Câu 1.1 trang 6 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Hàm số \(y = \tan \left( {{\pi \over 2}\cos x} \right)\) chỉ không xác định tại: (A) \(x = 0\) (B) \(x = 0\) và \(x = \pi \) (C) \(x = k{\pi \over 2}\left( {k \in } Z\right)\) (D) \(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) b) Hàm số \(y = \sqrt {\cos x - 1} + 1-{\cos ^2}x\) chỉ xác định khi: (A) \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\) (B) \(x = 0\) (C) \(x \ne k\pi ,k \in Z\) (D) \(x = k2\pi ,k \in Z\) c) Tập xác định của hàm số \(y = {1 \over {\sin x}} - {1 \over {\cos x}}\) là (A) \(R\backslash \left\{ {k\pi |k \in Z} \right\}\) (B) \(R\backslash \left\{ {k2\pi |k \in Z} \right\}\) (C) \(R\backslash \left\{ { - {\pi \over 2} + k\pi |k \in Z} \right\}\) (D) \(R\backslash \left\{ {k{\pi \over 2} + |k \in Z} \right\}\) Giải a) Chọn D b) chọn D c) Chọn D Câu 1.3 trang 6 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giả sử trên khoảng J, hàm số \(y = \sin x\) và hàm số \(y = \cos x\) có dấu không đổi. Chứng minh: a) Nếu trên J, hai hàm số đó cùng dấu thì hàm số này đồng biến khi và chỉ khi hàm số kia nghịch biến. b) Nếu trên J, hai hàm số đó khác dấu thì hàm số đó hoặc cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến. Giải Kí hiệu một trong hai hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) là \(y = f(x)\) và hàm số kia là \(y = g(x)\). Theo giả thiết thì \(f\) và \(g\) giữ dấu không đổi trên J. a) Do \({g^2} = 1 - {f^2}\), nên nếu \({f^2}\) đồng biến ( nghịch biến ) trên J thì \({g^2}\) nghịch biến; (đồng biến) trên J. \( - \) Nếu \(f\) đồng biến trên J thì \({f^2}\) đồng biến từ đó \({g^2}\) nghịch biến; Vậy khi đó \(g > 0\) thì \(g\) nghịch biến, nếu \(g < 0\) thì \(g\) đồng biến. \( - \)Nếu \(f\) nghịch biến trên J thì \({f^2}\) nghịch biến từ đó \({g^2}\) đồng biến; Vậy khi đó \(g > 0\) thì \(g\) đồng biến, nếu \(g < 0\) thì \(g\) nghịch biến. Xét tương tự trong trường hợp \(f < 0\) trên J, ta thấy các khẳng định a), của bài toán đúng. b) Chứng minh tương tự câu a) Câu 1.4 trang 7 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Các hàm số \(y = - \sin x,y = \cos x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) b) Hàm số \(y = 2\sin x\left( {x + {\pi \over 3}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - {{4\pi } \over 3};{{2\pi } \over 3}} \right]\) c) Hàm số \(y = - \cos x\left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - {{2\pi } \over 3};{\pi \over 3}} \right]\) Giải a) b) c) Câu 1.5 trang 7 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng số T thỏa mãn \(\sin \left( {x + T} \right) = \sin x\) với mọi \(x \in R\) phải có dạng \(T = k2\pi ,\) k là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra số T dương nhỏ nhất thỏa mãn \(\sin \left( {x + T} \right) = \sin x\) với mọi \(x \in R\) là \(2\pi \) (tức là hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \)). Giải Nếu \(\sin (x + T) = \sin x\) với mọi \(x\) , thì khi \(x = {\pi \over 2}\) ta được \(\sin \left( {{\pi \over 2} + T} \right) = 1\) . Số \(U\) mà \(\sin U = 1\) phải có dạng \(U = {\pi \over 2} + k2\pi ,k\) là số nguyên nào đó , nên \({\pi \over 2} + T = {\pi \over 2}k2\pi \) Vậy \(T = k2\pi \) Ngược lại, dễ thấy rằng với mọi số nguyên \(k\) thì \(\sin (x + k2\pi ) = \sin x\) với mọi \(x\). Câu 1.6 trang 7 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Từ tính chất của hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), hãy chứng minh rằng: a) Hàm số \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\) b) Hàm số \(y = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega \ne 0\)) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\) Giải a) Giả sử \(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\) .