Câu 3.45 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \({u_1} = 3\) và \({u_2} = 2.\) a) Hãy tính công bội q của cấp số nhân đã cho. b) Hãy tính \({u_3},{u_4},{u_5}\) và \({u_6}.\) Giải \(\eqalign{ & a)\,\,\,\,q = {{{u_2}} \over {{u_1}}} = {2 \over 3} \cr & b)\,\,\,\,{u_3} = 2.{2 \over 3} = {4 \over 3} \cr & {u_4} = {4 \over 3}.{2 \over 3} = {8 \over 9} \cr & {u_5} = {8 \over 9}.{2 \over 3} = {{16} \over {27}} \cr & {u_6} = {{16} \over {27}}.{2 \over 3} = {{32} \over {81}} \cr} \) Câu 3.46 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Trong các số sau, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó. a) Dãy số \(({a_n})\) xác định bởi \({a_1} = 1\) và \({a_{n + 1}} = {{{a_n}} \over 7}\) với mọi \(n \ge 1;\) b) Dãy số \(({b_n})\) xác định bởi \({b_1} = 3\) và \({b_{n + 1}} = {{{b_n}} \over n}\) với mọi \(n \ge 1;\) c) Dãy số \(({c_n})\) xác định bởi \({c_1} = 2\) và \({c_{n + 1}} = {6 \over {{c_n}}}\) với mọi \(n \ge 1;\) d) Dãy số \(({d_n})\) mà \({d_{n + 1}} = 3{d_n}\) với mọi \(n \ge 1.\) Giải a) Dãy số \(({a_n})\) là một cấp số nhân với công bội bằng \({1 \over 7}.\) b) Dãy số \(({b_n})\) không là một cấp số nhân. c) Dãy số \(({c_n})\) không là một cấp số nhân. d) Dãy số \(({d_n})\) là một cấp số nhân với công bội bằng 3. Câu 3.47 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9\) với mọi \(n \ge 1.\) Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\), xác định bởi \(({v_n}) = {u_n} + 3\) với mọi \(n \ge 1,\) Là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. Giải Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) ta có \({u_{n + 1}} + 3 = 4.\left( {{u_n} + 3} \right)\,\,\forall n \ge 1.\) Từ đó, theo định nghĩa dãy số \(({v_n})\) ta được \({v_{n + 1}} = 4.{v_n}\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({v_n})\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 4\) và số hạng đầu \({v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\). Câu 3.48 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét dãy số\(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = a\) và \({u_{n + 1}} = {{12} \over {{u_n}}}\) với mọi \(n \ge 1,\) trong đó a là một số thực khác 0. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân. Giải Từ giả thiết \(a \ne 0\) dễ dàng suy ra \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra tất cả các số hạng của dãy số đó có cùng một loại dấu. Giả sử \(({u_n})\) là một cấp số nhân. Khi đó, tồn tại một hằng số \(q > 0\) sao cho \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\) với mọi \(n \ge 1\) (1) Từ (1) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra \(u_n^2 = {{12} \over q}\) với mọi \(n \ge 1\) (2) Xét hai trường hợp sau: - Trường hợp 1: \(a > 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được \({u_n} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\) Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a = 2\sqrt 3 \) - Trường hợp 2: \(a < 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} < 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được \({u_n} = - {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\) Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a = - 2\sqrt 3 \) Ngược lại: - Với \(a = 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} = 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\) - Với \(a = - 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} = - 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\) Tóm lại, tất cả các giá trị a cần tìm là \(a = 2\sqrt 3 \) và \(a = - 2\sqrt 3 \). Câu 3.49 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 6. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó. Giải Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho. Theo giả thiết ta có \({u_2} = 3,{u_4} = 6\) và theo yêu cầu của bài rút ra ta cần tính \({u_1},{u_3},{u_5}.\) Ta có \(u_3^2 = {u_2}.