Câu 1.27 trang 11 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) \(\sqrt 3 \sin {15^o} + \cot {15^o} - \sqrt 2 \) bằng: (A) \(\sqrt 3 \) (B) \(\sqrt 2 \) (C) 1 (D) 0 b) \({1 \over {\sin {\pi \over 9}}} - {1 \over {\sqrt 3 \cos {\pi \over 9}}}\) bằng: (A) \(\sqrt 3 \) (B) \({2 \over {\sqrt 3 }}\) (C) \({4 \over {\sqrt 3 }}\) (D) \( - 2\sqrt 3 \) Giải Bằng cách đưa biểu thức \(a\sin x + b\cos x\) về dạng C \(\sin \left( {x + \alpha } \right)\) dễ thấy a) (D) b) (C) Câu 1.29 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một cách trình bày việc đưa biểu thức \(a\sin x + b\cos x\) (a, b là hằng số, \({a^2} + {b^2} \ne 0\)) về dạng \(C\sin \left( {x + \alpha } \right)\) nhờ biểu thức toạn độ của tích vô hướng của hai vectơ Trong mặt phẳng tọa độ gắn với đường tròn lượng giác tâm O gốc A, hãy xét các điểm \(P\left( {a;b} \right),Q\left( {b;a} \right),M\left( {\cos x;\sin x} \right)\) a) Từ công thức \(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM} = a\sin x + b\cos x\) và \(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM} = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left( {OQ,QM} \right)\) Hãy suy ra \(a\sin x + b\cos x = C\cos \left( {x - \beta } \right)\) trong đó \(\beta \) là số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OQ} \right)\) b) Từ câu a) suy ra rằng \(a\sin x + b\cos x = C\sin \left( {x + \alpha } \right)\) trong đó \(\alpha \) là số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OP} \right),C = \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\) Giải a) Ta có \(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM} = a\sin x + b\cos x\) \(\eqalign{ & = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left( {OQ,OM} \right) \cr&= \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos (\left( {OA,OM} \right) - \left( {OA,OQ} \right)) \cr & = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos \left( {\alpha - \beta } \right),\cr&\left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\beta = \left( {OA,OQ} \right) \cr} \) b) Hai điểm \(P\left( {a;b} \right)\) và \(Q\left( {b;a} \right)\) đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ, nên dễ thấy \(\left( {OA,OQ} \right) = {\pi \over 2} - \left( {OA,OP} \right),\) tức là \(\beta = {\pi \over 2} - \alpha + k2\pi ,k \in Z.\) Vậy \(a\sin x + b\cos x = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos x\left( {x - \beta } \right)\) \(= \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\cos \left( {x - {\pi \over 2} + \alpha } \right) = \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\sin \left( {x + \alpha } \right)\) Câu 1.30 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Biết \(\cos {{2\pi } \over 5} = {{\sqrt 5 - 1} \over 4}\) hãy đưa ra biểu thức \(\sin x + \sqrt {5 + 5\sqrt 5 } \cos x\) về dạng \(C\sin \left( {x + \alpha } \right)\) b) Dùng máy tính cầm tay tính gần đúng C và \(\alpha \) nói trên. Giải a) Từ \(\cos {{2\pi } \over 5} = {{\sqrt 5 - 1} \over 4}\), ta dễ tính được \(\tan {{2\pi } \over 5} = \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \) nên \(\sin x + \sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \cos x = {4 \over {\sqrt 5 - 1}}\sin \left( {x + {{2\pi } \over 5}} \right)\) b) \(C \approx 3,236067978,\alpha \approx 1,256637061...\) Câu 1.31 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số \(y = \sin x\) nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số \(y = a\sin x + b\cos x\) (a, b là hằng số, \({a^2} + {b^2} \ne 0\)) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\) b) Xét hàm số \(y = {{\sin x + \cos x - 1} \over {\sin x - \cos x + 3}}\). Viết đẳng thức đó thành \(\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - 3y - 1,\) để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện. \({\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( {3y + 1} \right)^2}\) Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho. c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\) Giải a) Ta có \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)\) nên dễ thấy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\) b) Do \(\left| {\sin x + \cos x} \right| \le \sqrt 2 \) nên \(\sin x - \cos x + 3 \ne 0\) với mọi x. Vậy cặp số \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(y = {{\sin x + \cos x - 1} \over {\sin x - \cos x + 3}}\) khi và chỉ khi: \(\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - \left( {3y + 1} \right)\) Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right].