Đặt \(\omega x + \alpha = u\) , ta được \(\sin \left( {u + \omega T} \right) = \sin u\), với mọi số thực \(u\) . Vậy suy ra \(\omega T = k2\pi \) , tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) nguyên. Ngược lại dễ thấy rằng \(A\sin \left( {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha + k2\pi } \right)\) \(= A\sin (\omega x + \alpha )\) Vậy số \(T = {{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\) là số dương bé nhất thỏa mãn \(A\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x \in R\). ( tức là \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right)\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\) ). b) T là số mà \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\), với mọi \(x \in R\) thì \(\sin \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha + {\pi \over 2}} \right) = \sin \left( {\omega x + \alpha + {\pi \over 2}} \right)\) Đặt \(\omega x + \alpha + {\pi \over 2} = u\), ta được \(\sin (u + \omega T) = \sin u\) với mọi \(u\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \) tức là \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên. (Cách khác, \(A\cos \left( {\omega \left( {x + T} \right) + \alpha } \right) = A\cos \left( {\omega x + \alpha } \right)\) với mọi \(x\), thì khi lấy \(x = - {\alpha \over \omega }\) , ta có \(\cos \omega T = \cos 0 = 1\) , từ đó \(\omega T = k2\pi \), tức \(T = k{{2\pi } \over \omega },k\) là số nguyên). Từ đó dễ thấy rằng \(y = A\cos (\omega x + \alpha )\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({{2\pi } \over {\left| \omega \right|}}\). Câu 1.7 trang 7 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng các hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số: a) \(y = {\sin ^2}2x + 1\) b) \(y = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\) c) \(y = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x\) Giải a) \(y = {\sin ^2}2x + 1 = {{1 - \cos 4x} \over 2} + 1 = {3 \over 2} - {1 \over 2}\cos 4x\). Hàm số này là một hàm số tuần hoàn với chu kì \({\pi \over 2}\) , Đó là một hàm số chẵn. b) \(y = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x\), đó là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \) . Nó là một hàm số chẵn. c) \(y = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\), với mọi \(x\) nên \(y\) là một hàm hằng, do đó với số T ta có \({\cos ^2}(x + T) + {\sin ^2}(x + T) = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x\) với mọi \(x\) , đó là một hàm số tuần hoàn nhưng không có chu kì( trong các số T dương không có số T nhỏ nhất). Hàm hằng là một hàm số chẵn. Câu 1.8 trang 8 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng số \(\pi \) là số dương T nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện: Với mọi \(x \in {D_1}\backslash \left\{ {{\pi \over 2} + k\pi |k \in Z} \right\}\) ta có \(x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\) và \(\tan \left( {x + \pi } \right) = \tan x\) (tức là hàm số \(y= \tan x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \)) Giải T là số thỏa mãn \(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\) và \(\tan (x + T) = \tan x\). Với \(x = 0\) ta được \(\tan T = \tan 0 = 0\) , suy ra \(T = k\pi ,k\) là số nguyên . Rõ ràng với mọi số nguyên \(k\) , số \(T = k\pi \) thỏa mãn \(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\) và \(\tan (x + T) = \tan x\). Trong các số \(k\pi ,k \in Z\) số dương nhỏ nhất là \(\pi \) . Vậy hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \). Câu 1.9 