Câu 4.7 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a) \(\lim \left( {3 + {{{n^2}\sin 3n} \over {{n^3} + 1}}} \right)\) b) \(\lim \left( {{n \over {{n^2} + 1}} - 1} \right)\) c) \(\lim {{2n} \over {2n + 1}}\) d) \(\lim {{n + 1} \over {2n + 1}}\) e) \(\lim {{{{5.2}^n} - \cos 5n} \over {{2^n}}}\) f) \(\lim {{{n^2} + 2n + 3} \over {2{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\) Giải a) \(\lim {{{n^2}\sin 3n} \over {{n^3} + 1}} = 0\) nên \(\lim \left( {3 + {{{n^2}\sin 3n} \over {{n^3} + 1}}} \right) = 3\) b) \(\lim {n \over {{n^2} + 1}}=0\) nên \(\lim \left( {{n \over {{n^2} + 1}} - 1} \right) = - 1\) c) \({u_n} = {{2n} \over {2n + 1}} = {{2n + 1 - 1} \over {2n + 1}} = 1 - {1 \over {2n + 1}}\) với mọi n Vì \(\lim \left( { - {1 \over {2n + 1}}} \right) = 0\) nên \(\lim {u_n} = 1\) d) \({u_n} = {{n + 1} \over {2n + 1}} = {1 \over 2} + {1 \over {2\left( {2n + 1} \right)}}\) với mọi n Do đó \(\lim {u_n} = {1 \over 2}\) e) \({u_n} = {{{{5.2}^n} - \cos 5n} \over {{2^n}}} = 5 - {{\cos 5n} \over {{2^n}}}\) Vì \(\lim {{\cos 5n} \over {{2^n}}} = 0\) nên \(\lim {u_n} = 5\) f) \({u_n} = {{{n^2} + 2n + 3} \over {2{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = {{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 2} \over {2{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = {1 \over 2} + {1 \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\) Vì \(\lim {1 \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = 0\) nên \(\lim {u_n} = {1 \over 2}\) Câu 4.8 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm \(\lim {u_n}\) với a) \({u_n} = {{2{n^5} - 7{n^2} - 3} \over {n - 3{n^5}}}\) b) \({u_n} = {{2{n^2} - n + 4} \over {\sqrt {2{n^4} - {n^2} + 1} }}\) c) \({u_n} = {{{n^3} - {n^2}\sin 3n - 1} \over {2{n^4} - {n^2} + 7}}\) d) \({u_n} = {{{{7.2}^n} + {4^n}} \over {{{2.3}^n} + {4^n}}}\) e) \({u_n} = {{{{5.2}^n} - {3^n}} \over {{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}\) f) \({u_n} = \sqrt {{{{n^6} + 3{n^3} - 3} \over {2{n^6} + {n^5} + 2}}} \) Giải a) \(\lim {u_n} = \lim {{2 - {7 \over {{n^3}}} - {3 \over {{n^5}}}} \over {{1 \over {{n^4}}} - 3}} = - {2 \over 3}\) b) \(\lim {u_n} = \lim {{2 - {1 \over n} + {4 \over {{n^2}}}} \over {\sqrt {2 - {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^4}}}} }} = {2 \over {\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \) c) \(\lim {u_n} = \lim {{{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}\sin 3n - {1 \over {{n^4}}}} \over {2 - {1 \over {{n^2}}} + {7 \over {{n^4}}}}} = 0\) d) \(\lim {u_n} = \lim {{7.{{\left( {{2 \over 4}} \right)}^n} + 1} \over {2.{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} + 1}} = 1\) e) Chia tử và mẫu của phân thức cho \({3^n},\) ta được \({u_n} = {{5{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1} \over {2{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} + 3}}\) Vì \(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0\) nên \(\lim {u_n} = {{5.0 - 1} \over {2.0 - 3}} = - {1 \over 3}\) f) Dễ dàng tìm được \(\lim {{{n^6} + 3{n^3} - 3} \over {2{n^6} + {n^5} + 2}} = {1 \over 2}\) Do đó \(\lim \sqrt {{{{n^6} + 3{n^3} - 3} \over {2{n^6} + {n^5} + 2}}} = \sqrt {{1 \over 2}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) Câu 4.9 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Chứng minh rằng nếu \(\lim {u_n} = 0\) và tồn tại số dương sao cho \(\left| {{v_n}} \right| \le c\) với mọi n thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = 0\) Giải Với mọi n, \(\left| {{u_n}{v_n}} \right| = \left| {{u_n}} \right|\left| {{v_n}} \right| \le c\left| {{u_n}} \right|\) Vì \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0\) nên \(\lim \left( {c\left| {{u_n}} \right|} \right) = 0.\) Từ đó suy ra \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = 0\) Câu 4.10 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {1 \over {\sqrt {{n^3} + 1} }} + {1 \over {\sqrt {{n^3} + 2} }} + ... + {1 \over {\sqrt {{n^3} + n} }}\) Giải Vì \({1 \over {\sqrt {{n^3} + k} }} \le {1 \over {\sqrt {{n^3} + 1} }}\) với mọi \(k = 1,2,3,...,n,\) nên \(0 < {u_n} \le {n \over {\sqrt {{n^3} + 1} }} < {1 \over {\sqrt n }}\) với mọi n Vì \(\lim {1 \over {\sqrt n }} = 0,\) nên từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\) Câu 4.11 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \matrix{ {u_1} = 10 \hfill \cr {u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} \hfill \cr} \right.