\) Đẳng thức trên cho thấy \( - \left( {3y + 1} \right)\) phải thuộc đoạn đó, tức là: \({\left( {3y + 1} \right)^2} \le {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\) Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để \(\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - \left( {3y + 1} \right)\) Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với \(7{y^2} + 6y - 1 \le 0\) tức là \( - 1 \le y \le {1 \over 7}\) Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({1 \over 7}\) và -1. c) \(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\) Để ý rằng \(\left| {2\cos x - \sin x} \right| \le \sqrt 5 ,\) nên \(2\cos x - \sin x + 4 \ne 0\) với mọi x. Vậy \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn đẳng thức trên khi và chỉ khi \(\left( {y + 2} \right)\sin x + \left( {1 - 2y} \right)\cos x = 4y - 3\) Lập luận tương tự như câu b), hàm số y lấy mọi giá trị sao cho \({\left( {4y - 3} \right)^2} \le {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2y} \right)^2}\) Bất đẳng thức tương đương với \(11{y^2} - 24y + 4 \le 0\) tức là \({2 \over {11}} \le y \le 2\) Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và \({2 \over {11}}\) Câu 1.32 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau: a) \(4\sin x - 3\cos x = 5\) b) \(3\cos x + 2\sqrt 3 \sin x = {9 \over 2}\) c) \(3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\) d) \(2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\) Giải a) \(x = \beta + {\pi \over 2} + k2\pi ,\)với \(\cos \alpha = {4 \over 5}\) và \(\sin \alpha = {3 \over 5}\) b) \({3^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 21.\) Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {21} \), ta được phương trình \({2 \over {\sqrt {21} }}\cos x + {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }}\sin x = {9 \over {2\sqrt {21} }}\) Hiển nhiên có thể chọn \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha = {3 \over {\sqrt {21} }}\) và \(\sin \alpha = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }} = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và chọn được \(\beta \) sao cho \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}.\) Khi đó phương trình đã cho trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta ;\) nó có nghiệm \(x = \alpha \pm \beta + k2\pi \) (trong đó \(\cos \alpha = {3 \over {\sqrt {21} }},\sin \alpha = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)) đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho. c) Chia hai vế cho \(\sqrt {13;} \) chọn \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha = {9 \over {\sqrt {13} }},\sin \beta = {2 \over {\sqrt {13} }}.\) Bài toán dẫn đến phương trình \(\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin \left( {{\pi \over 2} - \alpha } \right)\) Suy ra: \(x = {\pi \over 4} - \alpha + k\pi ,x = {\pi \over 4} + k\pi \) d) Phương trình được viết thành \({2 \over {\sqrt {13} }}\sin 2x + {3 \over {\sqrt {13} }}\cos 2x = \sin 14x\) hay \(\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin 14x\) Suy ra: \(x = {\pi \over {12}} + {{k\pi } \over 6},x = {{\pi - \alpha } \over {16}} + k{\pi \over 8},\) trong đó \(\cos \alpha = {2 \over {\sqrt {13} }},\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {13} }}.\) Câu 1.33 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giá trị x thuộc \(\left( { - {{3\pi } \over 4};\pi } \right)\) thỏa mãn phương trình sau với mọi m: \({m^2}\sin x - m{\sin ^2}x - {m^2}\cos x + m{\cos ^2}x \) \(= \cos x - \sin x\) Giải Viết phương trình đã cho dưới dạng \(\left( {\sin x - \cos x} \right){m^2} + \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)m \) \(+ \left( {\sin x - \cos x} \right) = 0.\) Để đẳng thức này đúng với mọi m thì ta phải có \(\left\{ \matrix{ \sin x - \cos x = 0 \hfill \cr {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0 \hfill \cr} \right.