trang 8 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Từ tính chất hàm số \(y = \tan x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \), hãy chứng minh rằng: a) Hàm số \(y = A\tan \omega x + B\) (\(A,B,\omega \) là những hằng số, \(A\omega \ne 0\)) là hàm số tuần hoàn với chu kì \({\pi \over {\left| \omega \right|}}\) b) Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \) Giải a) Hàm số \(y = A\tan \omega x + B\) có tập xác định \(D = R\backslash \left\{ {{\pi \over {2\omega }} + k{\pi \over \omega }|k \in Z} \right\}\) . Cần tìm T để \(\forall x \in D,x + T\) và \(x - T\) Đều thuộc D và \(A\tan \omega \left( {x + T} \right) + B = A\tan \omega x + B\), tức là \(\tan (\omega x + \omega T) = \tan \omega x\). Rõ ràng \(x \in D \Leftrightarrow \omega x = u \in {D_1}\) nên \(\tan (u + \omega T) = \tan u\) với mọi \(u \in D_1\) khi và chỉ khi \(\omega T = k\pi ,k \in Z\) . Từ đó \(T = k{\pi \over \omega }\) và số T dương nhỏ nhất cần tìm \({\pi \over {\left| \omega \right|}}\). b) Với mọi \(x \in {D_2},\cot x = - \tan \left( {x + {\pi \over 2}} \right)\), nên \(\cot (x + T) = \cot x,\forall x \in {D_2}\) tương đương với \(\tan (u + T) = \tan u,\forall u = x + {\pi \over 2} \in {D_1}\) .Từ đó \(T = k\pi ,k \in Z\) .Vậy số T dương nhỏ nhất cần tìm là \(\pi \). Câu 1.10 trang 8 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm số tuần hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ mỗi hàm số: a) \(y = {1 \over {\sin x}}\) b) \(y = {1 \over {\cos x}}\) c)\(y = {\tan ^2}x\) Giải a) \(y = {1 \over {\sin x}}\) là hàm số xác định trên \({D_2}\). Cần tìm số T thỏa mãn: \(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x - T \in {D_2},{1 \over {\sin (x + T)}} = {1 \over {\sin x}}\) . Xét \(x = {\pi \over 2} \in {D_2}\), ta được \(\sin \left( {{\pi \over 2} + T} \right) = 1,\) từ đó \({\pi \over 2} + T = {\pi \over 2} + k2\pi ,\) tức \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k2\pi \) thỏa mãn: \(\forall x \in {D_2},x + T \in {D_2},x - T \in {D_2}\) và \({1 \over {\sin \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\sin x}}\). Vậy hàm số \(y = {1 \over {\sin x}}\) là một hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Đó là một hàm số lẻ. b) \(y = {1 \over {\cos x}}\) là hàm số xác định trên \({D_1}\). Cần tìm số T thỏa mãn: \(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\), \({1 \over {\cos \left( {x + T} \right)}} = {1 \over {\cos x}}\). Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \(\cos T = 1\), từ đó \(T = k2\pi ,\) k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k2\pi \) thỏa mãn các điều kiện đề ra. Vậy hàm số \(y = {1 \over {\cos x}}\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \). Đó là một hàm số chẵn. c) \(y = {\tan ^2}x\), cần tìm số T thỏa mãn: \(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\), \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}x.\) Xét \(x = 0 \in {D_1},\) ta được \({\tan ^2}T = 0,\) từ đó \(\tan T = 0,\) suy ra \(\tan T = k\pi \), k là số nguyên. Rõ ràng với mọi số nguyên k, số \(T = k\pi \) thỏa mãn: \(\forall x \in {D_1},x + T \in {D_1},x - T \in {D_1}\) và \({\tan ^2}\left( {x + T} \right) = {\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) = {\tan ^2}x.