).
    \(MN = 2MH = 2\sqrt {{R^2} - I{H^2}} \).
    Do đó \(MN\) min \( \Leftrightarrow IH\) max.
    Ta luôn có \(IH \le IA\). Vậy \(IH\) max \( \Leftrightarrow H \equiv A\), tức là \(\overrightarrow {IA} = \left( { \dfrac{7}{2} ; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm. Từ đó suy ra phương trình của \(\Delta \) là \(7x - 2y + 7 = 0\).

    Bài 48 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và
    a) Đi qua \(A(2 ; -1).\)
    b) Có tâm thuộc đường thẳng \(3x-5y-8=0.\)
    Giải
    Phương trình đường tròn \((C)\), tâm \(I(a ; b)\), bán kính \(R\) có dạng
    \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).
    \((C)\) tiếp xúc với \(Ox, Oy\) khi và chỉ khi \(|a| = |b| = R\). Phương trình của \((C)\) trở thành
    \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2}\).
    a) \(A(2 ; - 1) \in (C)\)
    \( \Rightarrow {(2 - a)^2} + {( - 1 - b)^2} = {a^2}\). (1)
    Với \(a=b\) thì \((1) \Leftrightarrow {(2 - a)^2} + {(1 + a)^2} = {a^2}\)
    \( \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 5 = 0\), phương trình vô nghiệm.
    Với \(a=-b\) thì \( (1) \Leftrightarrow {(2 - a)^2} + {(a - 1)^2} = {a^2}\)
    \( \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(a = 5\).
    - Khi \(a = 1 \Rightarrow b = - 1, R = 1\), ta được đường tròn \(({C_1}): {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1\).
    - Khi \(a = 5 \Rightarrow b = - 5, R = 5\), ta được đường tròn \(({C_2}): {(x - 5)^2} + {(y + 5)^2} = 25\).
    b) \(I\) thuộc đường thẳng \(3x-5y-8=0\) nên \(3a-5b-8=0.\) (2)
    Với \(a=b\) thì \((2) \Leftrightarrow 3a - 5a - 8 = 0 \Leftrightarrow a = - 4 \) \( \Rightarrow b = - 4, R = 4\).
    Ta được đường tròn \(({C_1}): {(x + 4)^2} + {(y + 4)^2} = 16\).
    Với \(a=-b\) thì \((2) \Leftrightarrow 3a - 5.( - a) - 8 = 0 \) \( \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = - 1,R = 1\).
    Ta được đường tròn \(({C_2}): {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1\).

    Bài 49 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm \(A(6 ; 0)\) và đi qua điểm \(B(9 ; 9)\).
    Giải
    Đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R\) có phương trình:
    \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).
    \((C)\) tiếp xúc với \(Ox\) tại \(A(6 ; 0)\) nên \(a=6, |b|=R\). Khi đó
    \((1) \Leftrightarrow {(x - 6)^2} + {(y - b)^2} = {b^2}\).
    \(B(9 ; 9) \in (C) \)
    \(\Rightarrow {(9 - 6)^2} + {(9 - b)^2} = {b^2}\)
    \( \Leftrightarrow b = 5 \Rightarrow R = 5\).
    Phương trình của \((C)\) là \({(x - 6)^2} + {(y - 5)^2} = 25\).

    Bài 50 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm \(A(-1 ; 0),\) \(B(1 ; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x - y - 1 = 0\).
    Giải
    Gọi \(I(a ;b)\) và \(R\) là tâm và bán kính của đường \((C)\) cần tìm. Phương trình của \((C)\) là \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).
    \((C)\) tiếp xúc với \(\Delta : x - y - 1 = 0\) khi và chỉ khi
    \(\begin{array}{l}d(I; \Delta ) = R \Leftrightarrow \dfrac{{|a - b - 1|}}{{\sqrt 2 }} = R\\A, B \in (C) \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{( - 1 - a)^2} + {b^2} = {R^2}\\{(1 - a)^2} + {(2 - b)^2} = {R^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(a + 1)^2} + {b^2} = \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} = \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)
    Từ (1) và (2) suy ra:
    \({(a + 1)^2} + {b^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} \)
    \( \Leftrightarrow a = 1 - b\).
    Thay \(a=1-b\) vào (2), ta có:
    \({b^2} + {(b - 2)^2} = 2{b^2} \)
    \( \Rightarrow b = 1 \Rightarrow a = 0, R = \sqrt 2 \).
    Phương trình của \((C): {x^2} + {(y - 1)^2} = 2\).