\) Chứng minh rằng: a) \({u_n} > 1\) với mọi n b) \({u_{n + 1}} - 1 < {{{u_n} - 1} \over 2}\) với mọi n c) Tìm \(\lim {u_n}\) Giải a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp b) \({u_{n + 1}} - 1 < \sqrt {{u_n}} - 1 = {{{u_n} - 1} \over {\sqrt {{u_n}} + 1}} \le {{{u_n} - 1} \over 2}\) với mọi n vì \(\sqrt {{u_n}} > 1\) c) Đặt \({v_n} = {u_n} - 1,\) ta có \(0 < {v_{n + 1}} \le {1 \over 2}{v_n}\) với mọi n Do đó \({v_2} \le {1 \over 2}{v_1}\); \({v_3} \le {1 \over 2}{v_2} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}{v_1}\) Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được \(0 < {v_n} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}{v_1} = 9{\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}\) Vì \(\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} = 0\) nên từ đó suy ra \(\lim {v_n} = 0\) Vậy \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 1\) Câu 4.12 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \matrix{ {u_1} = - 5 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {2 \over 3}{u_n} - 6 \hfill \cr} \right.\) Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi \({v_n} = {u_n} + 18\) a) Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn b) Tính tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) và tìm \(\lim {u_n}\) Giải a) \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 18 = {2 \over 3}{u_n} - 6 + 18 = {2 \over 3}{u_n} + 12\) Thay \({u_n} = {v_n} - 18\) vào đẳng thức trên, ta được \({v_{n + 1}} = {2 \over 3}\left( {{v_n} - 18} \right) + 12 = {2 \over 3}{v_n}\) Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {2 \over 3}\) b) Tổng của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) là \(S = {{{v_1}} \over {1 - q}} = {{13} \over {1 - {2 \over 3}}} = 39\) Vì \(\lim {v_n} = 0\) nên \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = - 18\) Câu 4.13 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Người ta xếp các hình vuông kề với nhau như trong hình 4.1 dưới đây, mỗi hình vuông có độ dài cạnh bằng nửa độ dài cạnh của hình vuông trước nó. Nếu hình vuông đầu tiên có cạnh dài 10cm thì trên tia Ax cần có một đoạn thẳng dài bao nhiêu xentimet để có thể xếp được tất cả các hình vuông đó ? Giải Tổng các cạnh nằm trên tia Ax của các hình vuông đó là \(10 + 5 + {5 \over 2} + {5 \over {{2^2}}} + ... = {{10} \over {1 - {1 \over 2}}} = 20\,\,\left( {cm} \right)\) Câu 4.14 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa. Giải Đặt \({h_1} = 81\,\left( m \right)\). Sau lần chạm đất đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là \({h_2} = {2 \over 3}{h_1}.\) Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao \({h_2},\) chạm đất và nảy lên độ cao \({h_3} = {2 \over 3}{h_2}\) rồi rơi từ độ cao \({h_3}\) và cứ tiếp tục như vây. Sau lần chạm đất thứ n từ độ cao \({h_n},\) quả bóng nảy lên độ cao \({h_{n + 1}} = {2 \over 3}{h_n},....\)Tổng các khoảng cách rơi và nảy lên của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa là \(\eqalign{ & d = \left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ... + {h_n} + ...} \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left( {{h_2} + {h_3} + ... + {h_n} + ...} \right) \cr} \) d là tổng của hai cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu, theo thứ tự là \({h_1},{h_2}\) và có cùng công bội \(q = {2 \over 3}.\) Do đó \(d = {{{h_1}} \over {1 - {2 \over 3}}} + {{{h_2}} \over {1 - {2 \over 3}}} = 3\left( {{h_1} + {h_2}} \right) = 405\,\,\left( m \right)\) Câu 4.15 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số: a) 0,222… b) 0,393939… c) 0,27323232… Giải a) \({2 \over 9}\) b) \({{13} \over {33}}\) c) \(0,27323232 \ldots = {{27} \over {100}} + {{32} \over {10000}}\) \(+ {{32} \over {10000}}\left( {{1 \over {100}}} \right) + {{32} \over {10000}}{\left( {{1 \over {100}}} \right)^2} + ...