{u_4} = 3.6 = 18,{u_1} = {{u_2^2} \over {{u_3}}} = {9 \over {{u_3}}},\) \({u_5} = {{u_4^2} \over {{u_3}}} = {{36} \over {{u_3}}}\;\;\;\;(1)\) Vì cấp số nhân đã cho có công bội dương và \({u_2} > 0\) nên \({u_3} > 0.\) Do đó, từ (1) ta được \({u_3} = 3\sqrt 2 ,{u_1} = {{3\sqrt 2 } \over 2},{u_5} = 6\sqrt 2 \) Câu 3.50 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một cấp số nhân có 7 số hạng với số hạng đầu và cộng bội là các số âm. Biết rằng tích của số hạng thứ ba và số hạng số hạng thứ năm bằng 5184, tích của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 746496. Hãy tìm cấp số nhân đó. Giải Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số nhân cần tìm. Theo giả thiết ta có \({u_3}.{u_5} = 5184\) và \({u_5}.{u_7} = 746496\) Vì cấp số nhân đã cho có số hạng đầu và công bội là các số âm nên \({u_1} < 0,{u_2} > 0,{u_3} < 0,{u_4} > 0,\) \({u_5} < 0,{u_6} > 0,{u_7} < 0\) Từ đó \(\left. \matrix{ u_4^2 = 5182 \Rightarrow {u_4} = 72 \hfill \cr u_6^2 = 746496 \Rightarrow {u_6} = 864 \hfill \cr} \right\}\) \(\Rightarrow u_5^2 = {u_4}.{u_6} = 72 \times 864 = 62208 \) \(\Rightarrow {u_5} = - 144\sqrt 3 \) Suy ra \({u_7} = {{746496} \over { - 144\sqrt 3 }} = - 1728\sqrt 3 \) \({u_3} = {{5184} \over { - 144\sqrt 3 }} = - 12\sqrt 3 \) \({u_2} = {{u_3^2} \over {{u_4}}} = {{432} \over {72}} = 6\) \({u_1} = {{u_2^2} \over {{u_3}}} = {{36} \over { - 12\sqrt 3 }} = - \sqrt 3 \) Vậy cấp số nhân cần tìm là: \( - \sqrt 3 ,6, - 12\sqrt 3 ,72, - 144\sqrt 3 ,864, - 1728\sqrt 3 \) Câu 3.51 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tam giác có ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Xây dựng dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2},{A_3}{B_3}{C_3},...\) sao cho tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) là một tam giác đều cạnh 1 và với mỗi số nguyên \(n \ge 2,\) tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác trung của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}.\) Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu \({r_n}\) tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\). Chứng minh rằng dãy số \(({r_n})\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. Giải Từ định nghĩa tam giác trung bình suy ra mỗi cạnh tam giác \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}\) là một đường trung bình của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) Vì thế, giả thiết tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác đều suy ra \({A_n}{B_n}{C_n}\) là tam giác đều với mọi \(n \ge 1\). Từ đó kí hiệu \({a_n}\) là độ dài cạnh của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\), ta có \({r_{n + 1}} = {{{a_{n + 1}}} \over {\sqrt 3 }} = {{{a_n}} \over {2.\sqrt 3 }} = {{{r_n}} \over 2}\) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({r_n})\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {1 \over 2}\) và số hạng đầu \({r_1} = {{{a_1}} \over {\sqrt 3 }} = {1 \over {\sqrt 3 }}.\) Theo định lí về số hạng tổng quát của một cấp số nhân, ta có số hạng tổng quát của cấp số nhân nói trên là : \({r_n} = {r_1} \times {q^{n - 1}} = {1 \over {\sqrt 3 }} \times {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} = {1 \over {\sqrt 3 {{.2}^{n - 1}}}}.\) Câu 3.52 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho một cấp số có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó. Giải Với mỗi\(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số nhân đã cho. Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đó. Theo giả thiết ta có \({u_4} = 6,{u_7} = 243{u_2}\) và theo yêu cầu của bài ra ta cần tính \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6},{u_7}.\) Hiển nhiên có \({u_2} \ne 0\); vì nếu ngược lại thì phải có \({u_4} = 0\), trái với giả thiết của bài ra. Vì thế, từ giả thiết \({u_7} = 243{u_2}\), theo công thức xác định số hạng tổng quát của một cấp số nhân, ta được \(243 = {{{u_7}} \over {{u_2}}} = {{{u_1}.