    Bài 51 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) tại \(A \in (C)\) trong mỗi trường hợp sau rồi sau đó vẽ \(\Delta \) và \((C)\) trên cùng hệ trục tọa độ
    a) \((C): {x^2} + {y^2} = 25 ;\) \(A(3 ; 4) ;\)
    b) \((C): {x^2} + {y^2} = 100 ;\) \(A( - 8 ; 6);\)
    c) \((C): {x^2} + {y^2} = 50 ;\) \(A(5 ; - 5);\)
    d) \({x^2} + {y^2} = 80 ;\) \(A( - 4 ; - 8) ;\)
    e) \({(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} = 169 ;\) \(A(8 ; - 16)\);
    f) \((C): {(x + 5)^2} + {(y - 9)^2} = 289 ;\) \(A( - 13 ; - 6).\)
    Giải
    02.jpg
    a) \((C)\) có tâm \(O(0 ; 0)\), bán kính \(R = 5\). Tiếp tuyến \(\Delta \) đi qua A, nhận \(\overrightarrow {OA} (3 ; 4)\) làm vec tơ pháp tuyến nên có phương trình
    \(3(x - 3) + 4(y - 4) = 0 \)
    \( \Leftrightarrow 3x + 4y - 25 = 0\).
    Đường tròn \((C)\) và tiếp tuyến \(\Delta \) được vẽ như hình 105. Các câu còn lại làm tương tự.

    Bài 52 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Cho đường tròn \((C): {(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) và điểm \({M_0}({x_{0 }} ; {y_0}) \in (C)\). Chứng minh rằng tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn \((C)\) tại \(M_0\) có phương trình:
    \(({x_0} - a)(x - a) + ({y_0} - b)(y - b) = {R^2}\)
    Giải
    (h.106).
    03.jpg
    \((C)\) có tâm \(I(a, b)\), bán kính \(R\). Khi đó
    \(\begin{array}{l}M(x ; y) \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {I{M_0}} .\overrightarrow {{M_0}M} = 0 \\\Leftrightarrow ({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0\\ \Leftrightarrow ({x_0} - a)(x - a + a - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - b + b - {y_0}) = 0\\\Leftrightarrow ({x_0} - a)(x - a) + ({y_0} - b)(y - b) - [{({x_0} - a)^2} + {({y_0} - b)^2}] = 0\\\Leftrightarrow ({x_0} - a)(x - a) + ({y_0} - b)(y - b) = {R^2}\end{array}\)

    Bài 53 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\) và đường thẳng \(d: 2x+y-1=0\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \((C)\), biết \(\Delta \) song song với \(d\). Tìm tọa độ tiếp điểm.
    Giải
    \((C)\) có tâm \(I(1 ; -3)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {3^2} - 5} = \sqrt 5 \).
    \(\Delta //d \Rightarrow \Delta \) có phương trình : \(2x + y + m = 0 (m \ne - 1)\).
    \(\Delta \) tiếp xúc với \((C)\)
    \( \Leftrightarrow d(I ; \Delta ) = R \\ \Leftrightarrow \dfrac{{|2 - 2 + m|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \\ \Leftrightarrow |m - 1| = 5 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 4.\end{array} \right.\)
    Có hai tiếp tuyến cần tìm là :
    \(\begin{array}{l}{\Delta _1}: 2x + y + 6 = 0;\\{\Delta _2}: 2x + y - 4 = 0.\end{array}\)
    Tọa độ tiếp điểm \(M\) của \({\Delta _1}\) với \((C)\) là nghiệm của hệ
    \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 6 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right. \)
    \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 4\end{array} \right.\). Vậy \(M=(-1 ; -4).\)
    Tọa độ tiếp điểm N của \({\Delta _2}\) với \((C)\) là nghiệm của hệ
    \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right. \)
    \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\end{array} \right.\). Vậy \(N=(3 ; -2).\)