\) Vậy hàm số \({\tan ^2}x\) là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi \). Câu 1.11 trang 8 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét hàm số \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\omega ,\alpha \) là những hằng số, \(A\omega \ne 0\)). Chứng minh: a) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số theo thứ tự là \(\left| A \right| + B; - \left| A \right| + B\) b) Khi \(A > 0\) hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = {1 \over \omega }\left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) + k{{2\pi } \over \omega },k \in Z\) Giải a) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin u\) là 1 và -1, nên dễ thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) là \(\left| A \right| + B\) và \( - \left| A \right| + B\) b) Khi \(A > 0,\) hàm số \(y = A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) + B\) đạt giá trị lớn nhất tại x mà \(\omega x + \alpha = {\pi \over 2} + k2\pi ,\) tức là \(x = {1 \over \omega }\left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right) + k{{2\pi } \over \omega },k \in Z\). Câu 1.12 trang 8 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho biết rằng mỗi đồ thị sau (h.1.1, h.1.2) là đồ thị của hàm số có dạng \(y = A\sin \omega x\) (\(A,\omega \) là những hằng số). Hãy xác định \(A,\omega \) cho mỗi hàm số: Giải a) Hàm số \(y = b\sin {\pi \over a}x\) nên \(A = b,\omega = {\pi \over a}\) b) Hàm số \(y = - b\sin {\pi \over {2a}}x\) nên \(A = - b,\omega = {\pi \over {2a}}\) Câu 1.13 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho biết đồ thị (h.1.3) sau là đồ thị hàm số \(y = A\sin \left( {x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\alpha \) là những hằng số). Hãy xác định \(A,B,\alpha \). Giải Hàm số \(y = A\sin \left( {x + \alpha } \right) + B\) đạt giá trị lớn nhất là 3 tại \(x = {\pi \over 6}\) (coi \(A > 0\)) nên: \(\left\{ \matrix{ \sin \left( {{\pi \over 6} + \alpha } \right) = 1 \hfill \cr A + B = 3 \hfill \cr} \right.\) Hàm số \(y = A\sin \left( {x + \alpha } \right) + B\) đạt giá trị nhỏ nhất là -1 tại \(x = - {{5\pi } \over 6}\) nên: \(\left\{ \matrix{ \sin \left( { - {{5\pi } \over 6} + \alpha } \right) = - 1 \hfill \cr - A + B = - 1 \hfill \cr} \right.\) Từ đó \(B = 1,A = 2\) và chú ý rằng \(\sin \left( { - {{5\pi } \over 6} + \alpha } \right) = \sin \left( {{\pi \over 6} + \alpha - \pi } \right) = \sin \left( {{\pi \over 6} + \alpha } \right)\) Nên chỉ cần chọn \(\alpha \) sao cho \(\left( {{\pi \over 6} + \alpha } \right) = 1,\) chẳng hạn \(\alpha = {\pi \over 3}\) Vậy \(A = 2,B = 1,\alpha = {\pi \over 3}\) Câu 1.14 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Chứng minh rằng hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên mọi khoảng \(\left( {a,b} \right)\) nằm trong tập xác định \({D_1}\) của nó. b) Có phải trên bất kì khoảng nào hàm số \(y = \tan x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến ? Giải a) Vì \(\left( {a;b} \right) \subset {D_1}\) nên không có số \({\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\) thuộc \(\left( {a,b} \right).\) Vậy có số nguyên \(l\) để \(\left( {a,b} \right) \subset \left( {{\pi \over 2} + l\pi ;{\pi \over 2} + \left( {l + 1} \right)\pi } \right);\) hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên khoảng này nên nó đồng biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right).\) b) Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right),\) nhưng khoảng này không nằm trong tập xác định \({D_2}\) của hàm số \(y = \cot x\) trên khoảng đó. (Nếu cả hai hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) cùng xác định trên khoảng J dễ thấy \(y = \tan x\) đồng biến trên J và hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên J). Câu 1.15 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh: a) Điểm có tọa độ \(\left( {k\pi ;0} \right)\) (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \sin x\) b) Điểm có tọa độ \(\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right)\) (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) c) Đường thẳng có phương trình \(x = k\pi \) (k là một số nguyên) là trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) Giải a) Điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua điểm \(\left( {k\pi ;0} \right)\) khi và chỉ khi: \({{x + x'} \over 2} = k\pi ,{{y + y'} \over 2} = 0,\) tức là \(\left\{ \matrix{ x' = - x + k2\pi \hfill \cr y' = y \hfill \cr} \right.