Bài 1 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng a) \({n^5} - n\) chia hết cho 5 với mọi \(n \in N*\) ; b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ; c) \({n^3} - n\) chia hết cho 6 với mọi \(n \in N*\) ; Giải: a) HD: Xem ví dụ 1, . b) HD: Đặt \({A_n} = {n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3}\) dễ thấy \({A_1} \vdots 9\) Giả sử đã có \({A_1} \vdots 9\) với \(k \ge 1\). Ta phải chứng minh \({A_{k + 1}} \vdots 9\) Tính \({A_{k + 1}} = {A_k} + 9{k^2} + 27k + 27\) c) Làm tương tự như 1.a). Bài 2 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N* a) \({A_n} = {1 \over {1.2.3}} + {1 \over {2.3.4}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = {{n\left( {n + 3} \right)} \over {4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) ; b) \({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 6}\) ; c) \({S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = {{\sin {{nx} \over 2}.\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\) Giải: a) HD: Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn \({A_{k + 1}} = {A_k} + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\) b) HD: Kiểm tra với n = 1 Giả sử đã cho \({B_k} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\) Ta cần chứng minh \({B_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)} \over 2}\) bằng cách tính \({B_{k + 1}} = {B_k} + {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\) c) HD: Kiểm tra với n = 1 Giả sử đã có \({S_k} = {{\sin {{kx} \over 2}.\sin {{\left( {k + 1} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\) Viết \({S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left( {k + 1} \right)x\) sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có \({S_{k + 1}} = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}.\sin {{\left( {k + 2} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\left( {đpcm} \right)\) Bài 3 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) \({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\) ; b) \({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8\) Giải: a) Với n = 4 thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24\) Giả sử đã có \({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4\) (1) Nhân hai vế của (1) với 3, ta có \(\eqalign{ & {3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right) \cr & {\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right] + 2{k^2} + 2k - 3 \cr} \) Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1 b) Giải tương tự câu a). Bài 4 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) \) : \({\rm{ }}\left\{ \matrix{ {u_1} = 1,{u_2} = 2 \hfill \cr {u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm\,\,{ với\,\, n}} \ge {\rm{2}} \hfill \cr} \right.\) a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ; b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) với \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng ; c) Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right) \) theo n. Giải: a) Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11 b) Từ công thức xác định dãy số ta có \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1\) (1) Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) nên từ (1), ta có \({v_n} = {v_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2\) (2) Vậy \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1\) công sai d = 1 c) Để tính \(\left( {{u_n}} \right) \) ta viết \(\eqalign{ & {v_1} = 1 \cr & {v_2} = {u_3} - {u_2} \cr & {v_3} = {u_4} - {u_3} \cr & ... \cr & {v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} \cr & {v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}} \cr}\) Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được \({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}\) suy ra \({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}\) Bài 5 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho dãy số \(\eqalign{ & \left( {{u_n}} \right): \cr & {\rm{ }}\left\{ \matrix{ {u_1} = {1 \over 3} \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{\left( {n + 1} \right){u_n}} \over {3n}}{\rm{voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {{{u_n}} \over n}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân. c) Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right)\) theo n. Giải: a) Năm số hạng đầu là \({1 \over 3},{2 \over 9},{1 \over 9},{4 \over {81}},{5 \over {243}}\) b) Lập tỉ số \({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}}.{n \over {{u_n}}} = {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}.{n \over {n + 1}}\) (1) Theo công thứcđịnh nghĩa ta có \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {3n}}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \({{{v_{n + 1}}} \over {{v_n}}} = {1 \over 3}\) hay \({v_{n + 1}} = {1 \over 3}{v_n}\) Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = {1 \over 3},q = {1 \over 3}\) c) Để tính \(\left( {{u_n}} \right)\), ta viết tích của n - 1 tỉ số bằng \(\,{1 \over 3}\) \({{{v_n}} \over {{v_{n - 1}}}}.{{{v_{n - 1}}} \over {{v_{n - 2}}}}...{{{v_3}} \over {{v_2}}}.{{{v_2}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}}\) Hay \({{{v_n}} \over {{v_1}}} = {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}}\), suy ra \({v_n} = {1 \over 3}{\left( {{1 \over 3}} \right)^{n - 1}} = {1 \over {{3^n}}}\) Vậy \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\) Bài 6 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ? Giải: HD: Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là \({u_2}\), ta có \({u_9} = {u_2} + 7d,{u_{44}} = {u_2} + 42d\) Sử dụng tính chất của cấp số nhân \({u_2}.