    Bài 54 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và điểm \(A(1 ; 3).\)
    a) Chứng minh rằng \(A\) ở ngoài đường tròn;
    b) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) kẻ từ \(A;\)
    c) Gọi \(T_1, T_2\) là các tiếp điểm ở câu b), tính diện tích tam giác \(AT_1T_2\).
    Giải
    a) \((C)\) có tâm \(I(3 ; -1)\), bán kính \(R=2.\)
    \(IA = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{(3 + 1)}^2}}\)
    \( = 2\sqrt 5 > R\), suy ra \(A\) nằm ngoài \((C).\)
    b) \(A\) nằm ngoài \((C)\) nên từ \(A\) ta kẻ được hai tiếp tuyến đến \((C).\)
    Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có phương trình:
    \(\alpha (x - 1) + \beta (y - 3) = 0 \)
    \( \Leftrightarrow \alpha x + \beta y - \alpha - 3\beta = 0 \) \(({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\).
    \(\Delta \) tiếp xúc với (C)
    \( \Leftrightarrow d(I ; \Delta ) = R \)
    \( \Leftrightarrow \dfrac{{|3\alpha - \beta - \alpha - 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)
    \(|\alpha - 2\beta | = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \)
    \( \Leftrightarrow \beta (3\beta - 4\alpha ) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\beta = 0\\\beta = \dfrac{4}{3}\alpha .\end{array} \right.\)
    Với \(\beta = 0\), ta chọn \(\alpha = 1\), ta được tiếp tuyến thứ nhất : \(x-1=0.\)
    Với \(\beta = \dfrac{4}{3}\alpha \), ta chọn \(\alpha = 3, \beta = 4\), ta được tiếp tuyến thứ hai: \(3x+4y-15=0.\)
    c) Từ câu b), giải hệ để tìm ra tọa độ tiếp điểm \(T_1, T_2\) của các đường tiếp tuyến với \((C)\). Tính góc giữa hai đường tiếp tuyến . Từ đó tính diện tích của tam giác \(AT_1T_2\).

    Bài 55 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 4x + 4y - 17 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \((C)\) trong mỗi trường hợp sau:
    a) \(\Delta \) tiếp xúc với \((C)\) tại \(M(2 ; 1);\)
    b) \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d: 3x-4y+1=0;\)
    c) \(\Delta \) đi qua \(A(2 ; 6).\)
    Giải
    a) \(\Delta : 4x + 3y - 11 = 0\).
    b) Có hai tiếp tuyến là \({\Delta _1}: 4x + 3y + 39 = 0\) và \({\Delta _2}: 4x + 3y - 11 = 0\).
    c) Có hai tiếp tuyến là : \({\Delta _1}: y = \dfrac{{ - 32 + 5\sqrt {55} }}{9}(x - 2) + 6 , \) \( {\Delta _2}: y = \dfrac{{ - 32 - 5\sqrt {55} }}{9}(x - 2) + 6\).

