Bài 3.1 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm số hạng thứ năm trong khai triển \({\left( {x + {2 \over x}} \right)^{10}}\) mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần. Giải: Số hạng thứ trong khai triển là \({t_{k + 1}} = C_{10}^k{x^{10 - k}}{\left( {{2 \over x}} \right)^k}\) Vậy \({t_5} = C_{10}^4{x^{10 - 4}}.{\left( {{2 \over x}} \right)^4} = 210.{x^6} \times {{16} \over {{x^4}}} = 3360{x^2}\) Đáp số: \({t_5} = 3360{x^2}\) Bài 3.2 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Viết khai triển của \({\left( {1 + x} \right)^6}\) a) Dùng ba số hạngđầuđể tính gầnđúng b) Dùng máy tínhđể kiểm tra kết quả trên. Giải: \({\left( {1 + x} \right)^6} = 1 + 6x + 15{x^2} + 20{x^3} + 15{x^4} + 6{x^5} + {x^6}\) a) \(\eqalign{ & 1,{01^6} = {\left( {1 + 0,01} \right)^6} \cr & \approx 1 + 6 \times 0,01 + 15 \times {\left( {0,01} \right)^2} \cr & = 1,0615. \cr} \) b) Dùng máy tính ta nhậnđược \(1,{01^6} \approx 1,061520151\) Bài 3.3 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Biết hệ số của x2 trong khai triển của \({\left( {1 + 3x} \right)^n}\) là 90.Hãy tìm n. Giải: Số hạng thứ k + 1 của khai triển là \({t_{k + 1}} = C_n^k{\left( {3x} \right)^k}\) Vậy số hạng chứa x2 là \({t_3} = C_n^29.{x^2}\) Theo bài ra ta có: \(9.C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^2 = 10 \Leftrightarrow n = 5\) Bài 3.4 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Trong khai triển ${\left( {1 + ax} \right)^n}$ ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2. Hãy tìm a và n. Giải: Ta có: \({\left( {1 + ax} \right)^n} = 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...\) Theo bài ra: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ C_n^1a = 24 \hfill \cr C_n^2{a^2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ na = 24 \hfill \cr {{n\left( {n - 1} \right){a^2}} \over 2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ na = 24 \hfill \cr \left( {n - 1} \right)a = 21 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 3 \hfill \cr n = 8 \hfill \cr} \right.. \cr} \) Bài 3.5 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Trong khai triển của \({\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x - b} \right)^6}\), hệ số của x7 là -9 và không có số hạng chứa x8. Tìm a và b. Giải: Số hạng chứa x7 là \(\left( {C_3^0.C_6^2{{\left( { - b} \right)}^2} + C_3^1a.C_6^1\left( { - b} \right) + C_3^2{a^2}C_6^0} \right){x^7}\) Số hạng chứa x8 là \(\left( {C_3^0.C_6^1\left( { - b} \right) + C_3^1a.C_6^0} \right){x^8}\) Theo bài ra ta có \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 15{b^2} - 18ab + 3{a^2} = - 9 \hfill \cr - 6b + 3a = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 2b \hfill \cr {b^2} = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ a = 2 \hfill \cr b = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ a = - 2 \hfill \cr b = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.. \cr}\) Bài 3.6 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển \({\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97. Giải: Ta có: \({\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - {2 \over x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - {2 \over x}} \right)^2} + ...\) Theo giả thiết, ta có: \(\eqalign{ & C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97 \cr & \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0 \cr & \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ n = 8 \hfill \cr n = - 6{\rm{ }}\left( {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr}\) Vậy n = 8. Từ đó ta có: \(\eqalign{ & {\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^8} \cr & = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - {2 \over x}} \right)}^k}} \cr & = \sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \cr} \) Như vậy, ta phải có \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4\). Do đó hệ số của số hạng chứa x4 là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).