{q^6}} \over {{u_1}.q}} = {q^5}.\) Suy ra \(q = 3.\)Vì thế, từ giả thiết\({u_4} = 6\) ta được \({u_1} = {{{u_4}} \over {{q^3}}} = {6 \over {{3^3}}} = {2 \over 9}.\) Từ đó : \({u_2} = {u_1}.q = {2 \over 3},{u_3} = {u_2}.q = 2,{u_5} = {u_4}.q = 18,\) \({u_6} = {u_5}.q = 54,{u_7} = {u_6}.q = 162.\) Câu 3.53 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \({u_{20}} = 8{u_{17}}\) và \({u_3} + {u_5} = 272.\) Hãy tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. Giải Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho, ta có \(\left\{ \matrix{ {u_{20}} = 8{u_{17}} \hfill \cr {u_3} + {u_5} = 272 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^{19}} = 8.{u_1}.{q^{16}} \hfill \cr {u_1}.({q^2} + {q^4}) = 272 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^{16}}.({q^3} - 8) = 0 \hfill \cr {u_1}.{q^2}(1 + {q^2}) = 272 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)\) Dễ thấy, \({u_1}.q \ne 0\); vì ngược lại thì phải có \({u_3} = {u_5} = 0,\) trái với giả thiết của bài ra. Do đó, ta có \((I)\) \( \Leftrightarrow {u_1} = 13,6\) và \(q = 2.\) Câu 3.54 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \(6{u_2} + {u_5} = 1\) và \(3{u_3} + 2{u_4} = - 1.\) Hãy tìm số hạng đầu tổng quát của cấp số nhân đó. Giải Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho, ta có \(\left\{ \matrix{ 6{u_2} + {u_5} = 1 \hfill \cr 3{u_3} + 2{u_4} = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.(6q + {q^4}) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\,(1) \hfill \cr {u_1}.(3{q^2} + 2{q^3}) = - 1\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\) Dễ thấy, \({u_1}.q \ne 0\). Do đó cộng theo vế (1) và (2) ta được \({q^3} + 2{q^2} + 3q + 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {q + 2} \right)\left( {{q^2} + 3} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow q = - 2.\) Từ đó suy ra \({u_1} = {1 \over 4}\) và \(q = - 2.\) Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là : \({u_n} = {1 \over 4} \times {( - 2)^{n - 1}}.\) Câu 3.55 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số nhân \(({u_n})\) và cho các số nguyên dương m, k với \(m < k.\) Chứng minh rằng \(\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} .\) Áp dụng. Hãy tìm một cấp số nhân với công bội âm, có 7 số hạng, số hạng thứ hai bằng 2 và tích của số hạng đầu với số hạng cuối bằng 18. Giải Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân \(({u_n})\). Xét hai trường hợp sau : \( - \) Trường hợp 1 : \(q = 0.\) Khi đó \({u_n} = 0\) với mọi \(n \ge 2.\) Vì thế, hiển nhiên ta có điều cần chứng minh. \( - \) Trường hợp 2 : \(q \ne 0.\) Khi đó \(\eqalign{ & {u_{k - m}} = {u_1}.{q^{k - m - 1}} = {{{u_1}.{q^{k - 1}}} \over {{q^m}}} = {{{u_k}} \over {{q^m}}}, \cr & {u_{k + m}} = {u_1}.{q^{k + m - 1}} = {u_1}.{q^{k - 1}}.{q^m} = {u_k}.{q^m}. \cr} \) Từ đó suy ra \({u_{k - m}}.{u_{k + m}} = u_k^2\) hay \(\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} \) Áp dụng. Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số nhân cấn tìm. Theo giả thiết của bài ra, ta có \({u_3} = 2\) và \({u_1}.{u_7} = 18.\) Vì cấp số nhân cần tìm có công bội âm và \({u_3} > 0\) nên \({u_4} < 0\). Do đó, áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho \(m = 3\) và \(k = 4,\) ta được \({u_4} = - \sqrt {{u_1}.{u_7}} = - \sqrt {18} = - 3\sqrt 2 .\) Suy ra \(q = {{{u_4}} \over {{u_3}}} = - {{3\sqrt 2 } \over 2}.\) Do đó \(\eqalign{ & {u_2} = {{{u_3}} \over q} = - {{2\sqrt 2 } \over 3},{u_1} = {{{u_2}} \over q} = {4 \over 9},\cr&{u_5} = {u_4},q = 9,{u_6} = {u_5}.q = - {{27\sqrt 2 } \over 2}, \cr & {u_7} = {u_6}.q = {{81} \over 2} \cr} \) Vậy, cấp số nhân cần tìm là : \({4 \over 9}, - {{2\sqrt 2 } \over 3},2, - 3\sqrt 2 ,9, - {{27\sqrt 2 } \over 2},{{81} \over 2}.