Bài 2.1 trang 66 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có 6 ngăn hình quạt màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó ? Giải: Ta có: 6! = 720 cách bày bánh kẹo. Bài 2.2 trang 66 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được kê thành hàng ngang, sao cho: a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau ? b) Các bạn nam ngồi liền nhau ? Giải: Để xác định, các ghế được đánh số từ 1 đến 10 tính từ trái sang phải. a) Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ thì các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại. Có 5! cách xếp bạn nam, 5! cách xếp bạn nữ. Tất cả có \({\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp. Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn, các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại thì có \({\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp nam và nữ. Vậy có tất cả \(2.{\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ nhau. b) Các bạn nam được bố trí ngồi ở các ghế từ k đến k + 4, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong mỗi trường hợp có \({\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp nam và nữ. Vậy có \(6.{\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp mà các bạn nam ngồi cạnh nhau. Bài 2.3 trang 66 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, và 10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho: a) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau ? b) Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau ? Giải: a) Có 2. 9 = 18 cách xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau. 8 bạn kia được xếp vào 8 chỗ còn lại. Vậy có 8! cách xếp 8 bạn còn lại và do đó có 18! 8 cách xếp sao cho An, Bình ngồi cạnh nhau. b) Có 10! cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn. Từ đó có 10! - 18. 8! = 72. 8! cách xếp chỗ cho 10 bạn mà An và Bình không ngồi cạnh nhau. Bài 2.4 trang 66 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Thầy giáo có ba quyển sách Toán khác nhau cho ba bạn mượn (mỗi bạn một quyển). Sang tuần sau thầy giáo thu lại và tiếp tục cho ba bạn mượn ba quyển đó. Hỏi có bao nhiêu cách cho mượn sách mà không bạn nào phải mượn quyển đã đọc ? Giải: Để xác định, ba bạn được đánh số 1, 2, 3. Kí hiệu \({A_i}\) là tập hợp các cách cho mượn mà bạn thứ i được thầy giáo cho mượn lại cuốn đã đọc lần trước \(\left( {i = 1,2,3} \right)\) Kí hiệu X là tập hợp các cách cho mượn lại. Theo bài ra cần tính $n\left[ {X\backslash \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)} \right]$ Ta có: \(\eqalign{ & n\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right) \cr & = n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) + n\left( {{A_3}} \right) - n\left( {{A_1} \cup {A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cup {A_3}} \right) - n\left( {{A_2} \cup {A_3}} \right) + n\left( {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}} \right) \cr & = 2! + 2! + 2! - 1 - 1 - 1 + 1 = 4 \cr & n\left( X \right) = 3! = 6 \cr} \) Từ đó \(n\left[ {X\backslash \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)} \right] = 6 - 4 = 2\) . Bài 2.5 trang 66 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Bốn người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào bảy chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho: a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà ? b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông ? Giải: a) Xếp hai người đàn bà ngồi cạnh nhau.Có 2 cách. Sau đó xếp đứa trẻ ngồi vào giữa. Có 1 cách. Xếp 4 người đàn ông vào 4 ghế còn lại. Có 4! cách. Theo quy tắc nhân, có 2. 