    Bài 56 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Cho hai đường tròn
    \(({C_1}): {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 11 = 0 ; \)
    \( ({C_1}): {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\).
    a) Xét vị trí tương đối của \((C_1)\) và \((C_2)\).
    b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của \((C_1)\) và \((C_2).\)
    Giải
    a) \((C_1)\) có tâm \(I_1(2 ; 4)\), bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {4^2} - 11} = 3\).
    \((C_2)\) có tâm \(I_2(1 ; 1)\), bán kính \({R_2} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2} = 2\).
    \(1 = |{R_1} - {R_2}| < {I_1}{I_2}\)
    \(= \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(1 - 4)}^2}}\)
    \( = \sqrt {10} < {R_1} + {R_2} = 5\).
    Suy ra \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau.
    b) (h.107).
    04.jpg
    Theo câu a), \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau nên chúng có hai tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung \(\Delta \) có phương trình : \(\alpha x + \beta y + \gamma = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0)\).
    \(\Delta \) tiếp xúc với \((C_1)\) và \((C_2)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1} ; \Delta ) = {R_1}\\d({I_2} ; \Delta ) = {R_2}\end{array} \right.\)
    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{|2\alpha + 4\beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 3 (1)\\ \dfrac{{|\alpha + \beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 (2)\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2|2\alpha + 4\beta + \gamma | = 3|\alpha + \beta + \gamma |\\ \Leftrightarrow 4\alpha + 8\beta + 2\gamma = \pm (3\alpha + 3\beta + 3\gamma )\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\gamma = \alpha + 5\beta \\\gamma = - \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}.\end{array} \right.\end{array}\)
    Thay \(\gamma = \alpha + 5\beta \) vào (2) ta có:
    \( \dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)
    \( \Leftrightarrow {(\alpha + 3\beta )^2} = {a^2} + {\beta ^2} \)
    \( \Leftrightarrow 2\beta (4\beta + 3\alpha ) = 0\)
    \( \Leftrightarrow \beta = 0\) hoặc \(4\beta = - 3\alpha \).
    Với \(\beta = 0\)( do đó \(\alpha \ne 0\)), suy ra \(\gamma = \alpha \). Ta có tiếp tuyến chung thứ nhất
    \({\Delta _1}: x + 1 = 0\).
    Với \(4\beta = - 3\alpha \), chọn \(\alpha = 4, \beta = - 3\), ta được \(\gamma = - 11\). Ta có tiếp tuyến chung thứ hai
    \({\Delta _2}: 4x - 3y - 11 = 0\).
    Thay \(\gamma = - \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}\) vào (2), ta có
    \( \dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{5\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 \)
    \( \Leftrightarrow {(\alpha + 3\beta )^2} = 25({\alpha ^2} + {\beta ^2})\)
    \( \Leftrightarrow 12{\alpha ^2} - 3\alpha \beta + 8{\beta ^2} = 0\), phương trìn vô nghiệm.
    Vậy \((C_1)\) và \((C_2)\) có hai tiếp tuyến chung là
    \(\begin{array}{l}{\Delta _1}: x + 1 = 0;\\{\Delta _2}: 4x - 3y - 11 = 0.\end{array}\)

    Bài 57 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Cho \(n\) điểm \({A_1}({x_1} ; {y_1}), {A_2}({x_2} ; {y_2}), ..., {A_n}({x_n} ; {y_n})\) và \(n+1\) số : \(k_1, k_2,…,k_n,\) \(k\) thỏa mãn \({k_1} + {k_2} + ... + {k_n} \ne 0\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho
    \({k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = k\).
    Giải
    Đặt \(M=(x, y)\), ta có \({k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = k\)
    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow [{k_1}{(x - {x_1})^2} + {k_2}{(x - {x_2})^2}\\ + ... + {k_n}{(x - {x_n})^2}] + [{k_1}{(y - {y_1})^2} \\+ {k_2}{(y - {y_2})^2} + ... + {k_n}{(y - {y_n})^2}]\\ \Leftrightarrow ({k_1} + {k_2} + ... + {k_n})({x^2} + {y^2}) \\- 2({k_1}{x_1} + {k_2}{x_2} + ... + {k_n}{x_n})x\\ - 2({k_1}{y_1} + {k_2}{y_2} + ... + {k_n}{y_n})y\\ + {k_1}(x_1^2 + y_1^2) + {k_2}(x_2^2 + y_2^2) \\+ ... + {k_n}(x_n^2 + y_n^2) = k.\end{array}\)
    Đặt
    \(\begin{array}{l}a = \dfrac{{{k_1}{x_1} + {k_2}{x_2} + ... + {k_n}{x_n}}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}} ;\\ b = \dfrac{{{k_1}{y_1} + {k_2}{y_2} + ... + {k_n}{y_n}}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}} ;\\c = \dfrac{{{k_1}(x_1^2 + y_1^2) + {k_2}(x_2^2 + y_2^2) + ... + {k_n}(x_n^2 + y_n^2) - k}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}}.\end{array}\)
    Khi đó
    \((1) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0 \)
    \(\Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2} + {b^2} - c.\)
    - Nếu \({a^2} + {b^2} - c > 0\) thì tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I(a, b)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).
    - Nếu \({a^2} + {b^2} - c = 0\) thì tập hợp các điểm \(M\) là điểm \(I(a, b).\)
    - Nếu \({a^2} + {b^2} - c < 0\) thì tập các điểm \(M\) là tập rỗng.