\) Câu 3.56 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy tính các số sau: a) Tổng tất cả số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng \(\sqrt 2 ,\) số hạng thứ hai bằng \( - 2\) và số hạng cuối bằng \(64\sqrt 2 ;\) b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng đầu bằng \({4 \over 3}\) và số hạng cuối bằng \({{81} \over {256}}.\) Giải a) Kí hiệu q là công bội và k là số số hạng của cấp số nhân đã cho. Ta có \(q = {{ - 2} \over {\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \). Suy ra \(64\sqrt 2 = {u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}} = \sqrt 2 .{( - \sqrt 2 )^{k - 1}} \Rightarrow k = 13.\) Từ đó, kí hiệu tổng cần tính là S, ta được \(S = {u_1} \times {{1 - {q^{13}}} \over {1 - q}} = \sqrt 2 \times {{1 - {{( - \sqrt 2 )}^{13}}} \over {1 - ( - \sqrt 2 )}} = - 126 + 127\sqrt 2 .\) b) Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có \({{81} \over {256}} = {u_{11}} = {u_1}.{q^{10}} = {4 \over 3} \times {q^{10}}\) \(\Rightarrow {q^{10}} = {{243} \over {1024}} \Rightarrow q = {{\sqrt 3 } \over 2}\) Từ đó, kí hiệu tổng cần tính là S, ta được \(S = {u_1} \times {{1 - {q^{11}}} \over {1 - q}} = {4 \over 3} \times {{1 - {{\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^{11}}} \over {1 - \left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}} = {{3367 + 1562.\sqrt 3 } \over {768}}.\) Câu 3.57 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \(8{u_2} - 5\sqrt 5 .{u_5} = 0\) và \(u_1^3 + u_3^3 = 189\). Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Giải Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đã cho. Dễ thấy,\({u_1}.q \ne 0.\) Do đó, Ta có \(\left\{ \matrix{ 8.{u_2} - 5\sqrt 5 .{u_5} = 0 \hfill \cr u_1^3 + u_3^3 = 189 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.q.(8 - 5\sqrt 5 .{q^3}) = 0 \hfill \cr u_1^3.(1 + {q^6}) = 189 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ q = {2 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr {u_1} = 5 \hfill \cr} \right.\) Từ đó, kí hiệu S là tổng cần tìm, ta được \(S = 5 \times {{1 - {{\left( {{2 \over {\sqrt 5 }}} \right)}^{12}}} \over {1 - \left( {{2 \over {\sqrt 5 }}} \right)}} = {{57645 + 23058.\sqrt 5 } \over {3125}}.\) Câu 3.58 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số nhân \(({u_n})\) với công bội \(q \in \left( {0;1} \right).\) Hãy tính tổng 25 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó, biết rằng \({u_1} + {u_3} = 3\) và \(u_1^2 + u_3^2 = 5\). Giải Ta có \(\left\{ \matrix{ {u_1} + {u_3} = 3 \hfill \cr u_1^2 + u_3^2 = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 3\,\,\,(1) \hfill \cr u_1^2\left( {1 + {q^4}} \right) = 5 \hfill \cr} \right.\,\,(I)\) Từ (1) suy ra \(u_1>0\). Do đó: \((I) \Leftrightarrow\left\{ \matrix{ {u_1}.(1 + {q^2}) = 3 \hfill \cr 2{q^4} - 5{q^2} + 2 = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.(1 + {q^2}) = 3 \hfill \cr q = {1 \over {\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,q \in \left( {0;1} \right)} \right)\, \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1} = 2 \hfill \cr q = {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\) Từ đó, kí hiệu S là tổng cần tính, ta được \(S = 2 \times {{1 - {{\left( {{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)}^{25}}} \over {1 - \left( {{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)}} = {{8191 + 4095.\sqrt 2 } \over {2048}}\) Câu 3.59 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \(3\sqrt 3 .{u_2} + {u_5} = 0\) và \(u_3^2 + u_6^2 = 63.\) Hãy tính tổng \(S = \left| {{u_1}} \right| + \left| {{u_2}} \right| + \left| {{u_3}} \right| + ... + \left| {{u_{15}}} \right|.\) Giải Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đã cho. Dễ thấy, \({u_1}.q \ne 0.\) Do đó, ta có \(\left\{ \matrix{ 3\sqrt 3 .{u_2} + {u_5} = 0 \hfill \cr u_3^2 + u_6^2 = 63 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.q\left( {3\sqrt 3 + {q^3}} \right) = 0 \hfill \cr u_1^2.{q^4}.