4! = 48 cách. b) Đầu tiên chọn 2 người đàn ông. Có \(C_4^2\) cách. Xếp hai người đó ngồi cạnh nhau. Có 2 cách. Sau đó xếp đứa trẻ vào giữa. Có 1 cách. Xếp 4 người còn lại vào 4 ghế còn lại. Có 4! cách. Vậy theo quy tắc nhân, có \(C_4^2.2.4! = 288\) cách. Bài 2.6 trang 66 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Ba quả cầu được đặt vào ba cái hộp khác nhau (không nhất thiết hộp nào cũng có quả cầu). Hỏi có bao nhiêu cách đặt,nếu: a) Các quả cầu giống hệt nhau (không phân biệt) ? b) Các quả cầu đôi một khác nhau ? Giải: a) Trong trường hợp này, số cách đặt bằng số các nghiệm \(\left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right)\) nguyên, không âm của phương trình \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 3.\). Từ đó, đáp số cần tìm là \(C_5^2 = 10.\) b) Quả thứ nhất có 3 cách đặt; Quả thứ hai có 3 cách đặt; Quả thứ ba có 3 cách đặt. Vậy số cách đặt là \({3^3} = 27.\) Bài 2.7 trang 66 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Có bao nhiêu cách chia 10 người thành : a) Hai nhóm, một nhóm 7 người, nhóm kia 3 người ? b) Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người ? Giải: a) Chọn 7 người từ 10 người để lập một nhóm, ba người còn lại vào nhóm khác. Vậy số cách chia là \(C_{10}^7\) b) Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người, sẽ có số cách chia là \(C_{10}^5.C_5^3\) Bài 2.8 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Một giá sách bốn tầng xếp 40 quyển sách khác nhau, mỗi tầng xếp 10 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các quyển sách sao cho từ mỗi tầng có: a) Hai quyển sách ? b) Tám quyển sách ? Giải: a) Có \(C_{10}^2\) cách chọn hai quyển từ tầng thứ k, k = 1, 2, 3, 4 Vậy có tất cả \({\left( {C_{10}^2} \right)^4}\) cách chọn. b) Tương tự, có \({\left( {C_{10}^8} \right)^4} = {\left( {C_{10}^2} \right)^4}\) cách chọn. Bài 2.9 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ? Giải: Đầu tiên coi các quả là khác nhau. Do vậy có 9! cách chia. Nhưng các quả cùng loại (táo, cam, chuối) là giống nhau nên nếu các cháu có cùng loại quả đổi cho nhau thì vẫn chỉ là một cách chia. Vì vậy, số cách chia là: $${{9!} \over {4!3!2!}} = 1260$$ Có thể giải theo các cách như sau: Chọn 4 trong 9 cháu để phát táo. Có \(C_9^4\) cách. Chọn 3 trong 5 cháu còn lại để phát cam. Có \(C_5^3\) cách. Chuối sẽ phát cho 2 cháu còn lại. Vậy có \(C_9^4.C_5^3 = 1260\) cách. Bài 2.10 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ ? Giải: Kí hiệu X là tập hợp các đoàn đại biểu.A, B lần lượt là tập các đoàn đại biểu gồm toàn nam và toàn nữ. Theo bài ra ta cần tìm: \(n\left[ {X\backslash \left( {A \cup B} \right)} \right] = n\left( X \right) - n\left( {A \cup B} \right)\) \(= n\left( X \right) - n\left( A \right) - n\left( B \right)\) Ta có \(n\left( X \right) = C_9^4,{\rm{ }}n\left( A \right) = C_5^4,{\rm{ }}n\left( B \right) = C_4^4\) Vậy \(n\left[ {X\backslash \left( {A \cup B} \right)} \right] = C_9^4 - C_5^4 - C_4^4 = 120\) Bài 2.11 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Từ tập hợp gồm 10 điểm nằm trên một đường tròn : a) Vẽ được bao nhiêu tam giác ? b) Vẽ được bao nhiêu đa giác ? Giải: a) Cứ ba điểm vẽ được 1 tam giác.Vì vậy có thể vẽ được \(C_{10}^3 = 120\) tam giác. b) Số đa giác vẽ được là tổng cộng của số tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, thập giác. Do đó vẽ được \(C_{10}^3 + C_{10}^4 + C_{10}^5 + C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{10}^8 + C_{10}^9 + C_{10}^{10} = 968\) đa giác. Bài 2.12 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ? Giải: Số đoạn nối hai đỉnh của đa giác đã cho là \(C_{20}^2.\) Số cạnh của đa giác là 20. Vậy số đường chéo là \(C_{20}^2 - 20 = 170.\) Bài 2.13 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ? Giải: Số tập con của tập hợp gồm 4 điểm là \(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 16.