Câu 1.51 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho biết mỗi đồ thị sau là đồ thị hàm số có dạng \(y = A\cos \left( {x + \alpha } \right) + B\) (\(A,B,\alpha \) là những hằng số) Hãy chọn câu trả lời đúng. a) Đồ thị ở hình 1.4 là đồ thị của hàm số (A) \(y = \cos x\) (B) \(y = 2\cos x - 1\) (C) \(y = 2\cos x + 1\) (D) \(y = \cos \left( {x - {\pi \over 2}} \right) + 1\) b) Đồ thị ở hình 1.5 là đồ thị hàm số (A) \(y = - 2\cos x\) (B) \(y = - \cos x - 1\) (C) \(y =- \cos \left( {x - \pi } \right) - 1\) (D) \(y = \cos \left( {x + {\pi \over 2}} \right) - 1\) Giải a) (D) b) (B) Câu 1.52 trang 17 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng (A)\(\left( { - 6\pi ; - 5\pi } \right)\) (B) \(\left( {{{19\pi } \over 2};10\pi } \right)\) (C) \(\left( { - {{7\pi } \over 2}; - 3\pi } \right)\) (D) \(\left( {7\pi ;{{15\pi } \over 2}} \right)\) Giải Chọn phương án (B) vì hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - {\pi \over 2};0} \right)\) và khi tịnh tiến khoảng này sang phải một đoạn dài là \(10\pi = 5.2\pi \) thì được khoảng \(\left( {{{19\pi } \over 2};10\pi } \right)\) Câu 1.53 trang 17 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng (A) \(\left( {{{19\pi } \over 2};10\pi } \right)\) (B) \(\left( { - {{3\pi } \over 2};{\pi \over 2}} \right)\) (C) \(\left( {{{11\pi } \over 2};7\pi } \right)\) (D) \(\left( { - {{11\pi } \over 2}; - 5\pi } \right)\) Giải Chọn phương án (D) vì hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {{\pi \over 2};\pi } \right)\) và khi tịnh tiến khoảng này sang trái một đoạn dài là \(6\pi = 3.2\pi \) thì được khoảng \(\left( { - {{11\pi } \over 2}; - 5\pi } \right)\) Câu 1.54 trang 17 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Nếu \(P = {{\cos {{70}^o} + \cos {{10}^o}} \over {\cos {{35}^o}\cos {5^o} - \sin {{35}^o}\sin {5^o}}}\) thì (A) \(P = 2\cos {40^o}\) (B) \(P = 1\) (C) \(P = \sqrt 3 \) (D) \(P = {{\sqrt 3 } \over 2}\) Giải Chọn phương án (C) vì \(P = {{2\cos {{30}^o}\cos {{40}^o}} \over {\cos \left( {{{35}^o} + {5^o}} \right)}} = 2\cos {30^o} = \sqrt 3 \) Câu 1.55 trang 17 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Gọi X là tập nghiệm của phương trình \(\cos \left( {{x \over 2} + {{15}^o}} \right) = \sin x.\) Khi đó (A) \({240^o} \in X\) (B) \({290^o} \in X\) (C) \({220^o} \in X\) (D) \({200^o} \in X\) Giải Chọn phương án (B) vì với \(x = {290^o}\), ta có \(\cos \left( {{x \over 2} + {{15}^o}} \right) = \cos {160^o} = - \cos {20^o}\) và \(\sin {290^o} = - \sin {70^o} = - \cos {20^o}\) Câu 1.56 trang 17 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét phương trình \(\tan {\pi \over {15}}\cos x + \sin x = 1.\) Trong khoảng \(\left( {{{5\pi } \over 2};4\pi } \right),\) một trong các nghiệm của phương trình là: (A) \(x = {{7\pi } \over 2}\) (B) \(x = {{71\pi } \over {30}}\) (C) \(x = {{9\pi } \over 2}\) (D) Phương trình không có nghiệm trong khoảng đang xét Giải Chọn phương án (D) Viết lại phương trình dưới dạng \(\sin \left( {x + {\pi \over {15}}} \right) = \sin \left( {{\pi \over 2} - {\pi \over {15}}} \right).\) Bằng cách thử vào phương trình, ta thấy chỉ có các số \({{71\pi } \over {30}}\) và \({{9\pi } \over 2}\) là nghiệm đúng phương trình. Tuy nhiên, chúng đều không thuộc khoảng \(\left( {{{5\pi } \over 2};4\pi } \right)\) đang xét. Câu 1.57 trang 18 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong khoảng \(\left( {0;{\pi \over 2}} \right),\) phương trình \({\sin ^2}4x + 3\sin 3x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\) có: (A) 1 nghiệm (B) 2 nghiệm (C) 3 nghiệm (D) 4 nghiệm Giải Chọn phương án (D) Đặt \(y = 4x\) ta có \(0 < x < {\pi \over 2} \Rightarrow 0 < y < 2\pi .\) Phương trình đã cho dẫn đến phương trình \({\tan ^2}y + 3\tan y - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,hay\,\,\,\left[ \matrix{ \tan y = 1 \hfill \cr \tan y = - 4 \hfill \cr} \right.\) Trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right),\) mỗi phương trình \(\tan y = 1\) và \(\tan y = - 4\) đều có hai nghiệm. Câu 1.58 trang 18 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trên những khoảng xác định nào thì hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) a) Cùng đồng biến ? b) Cùng nghịch biến ? Giải Nếu xét trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) thì cả hai hàm số cùng đồng biến trên khoảng \(\left( {{{3\pi } \over 2};2\pi } \right)\) và cùng nghịch biến trên khoảng \(\left( {{\pi \over 2};\pi } \right)\). Do đó a) Hai hàm số cùng đồng biến trên các khoảng \(\left( {{{3\pi } \over 2} + k2\pi ;2\pi + k2\pi } \right),k \in Z\) b) Hai hàm số cùng nghịch biến trên các khoảng \(\left( {{\pi \over 2} + k2\pi ;\pi + k2\pi } \right),k \in Z\) Câu 1.59 trang 18 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số\(f(x) = \tan (\pi x)\). a) Tìm tập xác định của hàm số \(y = f(x)\); b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên k , ta có \(f(x + k) = f(x)\) . Từ đó suy ra \(y = f(x)\) là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 1; c) Cho biết sự biến thiên của hàm số \(y = f(x)\) trên mỗi khoảng\(\left( { - {1 \over 2} + k;{1 \over 2} + k} \right),k \in Z\); d) Vẽ đồ thị của hàm số đó. Giải a) Hàm số \(y = \tan (\pi x)\) xác định khi và chỉ khi \(\cos \left( {\pi x} \right) \ne 0.\) Mặt khác \(\cos \left( {\pi x} \right) = 0 \Leftrightarrow {\pi x}={\pi \over 2} + k\pi \Leftrightarrow x = {1 \over 2} + k\left( {k \in Z} \right)\) Từ đó suy ra tập xác định của hàm số \(y = \tan (\pi x)\) là: \(D = R\backslash \left\{ {{1 \over 2} + k|k \in Z} \right\}\) b) Với mọi \(k \in Z,\) ta có \(f\left( {x + k} \right) = \tan \left[ {\pi \left( {x + k} \right)} \right] = \tan \left( {\pi x + k\pi } \right) \) \(= \tan \left( {\pi x} \right) = f\left( x \right)\) Trong các số nguyên dương, số 1 là nhỏ nhất. Do đó \(\tan (\pi x)\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = 1\) c) Ta thấy \( - {1 \over 2} + k < x < {1 \over 2} + k \Leftrightarrow - {\pi \over 2} + k\pi < \pi x < {\pi \over 2} + k\pi \) Từ đó suy ra hàm số \(\tan (\pi x)\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - {1 \over 2} + k;{1 \over 2} + k} \right),\,k \in Z\) d) Đồ thị của hàm số có dạng như hình 1.20. Câu 1.60 trang 18 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng \({\cos ^2}(x - a) + {\sin ^2}(x - b) \) \(- 2\cos (x - a)\sin (x - b)\sin (a - b) = {\cos ^2}(a - b)\) Giải Ta có: \(\eqalign{ & {\cos ^2}(x - a) + {\sin ^2}(x - b) \cr&= {{1 + \cos 2\left( {x - a} \right)} \over 2} + {{1 - \cos 2\left( {x - b} \right)} \over 2} \cr & = 1 + {1 \over 2}\left[ {\cos 2\left( {x - a} \right) - \cos 2\left( {x - b} \right)} \right] \cr&= 1 + \sin \left( {2x - a - b} \right)\sin \left( {a - b} \right) \cr} \) Do đó Câu 1.62 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(\sin \left( {2x + {{9\pi } \over 2}} \right) - 3\cos \left( {x - {{15\pi } \over 2}} \right) = 1 + 2\sin x\) Tính giá trị gần đúng, chính xác đến phần trăm của các nghiệm đó. Giải Do \(\sin \left( {2x + {{9\pi } \over 2}} \right) = \cos 2x\) và \(\cos \left( {x - {{15\pi } \over 2}} \right) = - \sin x\) nên phương trình đã cho có thể viết thành \(\cos 2x + 3\sin x = 1 + 2\sin x\) hay \(\sin x - 2{\sin ^2}x = 0.\) Trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right],\) phương trình này có các nghiệm \(x = 0,x = \pi \approx 3,14;x = 2\pi \approx 6,28;x = {\pi \over 6} \approx 0,52\) và \(x = {{5\pi } \over 6} \approx 2,62\) Câu 1.66 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm thuộc khoảng\(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình \({{\sqrt {1 + \cos x} + \sqrt {1 - \cos x} } \over {\cos x}} = 4\sin x\) Giải Điều kiện xác định của phương trình \(\cos x \ne 0.\) Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình: \(\sqrt 2 \left( {\left| {\cos {x \over 2}} \right| + \left| {\sin {x \over 2}} \right|} \right) = 2\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Do \(x = \pi \) không là nghiệm của (1) nên ta chỉ cần xét hai khả năng sau: 1) \(x \in \left( {0;\pi } \right).\) Lúc này \(0 < {x \over 2} < {\pi \over 2},\) kéo theo \(\cos {x \over 2} > 0\) và \(\sin {x \over 2} > 0\). Do đó (1) trở thành \({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} + \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x \) \(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr x = {{3\pi } \over {10}} + {{4l\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\) Để tìm nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right),\) ta cần tìm k và l nguyên sao cho \( \bullet \,\,0 < {\pi \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < \pi \Leftrightarrow - {1 \over 8} < k < {5 \over 8} \Leftrightarrow k = 0.\) Ta nhận \(x = {\pi \over 6}\) \( \bullet \,\,0 < {{3\pi } \over {10}} + l{{4\pi } \over 5} < \pi \Leftrightarrow - {3 \over 8} < l < {7 \over 8} \Leftrightarrow l = 0.\) Ta nhận \(x = {{3\pi } \over {10}}\) 2) \(x \in \left( {\pi ;2\pi } \right).\) Lúc này \({\pi \over 2} < {x \over 2} < \pi ,\) kéo theo \(\cos {x \over 2} < 0\) và \(\sin {x \over 2} > 0\). Do đó (1) trở thành \({1 \over {\sqrt 2 }}\left( {\sin {x \over 2} - \cos {x \over 2}} \right) = \sin 2x\) \(\Leftrightarrow \sin \left( {{x \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = \sin 2x \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over 6} + {{4k\pi } \over 3} \hfill \cr x = {\pi \over 2} + l{{4\pi } \over 5} \hfill \cr} \right.\) Tương tự trên, ta có \( \bullet \,\,\pi < - {\pi \over 6} + k{{4\pi } \over 3} < 2\pi \Leftrightarrow {7 \over 8} < k < {{13} \over 8} \Leftrightarrow k = 1.\) Ta nhận được \(x = - {\pi \over 6} + {{4\pi } \over 3} = {{7\pi } \over 6}\) \( \bullet \,\,\pi < {\pi \over 2} + l{{4\pi } \over 5} < 2\pi \Leftrightarrow {5 \over 8} < l < {{15} \over 8} \Leftrightarrow l = 1.\) Ta nhận được \(x = {\pi \over 2} + {{4\pi } \over 5} = {{13\pi } \over {10}}\) Kết luận: Trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right),\) phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(x = {\pi \over 6},x = {{3\pi } \over {10}},x = {7 \pi \over 6}\) và \(x = {{13\pi } \over {10}}\) Câu 1.67 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho phương trình \(m\sin x + (m + 1)cosx = {m \over {\cos x}}\) a) Giải phương trình khi \(m = {1 \over 2}\) b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm. Giải a) cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho cosx Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với \(\tan x\) \(\eqalign{ & {1 \over 2}\tan x + {3 \over 2} = {1 \over 2}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}{\tan ^2}x - {1 \over 2}\tan x - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = - 1 \hfill \cr \tan x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{ - \pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr x = \alpha + l\pi \text{ với }\tan \alpha = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) b) \(m \le - 4\) hoặc \(m > 0\) ĐKXĐ của phương trình là \(\cos x \ne 0.\) Với điều kiện đó, chia hai vế cho \(\cos x\) và đặt \(\tan x = t\) ta được phương trình. \(m{t^2} - mt - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\) Do phương trình \(\tan x = t\) có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm. +) Xét m = 0 phương trình vô nghiêm. +) Xét \(m\ne 0\) ta có (1) có nghiệm khi và chỉ khi: \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m \ge 0 \hfill \cr m \le - 4 \hfill \cr} \right.\) Kết hợp với điều kiện \(m\ne 0\) thì \(m \le - 4\) hoặc \(m > 0\) phương trình đã cho có nghiệm.