\left( {1 + {q^6}} \right) = 63 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ q = - \sqrt 3 \hfill \cr \left| {{u_1}} \right| = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)\) Vì dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bội q nên dãy số \(\left( {\left| {{u_n}} \right|} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(\left| q \right|\). Vì thế, kí hiệu S là tổng cần tính, từ (I) ta được. \(S = {1 \over 2} \times {{1 - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{15}}} \over {1 - \sqrt 3 }}\) Câu 3.60 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_{n + 1}} = 3.u_n^2 - 10\) với mọi \(n \ge 1.\) Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\) vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. Giải Ta chứng minh \(u_n=2\) (1) với mọi \(n \ge 1.\)+) Với n = 1 ta có \(u_1=2\) +) Giả thiết (1) đúng với n = k, tức là: \({u_k} = 2\) Ta chứng mình (1) đúng với n = k + 1 \({u_{k + 1}} = 3.u_k^2 - 10 = {3.2^2} - 10 = 2\) Vậy \({u_n} = 2\) với mọi \(n \ge 1\) Câu 3.61 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Ba số x , y , z , theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội \(q \ne 1\); đồng thời, các số x, 2y, 3z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Hãy tìm q. Giải Nhận thấy \(x \ne 0,\) vì nếu ngược lại thì \(y = z = 0\) và do đó cấp số cộng \(x,2y,3z.\) Vì \(x,y,z\) là cấp số nhân với công bội q nên \(y = xq\) và \(z = x{q^2}\) (1) Vì \(x,2y,3z\) là cấp số cộng nên \(4y = x + 3z\) (1) Từ (1) và (2) ta được \(4xq = x.\left( {1 + 3{q^2}} \right)\) \( \Leftrightarrow 3{q^2} - 4q + 1 = 0\) (vì \(x \ne 0\)) \(q = {1 \over 3}\) (vì \(q \ne 1\) theo giả thiết) Câu 3.62 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Ba số x , y , z , theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Hãy tìm ba số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13. Giải Vì dãy số \(x,y,z\) là một cấp số nhận nên \({y^2} = x.z\) Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng nhận các số \(x,y,z\) lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ 9, ta có \(y - x = 2d\) và \(x - y = \left( {z - x} \right) - \left( {y - x} \right) = 8d - 2d = 6d.\) Từ đó, suy ra \(z - y = 3.\left( {y - x} \right),\) hay \(z + 3x = 4y.\) Như vậy, từ các giả thiết của bài ra ta được \(\left\{ \matrix{ {y^2} = x.z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr z + 3x = 4y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr z + y + z = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \hfill \cr} \right.\) Từ (2) và (3), ta có \(x = {{5y - 13} \over 2}\) và \(z = {{39 - 7y} \over 2}.\) Thế x và z vào (1), ta được \(4{y^2} = \left( {5y - 13} \right)\left( {39 - 7y} \right),\,\,hay\,\,3{y^2} - 22y + 39 = 0\) Từ \(y = 3\) hoặc \(y = {{13} \over 3}\) - Với \(y = 3\) ta có \(x = {{5.3 - 13} \over 2} = 1\,\) và \(z = {{39 - 7.3} \over 2} = 9\) - Với \(y = {{13} \over 3}\) ta có \(x = {{5 \times {{13} \over 3} - 13} \over 2} = {{13} \over 3}\) và \(z = {{39 - 7 \times {{13} \over 3}} \over 2} = {{13} \over 3}\) Ngược lại, dễ thấy các số \(x = 1,y = 3,z = 9,\) cũng như các số \(x = {{13} \over 3}\),\(y = {{13} \over 3}\),\(z = {{13} \over 3}\), đều thỏa mãn các điều kiện của đề bài. Câu 3.63 trang 95 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Ba số x , y , z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; ba số x, \(y - 4\), z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, các số \(x,y - 4,z - 9\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm x, y , z. Giải Từ các giả thiết của bài ra, ta có \(\left\{ \matrix{ {y^2} = xz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \cr {\left( {y - 4} \right)^2} = xz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \cr 2\left( {y - 4} \right) = x + z - 9 \hfill \cr} \right.\) Giải hệ trên rồi kiểm tra các nghiệm tìm được, ta được tất cả các số \(x,y,z\) cần tìm là \(x = 1,y = 2,z = 4\) và \(x = 4,y = 2,z = 1\)