\) Bài 2.14 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu a) Ghế sắp thành hàng ngang ? b) Ghế sắp quanh một bàn tròn ? Giải: a) Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau. Có 6! cách. Giữa các bạn nam có 5 khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ. Bây giờ chọn 4 trong 7 vị trí để đặt ghế. Có \(C_7^4\) cách. Xếp nữ vào 4 ghế đó. Có 4! cách. Vậy có \(6!.C_7^4.4! = 120.7!\) cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau. b) Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi. Có 5! cách. Giữa hai nam có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó. Có \(A_6^4\) cách. Theo quy tắc nhân, có \(5!.A_6^4 = 43200\) cách. Bài 2.15 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng với \(1 \le k \le n,\) \(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\) Giải: \(\eqalign{ & C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr & C_n^{k + 1} = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} \cr & ... \cr & C_{k + 2}^{k + 1} = C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr} \) Từ đó \(\eqalign{ & C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr & C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k. \cr} \) Bài 2.16 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Sử dụng đồng nhất thức \({k^2} = C_k^1 + 2C_k^2\) để chứng minh rằng \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}}\) Giải: Ta có: \(A = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2.} \) Kết hợp với \(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\), ta được \(A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + {{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)} \over 3}\) \(= {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\) Bài 2.17 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. a) Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức $$C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5$$ b) Chứng minh công thức Niu-tơn $$C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}.{\rm{ }}\left( {n \ge r \ge k \ge 0} \right)$$ c) Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng $$S = 0! + 2! + 4! + 6! + ... + 100!$$ Giải: a) Cách thứ nhất: Chọn 9 bạn nam trong 50 bạnđể làm trực nhật. Có \(C_{50}^9\) cách. Khi đã chọnđược 9 bạn rồi, chọn 4 trong 9 bạnđó để quét sân. Có \(C_9^4\) cách. Từ đó, theo quy tắc nhân, có \(C_{50}^9.C_9^4\) cách phân công. Cách thứ hai: Chọn 4 trong 50 bạn để quét sân, sau đó chọn 5 trong 46 bạn còn lại để xén cây. Vậy có \(C_{50}^4.C_{46}^5\) cách phân công. Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh. b) Lập luận tương tự. c) Ta có: \)0! = 1;{\rm{ }}2! = 2;{\rm{ }}4! = 1.2.3.4 = 24\) Các số hạng \(6!{\rm{ }};{\rm{ }}8!{\rm{ }};{\rm{ }}...{\rm{ ; 100!}}\) đều có tận cùnglà chữ số 0. Do đó chữ số ở hàng đơn vị của S là 1 + 2 + 4 = 7 Bài 2.18 trang 68 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố thì với r = 1,2,...,n - 1, ta có \(C_n^r\) chia hết cho n. Giải: Có thể chứng minh dễ dàng đẳng thức sau \(rC_n^r = nC_{n - 1}^{r - 1}\) \({\rm{}}\left( {r = 1,2,3,...,n - 1} \right)\) Vì n là số nguyên tố và r < n, nên n là ước của \(C_n^r\) Bài 2.19 trang 68 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Trong một đa giác đều bảy cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đường chéo, trừ các đỉnh? Giải: Mỗi giao điểmcủa hai đường chéoứng với một và chỉ một tập hợp gồm 4 điểmtừ tập hợp 7 đỉnh của đa giác. Vậy có \(C_7^4 = 35\) giao điểm. Bài 2.20 trang 68 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm số các số nguyên dương gồm năm chữ số sao cho mỗi chữ số của số đó lớn hơn chữ số ở bên phải nó. Giải: Có \(C_{10}^5\) cách chọn 5 chữ số khác nhau để lập số cần thiết. Nhưng khi đã có 5 chữ số khác nhau rồi, chỉ có một cách xếp 5 chữ số đó để tạo nên số cần thiết. Vậy có \(C_{10}^5 = 252\) số.