\) Gọi C là đồ thị hàm số \(y = \sin x\). C nhận \(\left( {k\pi ;0} \right)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc C (tức là với mọi \(x,y = \sin x\)) điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) nói trên (tức là \(x' = - x + k2\pi ,y' = - y)\) cũng thuộc C; điều này có nghĩa là \( - \sin x = \sin \left( {x + k2\pi } \right),\) với mọi \(x \in Z\) là một tâm đối xứng của đồ thị C của hàm số \(y = \sin x\) Cách chứng minh khác: Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục hệ tọa độ IXY, với \(I\left( {k\pi ;0} \right);x = X + k\pi ;y = Y\) (phép biến đổi gốc tọa độ), (h.vẽ) thì đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số \(Y = \sin \left( {X + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\sin X\) Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số \(Y = {\mathop{\rm sinX}\nolimits} \) cũng như hàm số \(Y = - {\mathop{\rm sinX}\nolimits} \) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I là tâm đối xứng. b) Điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là điểm đối xứng của \(M\left( {x;y} \right)\) qua điểm \(\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right)\) khi và chỉ khi \({{x + x'} \over 2} = {{k\pi } \over 2},{{y + y'} \over 2} = 0,\) tức là \(\left\{ \matrix{ x' = - x + k\pi \hfill \cr y' = - y \hfill \cr} \right.\) Gọi C là đồ thị của hàm số \(y = \tan x\); C nhận \(\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc C (tức là \(x \in {D_1},y = \tan x\)) điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) nói trên (tức là \(x' = - x + k\pi ,y' = - y\)) cũng thuộc C; điều này có nghĩa là \( - \tan x = \tan \left( { - x + k\pi } \right),\) với mọi \(X \in {D_1}.\) Điều đó đúng do \(\pi \) là chu kì của hàm số \(y = \tan x\). Vậy điểm \(\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right),k \in Z\) là một tâm đối xứng của đồ thị C của hàm số \(y = \tan x\) Chứng minh cách khác: Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang hệ trục tọa độ IXY, với \(I\left( {{{k\pi } \over 2};0} \right);x = X + {{k\pi } \over 2};y = Y.\) Đồ thị của hàm số \(y = \tan x\) trong hệ trục toạn độ Oxy là đồ thị của hàm số \(Y = \tan \left( {X + k{\pi \over 2}} \right) = \left\{ \matrix{ \tan X\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,K\text{ chẵn } \hfill \cr - {1 \over {\tan X}}\,\,\,\,\,neu\,\,K\text{ lẻ } \hfill \cr} \right.\) Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số \(Y = \tan X\) cũng như hàm số \(Y = - {1 \over {\tan X}}\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng. c) Điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua đường thẳng \(x = k\pi \) (h.vẽ) khi và chỉ khi \({{x + x'} \over 2} = k\pi ,y = y',\) tức là \(\left\{ \matrix{{x'} = - x + k2\pi \hfill \cr {y'} = y \hfill \cr} \right.\) Gọi C là đồ thị của hàm số \(y = \cos x.\) C nhận đường thẳng \(x = k\pi \) làm một trục đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc C (tức là với mọi \(x,y = \cos x\)) điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) nói trên cũng thuộc C. Điều này có nghĩa là \(\cos x = \cos \left( { - x + k2\pi } \right),\forall x \in R\) Rõ ràng ta có đẳng thức đó, do \(2\pi \) là chu kì của hàm số \(y = \cos x.