    Bài 58 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao.
    Cho đường cong \((C_m)\) có phương trình:
    \({x^2} + {y^2} + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0\)
    a) Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.
    b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn \((C_m)\) khi m thay đổi.
    c) Chứng minh rằng khi \(m\) thay đổi, họ các đường tròn \((C_m)\) luôn đi qua hai điểm cố định.
    d) Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ \((C_m)\) không đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào.
    Giải
    a) Phương trình \((C_m)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\).
    Với \(a = \dfrac{{m + 2}}{2} , b = - \dfrac{{m + 4}}{2} , c = m + 1\).
    Ta có
    \({a^2} + {b^2} - c\)
    \(= {\left( { \dfrac{{m + 2}}{2}} \right)^2} + {\left( { \dfrac{{m + 4}}{2}} \right)^2} - (m + 1)\)
    \(= \dfrac{{{m^2} + 4m + 8}}{2} > 0\) với mọi \(m.\)
    Vậy \((C_m)\) là đường tròn với mọi giá trị của \(m.\)
    b) Tọa độ tâm \(I_m\) của đường tròn \((C_m)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{{m + 2}}{2}\\y = \dfrac{{m + 4}}{2}\end{array} \right. \)
    \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = - (m + 2)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2y = m + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
    Cộng từng vế của (1) và (2), ta được \(2x+2y=2\) hay \(x+y-1=0.\)
    Vậy tập hợp tâm của các đường tròn \((C_m)\) là đường thẳng có phương trình: \(x+y-1=0.\)
    c) Gọi \(M(x_0 ;y_0)\) là điểm cố định mà họ \((C_m)\) luôn đi qua. Khi đó ta có
    \(\begin{array}{l}x_0^2 + y_0^2 + (m + 2){x_0} - (m + 4){y_0} + m + 1 = 0 \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow ({x_0} - {y_0} + 1)m + x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} + 1 = 0 \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - {y_0} + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} + 1 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)
    Từ (1) suy ra \(x_0=y_0-1,\) thay vào (2), ta được:
    \({({y_0} - 1)^2} + y_0^2 + 2({y_0} - 1) - 4{y_0} + 1 = 0\)
    \(\Leftrightarrow 2y_0^2 - 4{y_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 0\\{y_0} = 2.\end{array} \right.\)
    Với \(y_0=0\) thì \(x_0=-1\). Ta được điểm \(M_1(-1 ; 0).\)
    Với \(y_0=2\) thì \(x_0=1.\) Ta được điểm \(M_1(1 ; 2).\)
    Vậy họ đường tròn \((C_m)\) luôn đi qua hai điểm cố định là \(M_1(-1 ; 0)\) và \(M_2(1 ; 2).\)
    d) (h.108).
    05.jpg
    \((C_m)\) không đi qua điểm \((x_1 ; y_1)\) với mọi \(m\) khi và chỉ khi phương trình (ẩn \(m\)) :
    \(({x_1} - {y_1} + 1)m + x_1^2 + y_1^2 + 2{x_1} - 4{y_1} + 1 = 0\) vô nghiệm
    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {y_1} + 1 = 0\\x_1^2 + y_1^2 + 2{x_1} - 4{y_1} + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1} + 1\\{x_1} \ne \pm 1.\end{array} \right.\end{array}\)
    Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ \((C_m)\) không bao giờ đi qua với mọi giá trị của \(m\) là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y=x+1\), bỏ đi hai điểm \(M_1(-1 ; 0)\) và \(M_2(1 ; 2).\)