{u_{44}} = u_9^2\) và tổng các số là 217, ta có một hệ phương trìnhđể tìm \({u_2}\) và d. ĐS: n = 20 Bài 7 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy. Giải: ĐS: Cấp số cộng: 5, 25, 45 Cấp số nhân: 5, 15, 45 Bài 8 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau. Giải: HD: Gọi 3 số đó là $a - d, a, a + d rồi áp dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân. Bài 9 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi \({S_c}\) là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và \({S_l}\) là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng : \(q = {{{S_c}} \over {{S_l}}}\) Giải: Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là \({u_1}\) và công bội là q. Ta có \(\eqalign{ & {S_1} = {u_1} + {u_1}{q^2} + {u_1}{q^4} + ...\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr & {S_c} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + {u_1}{q^5} + ...\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \) Nhân hai vế của (1) với q ta có \(q{S_1} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + {u_1}{q^5} + ... = {S_c}\) Vậy \(q = {{{S_c}} \over {{S_1}}}\) Bài 10 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không ? Giải: Gọi số đo ba cạnh của tam giác vuông là x - d, x, x + d Theo giả thiết ta có \({\left( {x + d} \right)^2} = {\left( {x - d} \right)^2} + {x^2}\) (1) Từ (1) tìm được x = 0, x = 4d Như vậy có thể có tam giác vuông thoả mãn đầu bài, các cạnh của nó là 3d, 4d, 5d. Đặc biệt, nếu d = 1 thì tam giác vuông có các cạnh là 3, 4, 5 (tam giác Ai Cập). Bài 11 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tính tổng : a) \({1 \over 2} + {3 \over {{2^2}}} + {5 \over {{2^3}}} + ... + {{2n - 1} \over {{2^n}}}\) ; b) \({1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}.{n^2}\) Giải: a) HD: Đặt tổng là \({S_n}\) và tính \(2{S_n}\) ĐS : \({S_n} = 3 - {{2n + 3} \over {{2^n}}}\) b) HD : \({n^2} - {\left( {n + 1} \right)^2} = - 2n - 1\) Ta có \({1^2} - {2^2} = - 3{\rm{ }};{\rm{ }}{3^2} - {4^2} = - 7{\rm{ }};...\) Ta có \({u_1} = - 3,d = - 4\) và tính \({S_n}\) trong từng trường hợp n chẵn, lẻ. Bài 12 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tính tổng : a) \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) b) \({S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}\) Giải: a) HD: Với a = 1 ta có \({S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\) Giả sử a ≠ 1. Nhân hai vế của hệ thức \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) với a và tính hiệu \({S_n} - a{S_n} = \left( {1 - a} \right){S_n}\) Từ đó, ta tính được \({S_n} = {{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\) b) Làm tương tự như câu a). Bài 13 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Tìm m để phương trình \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng. Giải: Đặt \({x^4} = y\) ta có phương trình \({y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\) (1) Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương \({y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)\) Bốn nghiệm đó là \( - \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} \). Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \(\sqrt {{y_2}} - \sqrt {{y_1}} = 2\sqrt {{y_1}} \) hay \({y_2} = 9{y_1}\) kết hợp vớiđịnh lí Vi-ét tìm được m = 5 và \(m = - {{25} \over {19}}\) Bài 14 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, hãy chọn dãy số giảm (A) \({u_n} = \sin n\) ; (B) \({u_n} = {{{n^2} + 1} \over n}\) ; (C) \({u_n} = \sqrt n - \sqrt {n - 1} \) ; (D) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\) Đáp án: C Bài 15 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn : (A) \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \) ; (B) \({u_n} = n + {1 \over n}\) ; (C) \({u_n} = {2^n} + 1\) ; (D) \({u_n} = {n \over {n + 1}}\) Đáp án D Bài 16 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 3,{u_2} = - 6\). Hãy chọn kết quả đúng : (A) \({u_5} = - 24\) ; (B) \({u_5} = 48\) ; (C) \({u_5} = - 48\) ; (D) \({u_5} = 24\) Đáp án: B Bài 17 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cô ? (A) \(\left\{ \matrix{{u_1} = 1 \hfill \cr {u_{n + 1}} = u_n^3 - 1 \hfill \cr} \right.\) ; (B) \(\left\{ \matrix{{u_1} = 2 \hfill \cr{u_{n + 1}} = {u_n} + n \hfill \cr} \right.\) ; (C) \(\left\{ \matrix{{u_1} = - 1 \hfill \cr{u_{n + 1}} - {u_n} = 2 \hfill \cr} \right.\) ; (D) \(\left\{ \matrix{{u_1} = 3 \hfill \cr {u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1 \hfill \cr} \right.\) Đáp án: C Bài 18 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho cấp số cộng 6, x, - 2, y Kết quả nào sau đây là đúng ? (A) x = 2,y = 5 ; (B) x = 4,y = 6 ; (C) x = 2,y = - 6 ; (D) x = 4,y = - 6 Đáp án: C Bài 19 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho cấp số cộng - 2, x, - 18, y Hãy chọn kết quả đúng : (A) x = 6,y = - 54 ; (B) x = - 10,y = - 26 ; (C) x = - 6,y = - 54 ; (D) x = - 16,y = 54. Đáp án: C Bài 20 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {3^n}\) Hãy chọn hệ thức đúng: (A) \({{{u_1} + {u_9}} \over 2} = {u_5}\) ; (B) \({{{u_2}{u_4}} \over 2} = {u_3}\) ; (C) \(1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{100}} = {{{u_{100}} - 1} \over 2}\) ; (D) \({u_1}{u_2}...{u_{100}} = {u_{5050}}\) Đáp án: D