\) Vậy đường thẳng \(x = k\pi ,k \in Z\) là một trục đối xứng của đồ thị C của hàm số \(y = \cos x.\). Cách chứng minh khác Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục toạ độ IXY, với \(I\left( {k\pi ;0} \right);x = X + k\pi ;y = Y,\) thì đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số \(Y = \cos \left( {X + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\cos X\) trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số \(Y = \cos X\) cũng như hàm số \(Y = - \cos X\) là các hàm số chẵn nên đồ thị đó nhận trục IY (tức là đường thẳng \(x = k\pi \)) làm trục đối xứng. Câu 1.16 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Từ đồ thị của hàm số hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: a) \(y = 2\tan x\) b) \(y = \tan 2x\) c) \(y = \tan {x \over 2}\) Vẽ đồ thị các hàm số đó. Giải Gọi C là đồ thị của hàm số \(y = \tan x\) a) Đồ thị của hàm số \(y = 2\tan x\) có được từ C bằng phép biến đổi, biến mỗi điểm \(\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(\left( {x;2y} \right)\) (h.1.8) b) Đồ thị của hàm số \(y = \tan 2x\) có được bằng phép biến đổi, biến mỗi điểm \(\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(\left( {{x \over 2};y} \right)\) (h.1.9) c) Đồ thị của hàm số \(y = \tan {x \over 2}\) có được bằng phép biến đổi, biến mỗi điểm \(\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(\left( {2x;y} \right)\) (h.1.10) Câu 1.17 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( {{\pi \over 4};1} \right)\) biến đồ thị của mỗi hàm số sau thành đồ thị hàm số nào ? a) \(y = \sin x\) b) \(y = \cos 2x - 1\) c) \(y = 2\sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right)\) d) \(y = \cos \left| x \right| - 1\) Giải Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \left( {{\pi \over 4};1} \right)\) biến điểm \(\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(\left( {x';y'} \right)\) \(\left\{ \matrix{ x' = x + {\pi \over 4} \hfill \cr y' = y + 1 \hfill \cr} \right.\) Từ đó nó biến mỗi đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) thành đồ thị của hàm số \(y = f\left( {x' - {\pi \over 4}} \right) + 1\) . Vậy ta có: a) \(y = \sin \left( {x - {\pi \over 4}} \right) + 1\) b) \(y = \sin 2x,\) (do \(y = \cos 2\left( {x - {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x\)) c) \(y = 2\sin x + 1\) d) \(y = \cos \left| {x - {\pi \over 4}} \right|\) Câu 1.18 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Phép đối xứng qua điểm \(I\left( {{\pi \over 2};0} \right)\) biến đồ thị mỗi hàm số sau thành đồ thị của hàm số nào ? a) \(y = \sin x\) b) \(y = \cos 2x\) c) \(y = \sin {x \over 2}\) Vẽ đồ thị của hàm số tìm được. Giải Điểm đối xứng của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua điểm \(\left( {{\pi \over 2};0} \right)\) là điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) \(x' = \pi - x;y' = - y\) tức là \(x = \pi - x',y = - y'.\) Vậy ta có: a) \(y = - \sin x\) (h.1.11) b) \(y = - \cos 2x\) (h.1.12) c) \(y = - \cos {x \over 2}\) (h.1.13) Câu 1.19 trang 10 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Phép đối xứng qua đường thẳng có phương trình \(y = 1\) biến đồ thị của mỗi hàm số sau thành đồ thị của hàm số nào : a) \(y = \sin x\) b) \(y = \cos x + 1\) c) \(y = \sin {x \over 2} + 2\) Vẽ đồ thị của hàm số tìm được. Giải Điểm đối xứng \(M\left( {x;y} \right)\) qua đường thẳng \(y = 1\) là điểm \(M'\left( {x';y'} \right),x' = x,y' = y,\) tức là \(x = x',y = 2 - y'.\) Vậy ta có: a) \(y = 2 - \sin x\) (h.1.14) b) \(y = 1 - \cos x\) (h.1.15) c) \(y = - \sin {x \over 2}\) (h.1.16)