\) Dãy số \({{32} \over {10000}},{{32} \over {10000}}\left( {{1 \over {100}}} \right),{{32} \over {10000}}{\left( {{1 \over {100}}} \right)^2},...\) Là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = {{32} \over {10000}}\) và công bội \(q = {1 \over {100}}.\) Tổng của nó là \(S = {{{u_1}} \over {1 - q}}:\) \({{32} \over {10000}} + {{32} \over {10000}}\left( {{1 \over {1000}}} \right) + {{32} \over {1000}}{\left( {{1 \over {100}}} \right)^2} + ...\) \(= {{32} \over {10000}}{1 \over {1 - {1 \over {100}}}} = {{32} \over {9900}}\) Do đó \(0,27323232 \ldots = {{27} \over {100}} + {{32} \over {9900}} = {{541} \over {1980}}\) Câu 4.16 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hai số dương a, b và dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {{{a^n} - {b^n}} \over {{a^n} + {b^n}}}\) Tìm \(\lim {u_n}\) trong các trường hợp sau: \(a = b\,\,;\,\,a < b\,\,;\,\,a > b\) Giải - Nếu \(a = b\) thì \(\lim {u_n} = 0\) - Nếu \(a < b\) thì chia tử và mẫu của phân thức cho \({b^n}.\) Từ đó tìm được \(\lim {u_n} = - 1\) - Nếu \(a > b\) thì chia tử và mẫu của phân thức cho \({a^n}.\) Từ đó tìm được \(\lim {u_n} = 1\) Câu 4.17 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\) H.D. Xét trường hợp \(0 < q < 1.\) Khi đó \(p = {1 \over q} > 1.\) Do đó \(p = 1 + h\) với \(h = p - 1 > 0\) và \({1 \over {{q^n}}} = {p^n} = {\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh\) với mọi n Giải Chỉ cần chứng minh cho trường hợp \(0 < q < 1.\) Khi đó, đặt \(p = {1 \over q},\) ta được \(p > 1.\) Do đó \(p = 1 + h\) với \(h = p - 1 > 0\) Ta có \({1 \over {{q^n}}} = {p^n} = {\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh > nh\) với mọi n Do đó \(0 < {q^n} < {1 \over h}.{1 \over n}\) với mọi n Vì \(\lim {1 \over n} = 0\) nên từ đó suy ra \(\lim {q^n} = 0\) Câu 4.18 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = \cos n\pi ,\,{v_n} = \sin \left( {n\pi + {\pi \over 2}} \right)\) Có giới hạn hay không ? Giải Cả hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) đều không có giới hạn. Câu 4.19 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Chứng minh rằng nếu dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn và dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn thì dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn. b) Dãy số \(\left( {{{\left( { - 1} \right)}^n} + {1 \over n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn hay không ? Giải a) Đặt \({{\rm{w}}_n} = {u_n} + {v_n}.\) Ta chứng minh dãy số \(\left( {{\rm{w}_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn, bằng phản chứng. Giả sử \(\lim {{\rm{w}}_n} = M \in R.\) Khi đó \(\lim {v_n} = \lim \left( {{{\rm{w}}_n} - {u_n}} \right) = M - L.\) Ta đi đến mâu thuẫn b) Chứng minh tương tự câu a): Dãy số \({\left( { - 1} \right)^n}\) không có giới hạn hữu hạn và dãy số \(\left( {{1 \over n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn \(\left( {\lim {1 \over n} = 0} \right).\) Do đó dãy số \(\left( {{{\left( { - 1} \right)}^n} + {1 \over n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn. Câu 4.20 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Chứng minh rằng nếu dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn với mọi số \(c \ne 0,\) dãy \(\left( {c{u_n}} \right)\) cũng không có giới hạn hữu hạn b) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn. Có thể kết luận rằng dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn không ? Giải a) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng. b) Dãy \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có thể có giới hạn hoặc không có giới hạn hữu hạn. Chẳng hạn hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\) và \({v_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\) đều không có giới hạn hữu hạn, nhưng dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) là dãy số có giới hạn hữu hạn (\({u_n} + {v_n} = 0\) với mọi n) Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là một dãy số không có giới hạn hữu hạn thì dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \left( {2{u_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.