\) Tức là \(\sin x - \cos x = 0\) Trong khoảng \(\left( { - {{3\pi } \over 4};\pi } \right)\) có đúng một giá trị \(x = {\pi \over 4}\) thỏa mãn phương trình đã cho với mọi \(m \in R\). Câu 1.34 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giá trị \(\alpha \) để: a) Phương trình \(\left( {\cos \alpha + 3\sin \alpha - \sqrt 3 } \right){x^2} \) \(+ \left( {\sqrt 3 \cos \alpha - 3\sin \alpha - 2} \right)x \) \(+ \sin \alpha - \cos \alpha + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm x = 1 b) Phương trình \(\left( {2\sin \alpha - {{\cos }^2}\alpha + 1} \right){x^2} \) \(- \left( {\sqrt 3 \sin \alpha } \right)x + 2{\cos ^2}\alpha \) \(- \left( {3 - \sqrt 3 } \right)\sin \alpha = 0\) có nghiệm \(x = \sqrt 3 \) Giải a) \(x = 1\) là nghiệm của phương trình đã cho khi và chỉ khi ( bằng cách thế \(x = 1\) vào phương trình ) ta có đẳng thức \(\sqrt 3 \cos \alpha + \sin \alpha = 2\) hay \({{\sqrt 3 } \over 2}\cos \alpha + {1 \over 2}\sin \alpha = 1\) . Đẳng thức đó xảy ra khi và chỉ khi \(\cos \left( {\alpha - {\pi \over 6}} \right) = 1\) hay \(\alpha = {\pi \over 6} + 2k\pi \) b) Không có số \(\alpha \) nào thỏa mãn điều kiện của bài toán. Câu 1.35 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình \(12\cos x + 5\sin x + {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\) Giải Đặt \(y = 12\cos x + 5\sin x + 14\) , ta có phương trình \(y + {5 \over y} - 6 = 0\) . Dễ thấy phương trình này có hai nghiệm là \(y = 1\) và \(y = 5\) . Do đó \(12\cos x + 5\sin x + {5 \over {12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 12\cos x + 5\sin x + 14 = 1 \hfill \cr 12\cos x + 5\sin x + 14 = 5 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 12\cos x + 5\sin x = - 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 12\cos x + 5\sin x = - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\) Chia hai vế của phương trình (1) và (2) cho \(13\left( {13 = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} } \right)\) , gọi \(\alpha \) là số thỏa mãn \(\cos \alpha = {{12} \over {13}}\) và \(\sin \alpha = {5 \over {13}}\), ta có : (1) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = - 1 \Leftrightarrow x - \alpha = \pi + k2\pi \) \(\Leftrightarrow x = \alpha + \pi + k2\pi \) (2) \( \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = - {9 \over {13}}\) \(\Leftrightarrow x = \alpha \pm \arccos \left( { - {9 \over {13}}} \right) + k2\pi \) Câu 1.37 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau: a) \(2{\sin ^2}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x\) b) \(3{\sin ^2}{x \over 2}\cos x\left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} \) \(= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi \over 2}} \right)\cos {x \over 2}\) Giải a) Những giá trị của \(x\) mà \(\cos x = 0\) thì \(\sin x = \pm 1\) nên không có nghiệm của phương trình đã cho . Với \(\cos x \ne 0\) , chia hai vế của nó cho \({\cos ^3}x\) , ta được \(2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x(1 + {\tan ^2}x)\). Vậy phương trình đã cho tương đương với \(\left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \). b) Do \(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\) và \(\sin \left( {{\pi \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}\) nên phương trình đã cho có thể viết thành \(3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} - \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)\) Với điều kiện \(\cos {x \over 2} \ne 0\) , chia hai vế của (*) cho \({\cos ^3}{x \over 2}\) thì được phương trình \(3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)hay \(\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right) = 0\) \(x = - {\pi \over 2} + 2k\pi \) và \(x = \pm {\pi \over 3} + 2k\pi \). Câu 1.38 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình \({\sin ^3}x + \sin x\sin 2 x - 3{\cos ^3}x = 0\) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. Giải Giả sử một góc của tam giác vuông ABC có số đo độ thỏa mãn phương trình đã cho . Ta viết phương trình đã cho thành \({\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x\cos x - 3{\cos ^3}x = 0\) (1) \(({0^o} < x \le {90^o})\) Dễ thấy \(x = {90^o}\) không phải nghiệm của phương trình , vậy \(\cos x \ne 0\) và ta có thể chia 2 vế phương trình cho \({\cos ^3}x\) được : (1)\( \Leftrightarrow {\tan ^3}x + 2\tan x - 3 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + 3\tan x + 3} \right) = 0\) Vì phương trình \({\tan ^2}x + 3\tan x + 3 = 0\) vô ngiệm , nên (1)\( \Leftrightarrow \tan x = 1\) . Kết hợp với điều kiện \({0^o} < x < {90^o}\) ta thấy chỉ có \(x = {45^o}\) là thỏa mãn. Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân. Câu 1.42 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau: a) \(\tan \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + \cot \left( {{\pi \over 6} - 3x} \right) = 0\) b) \(\tan \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right) + \cot \left( {4x - {{7\pi } \over 8}} \right) = 0\) c) \(\tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right).\tan \left( {x - {\pi \over 2}} \right) = 1\) d) \(\sin 2x + 2\cot x = 3\) Giải a) Biến đổi phương trình đã cho như sau: \(\tan \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + \cot \left( {{\pi \over 6} - 3x} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \tan \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + \tan \left( {3x + {\pi \over 3}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {{\sin \left( {4x + {{2\pi } \over 3}} \right)} \over {\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right)\cos \left( {3x + {\pi \over 3}} \right)}} = 0\) Vậy với điều kiện \(\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\) và \(\cos \left( {3x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\), phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin \left( {4x + {{2\pi } \over 3}} \right) = 0\Leftrightarrow x = - {\pi \over 6} + {{k\pi } \over 4}\) Có thể thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp. Chẳng hạn, ta có \(\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = \cos \left( { - {\pi \over 6} + k{\pi \over 4} + {\pi \over 3}} \right) \) \(= \cos \left( {{\pi \over 6} + k{\pi \over 4}} \right) \ne 0\) b) Áp dụng công thức \(\tan a + \cot b = {{\cos \left( {a - b} \right)} \over {\cos a.\sin b}},\) ta biến đổi phương trình đã cho như sau: \(\tan \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right) + \cot \left( {4x - {{7\pi } \over 8}} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow {{\cos \left( {x + {{13\pi } \over 8}} \right)} \over {\cos \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right)\sin \left( {4x + {{7\pi } \over 8}} \right)}} = 0\) Do đó với điều kiện \(\cos \left( {2x - {{3\pi } \over 4}} \right) \ne 0\) và \(\sin \left( {4x + {{7\pi } \over 8}} \right) \ne 0,\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\cos \left( {2x + {{13\pi } \over 8}} \right) = 0\Leftrightarrow x = - {{9\pi } \over {16}} + k{\pi \over 2} \) Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp. c) Biến đổi phương trình đã cho như sau: \(\eqalign{ & \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right).\tan \left( {\pi - {x\over 2}} \right) = 1\cr& \Leftrightarrow \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) = \cot \left( { - {x \over 2}} \right) \cr & \Leftrightarrow \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) + \cot {x \over 2} = 0\cr& \Leftrightarrow {{\cos \left( {{{3x} \over 2} + {\pi \over 3}} \right)} \over {\cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\sin {x \over 2}}} = 0 \cr} \) Do đó, với điều kiện \(\cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\) và \(\sin {x \over 2} \ne 0\), phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\cos \left( {{{3x} \over 2} + {\pi \over 3}} \right) = 0\Leftrightarrow x = {\pi \over 9} + k{{2\pi } \over 3}\) Thử lại điều kiện bằng cách trực tiếp. d) Sử dụng công thức \(\sin 2x = {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}},\) ta có: \(\sin 2x + 2\cot x = 3 \Leftrightarrow {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}} + {2 \over {\tan x}} = 3\) Giải tiếp phương trình này với điều kiện \(\tan x \ne 0\) ta được: \(x = {\pi \over 4} + k\pi \) Câu 1.45 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {{\pi \over 4};{{5\pi } \over 4}} \right)\) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm: \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\) Giải