Câu 4.1 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng các dãy số sau với số hạng tổng quát có giới hạn 0: a) \({{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over n+ {1 \over 2}}\) b) \({1 \over {n!}}\) c) \({{\sin n} \over {n\sqrt n + 1}}\) Giải a) \(\left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + {1 \over 2}}}} \right| = {1 \over {\left| {n + {1 \over 2}} \right|}} \le {1 \over n};\,\,\forall n > 0\) \(\lim {1 \over n} = 0\) Do đó: \(\lim {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + {1 \over 2}}} = 0\) b) \({1 \over {n!}} = {1 \over {1.2...n}} \le {1 \over n};\,\,\forall n > 0\) \(\lim {1 \over n} = 0\) Do đó: \(\lim {1 \over {n!}} = 0\) c) Vì \(\left| {{{\sin n} \over {n\sqrt n + 1}}} \right| = {{\left| {\sin n} \right|} \over {n\sqrt n + 1}} \le {1 \over n}\) với mọi n và \(\lim {1 \over n} = 0\) nên \(\lim {{\sin n} \over {n\sqrt n + 1}} = 0\) Câu 4.2 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = {{1 + \cos {n^2}} \over {2n + 1}};\,\,{v_n} = {{1 + \sin 2n} \over {{n^2} + n}}\) Có giới hạn 0 Giải \(0 \le {{1 + \cos {n^2}} \over {2n + 1}} \le {2 \over {2n + 1}} \le {1 \over n}\) Do đó \(\lim {u_n} = 0\) \(0 \le {v_n} \le {{n + 1} \over {n\left( {n + 1} \right)}} = {1 \over n}\) Do đó \(\lim {v_n} = 0\) Câu 4.4 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \matrix{ {u_1} = {1 \over 4} \hfill \cr {u_{n + 1}} = u_n^2 + {{{u_n}} \over 2}\,\,\,\,\,voi\,\,moi\,\,\,n \hfill \cr} \right.\) Chứng minh rằng a) \(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n b) \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {3 \over 4}\)với mọi n Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\) Giải a) \(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n (1) +) Với n = 1 \({u_1} = {1 \over 4}\), (1) đúng +) Giả sử (1) đúng với n = k ta có \(0<u_k\le {1 \over 4}\) Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 \({u_{k + 1}} = u_k^2 + {{{u_k}} \over 2} = {u_k}.\left( {{u_k} + {1 \over 2}} \right) \le {1 \over 4}\) \(\left( {do\,\,0 < {u_k} \le {1 \over 4}} \right)\) Vậy (1) đã được chứng minh. b) \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {u_n} + {1 \over 2} \le {1 \over 4} + {1 \over 2} = {3 \over 4}\) với mọi n Từ đó suy ra \(\eqalign{ & {u_2} \le {3 \over 4}{u_1} \cr & {u_3} \le {3 \over 4}{u_2} \le {\left( {{3 \over 4}} \right)^2}{u_1},... \cr & 0 \le {u_n} < {\left( {{3 \over 4}} \right)^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 4}{\left( {{3 \over 4}} \right)^{n - 1}} \cr} \) Câu 4.6 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng a) \(\lim 2\left( {\sqrt {{n^2} + 1} - n} \right) = 0\) b) \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = 0\) Giải a) Nhân và chia biểu thức đã cho với \(\sqrt {{n^2} + 1} + n,\) ta được \(2\left( {\sqrt {{n^2} + 1} - n} \right) = {2 \over {\sqrt {{n^2} + 1} + n}} \le {2 \over {n + n}} = {1 \over n}\) Vậy \(\lim 2\left( {\sqrt {{n^2} + 1} - n} \right) = 0\) b) Nhân và chia biểu thức đã cho với \( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }\) \(\sqrt {n + 1} - \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le {1 \over {2n}}\) Vậy \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = 0\)