Ta có: \(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\) \( \Leftrightarrow \cos x + \sin x + {{\sin x + \cos x} \over {\sin x\cos x}} = {{10} \over 3}\) Đặt \(t = \cos x + \sin x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(\sin x\cos x = {{{t^2} - 1} \over 2}\) và phương trình trở thành \(t + {{2t} \over {{t^2} - 1}} = {{10} \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Với điều kiện \(t \ne \pm 1,\) ta có: \((1) \Leftrightarrow 3{t^2} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\) Phương trình này có ba nghiệm \({t_1} = 2,{t_2} = {{2 + \sqrt {19} } \over 3}\) và \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}.\) Tuy nhiên, chỉ có \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) là thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Do đó phương trình đa cho tương đương với \(\cos x + \sin x = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) hay \(\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) Điều kiện \({\pi \over 4} < x < {{5\pi } \over 4}\) tương đương với điều kiện \(0 < x - {\pi \over 4} < \pi .\) Với điều kiện đó ta có \((2) \Leftrightarrow x - {\pi \over 4} = \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\) \(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\) Lấy các giá trị gần đúng \({\pi \over 4} \approx 0,785\) và \(\arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }} \approx 2,160\) ta được \(x \approx 2,95.\) Câu 1.46 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Biết rằng các số rađian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình \(\tan x - \tan {x \over 2} - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0.\) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. Giải Xét phương trình \(\tan x - \tan {x \over 2} - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0\) (1) Điều kiện: \(x\in\left( {0;\pi } \right)\) Đặt \(t = \tan {x \over 2}\) ta được: \({{2t} \over {1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}} - t - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0\) Phương trình có nghiệm \(t = {1 \over {\sqrt 3 }}\) Do đó: \(\tan {x \over 2} = {1 \over {\sqrt 3 }}\) Phương trình (1) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) có một nghiệm duy nhất \(x = {\pi \over 3}\) Do đó ABC là tam giác đều. Câu 1.47 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho phương trình \(\cos 2x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m + 1 = 0\) a) Giải phương trình với \(m = {3 \over 2}\) b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm \(x \in \left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\) Giải Phương trình đã cho có thể viết thành \(2{\cos ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m = 0\) Phương trình này tương đương với \(\left[ \matrix{ \cos x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos x = m \hfill \cr} \right.\) a) Với \(m = {3 \over 2}\) thì phương trình \(\cos x = m\) vô nghiệm; phương trình \(\cos x = {1 \over 2}\) có các nghiệm \(x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi .\) Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho. b) Do các nghiệm của phương trình \(\cos x = {1 \over 2}\) không thuộc khoảng \(\left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\) nên phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm \(x \in \left( {{\pi \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\). Điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \( - 1 < m < 0\) Câu 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\) Giải \(\eqalign{ & \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr & \Leftrightarrow 4\sin x\sin 2x + 2\sin x - 2\sin 2x - 1 \cr&\;\;\;\;\;= 3 - 4{\cos ^2}x \cr & \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 2 \cr&\;\;\;\;\;= 0 \cr & \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x\left[ {4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0 \cr & \bullet \,\,\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \cr & \bullet \,\,4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \) Để giải phương trình (2), ta đặt \(t = \sin x + \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(2\sin x\cos x = {t^2} - 1\) và từ phương trình (2) ta có phương trình \(2{t^2} - 2t - 1 = 0\) với ẩn t. Phương trình này có hai nghiệm \({t_1} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2},{t_1} = {{1 + \sqrt 3 } \over 2}.\) Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Do đó \((2) \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x + \cos x = {t_1} \hfill \cr \sin x + \cos x = {t_2} \hfill \cr} \right.\) \(\sin x + \cos x = {t_1} \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \) \(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} \pm \alpha + k2\pi \) với \(\cos \alpha = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\) \(\sin x + \cos x = {t_1} \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \) \(\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} \pm \beta + k2\pi \) với \(\cos \beta = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\) Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm \(x = k\pi ,x={\pi \over 4} \pm \alpha + 2k\pi \) và \(x={\pi \over 4} \pm \beta + 2k\pi \) với \(\alpha \) và \(\beta \) là các số thỏa mãn \(\cos \alpha = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\) và \(\cos \beta = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\) (chẳng hạn \(\alpha = \arccos {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }},\beta = \arccos {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\)). Câu 1.49 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi \over {12}}} \right)\)\(\cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x\) Giải Ta có: \(\eqalign{ \cos 6x &= \cos \left( {2x + 4x} \right) \cr&= \cos 2x\cos 4x - \sin 2x\sin 4x \cr & = \cos 2x\left( 2{{{\cos }^2}2x - 1} \right) - 2{\sin ^2}2x\cos 2x \cr & = 2{\cos ^3}2x - \cos 2x - 2\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)\cos 2x \cr&= 4{\cos ^3}2x - 3\cos 2x \cr} \) Áp dụng kết quả đó, phương trình đã cho có thể biến đổi như sau: \(\eqalign{& \cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x \cr&\Leftrightarrow \cos 4x = {{1 + \cos 6x} \over 2} + {{m\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) = 1 + \cos 6x + m - m\cos 2x \cr & \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x - 2 = 1 + 4{\cos ^3}2x - 3\cos 2x + m \cr&\;\;\;= m\cos 2x \cr & \Leftrightarrow 4{\cos ^3}2x - 4{\cos ^2}2x - \left( {m + 3} \right)\cos 2x + m + 3 \cr&\;\;\;\;= 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left[ {4{{\cos }^2}2x - \left( {m + 3} \right)} \right] = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos 2x = 1 \hfill \cr 4{\cos ^2}2x = \left( {m + 3} \right) \hfill \cr} \right.\) Nếu phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi \over {12}}} \right)\) thì \(2x \in \left( {0;{\pi \over 6}} \right)\), Suy ra \({{\sqrt 3 } \over 2} < \cos 2x < 1\) và \({3 \over 4} < {\cos ^2}2x < 1\), nghĩa là \(3 < m + 3 < 4\) hay \(0 < m < 1\) Ngược lại, dễ thấy rằng nếu \(0 < m < 1\) thì phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi \over {12}}} \right)\) Câu 1.50 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\): a) \({{\left| {\sin x} \right|} \over {\sin x}} = \cos x - {1 \over 2}\) b) \({{\sin 3x - \sin x} \over {\sqrt {1 - \cos 2x} }} = \cos 2x + \sin 2x\) Giải a) Vì trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right),\) phương trình không xác định với \(x = \pi \) nên ta xét phương trình trên từng khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) và \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) - Trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) ta có \(\sin x > 0\) nên phương trình trở thành \(1 = \cos x - {1 \over 2}\) - Trên khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) ta có \(\sin x < 0\) nên phương trình trở thành \( - 1 = \cos x - {1 \over 2}\) Giải ra ta được: \(x = {{4\pi } \over 3}\) b) Tương tự: Biến đổi phương trình thành \({{\cos 2x.\sin x} \over {\left| {\sin x} \right|}} = \cos \left( {2x - {\pi \over 4}} \right),\) sau đó xét phương trình trên mỗi khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) và \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) Giải ra ta được: \(x = {\pi \over {16}},x = {{9\pi } \over {16}},x = {{21\pi } \over {16}}\) và \(x = {{29\pi } \over {16}}\)
