Câu 4.60 trang 144 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước: a) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {x^2} + 4\text{ với }x < 2 \hfill \cr 2x + 1\text{ với }x \ge 2 \hfill \cr} \right.\) tại đểm \(x = 2\) b) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{{x^2} - 4} \over {x + 2}}\text{ với }x \ne 2 \hfill \cr - 4\text{ với }x = - 2 \hfill \cr} \right.\) tại điểm\(x = - 2\) c) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {x^2}\text{ với }x < 0 \hfill \cr 1 - \sqrt x \text{ với }x \ge 0 \hfill \cr} \right.\) tại đểm \(x = 0\) d) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ 4 - 3{x^2}\text{ với }x \le - 2 \hfill \cr {x^3}\text{ với }x > - 2 \hfill \cr} \right.\) tại đểm \(x = - 2\) . Giải a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + 4} \right) = 8;f\left( 2 \right) = 5.\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne f\left( 2 \right)\) nên hàm số \(f\) gián đoạn tại điểm \(x = 2.\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {-2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {-2 }} {{{x^2} + 4} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {-2 }} \left( {x - 2} \right) = - 4 \) \(= f\left( -2 \right)\) Vậy hàm số \(f\) liên tục tại điểm \(x = - 2\) c) Hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 0;\) d) Hàm số gián đoạn tại điểm \(x = - 2.\) Câu 4.61 trang 144 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các khoảng và nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục: a) \(f\left( x \right) = {{x + 1} \over {{x^2} + 7x + 10}}\) b)\(f\left( x \right) = \sqrt {3x - 2} \) c) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt x - 3\) d) \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\sin x.\) Giải a) Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} + 7x + 10 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\) và \(x \ne - 5.\) Hàm số \(f\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right),\left( { - 5; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right).\) b) \(\left[ {{2 \over 3}; + \infty } \right);\) c) \(\left[ {0; + \infty } \right);\) d) Hai hàm số \(u\left( x \right) = x + 1\) và \(v(x) = \sin x\) đều liên tục trên R Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\sin x\) là tích của hai hàm số trên cũng liên tục trên R Câu 4.62 trang 144 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm số thực a sao cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ \,\,\,\,\,\,\,\,{x^2}\text{ với }x < 1 \hfill \cr 2ax - 3\text{ với }x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) Liên tục trên R . Giải \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2ax - 3} \right) = 2a - 3 = f\left( 1 \right); \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} = 1. \cr} \) Hàm số liên tục tại điểm \(x = 1\) khi và chỉ khi \(2a - 3 = 1 \Leftrightarrow a = 2.\) Hiển nhiên hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne 1.\) Vậy hàm số \(f\) liên tục trên R khi và chỉ khi \(a = 2.\) Câu 4.63 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {0;1} \right]\) liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left[ {0;1} \right]\) sao cho \(f\left( c \right) = c.\) Giải Nếu \(f\left( 0\right) = 0\) hoặc \(f\left( 1 \right) = 1\) thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng. Giả sử \(f\left( 0 \right) \ne 0\) và \(f\left( 1 \right) \ne 1.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x,x \in \left[ {0;1} \right].\) Hàm số \(g\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right].\) Vì mọi \(x \in \left[ {0;1} \right],0 \le f\left( x \right) \le 1\) nên \(f\left( 0 \right) > 0\) và \(f\left( 1 \right) < 1.\) Do đó \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - 0 > 0\) và \(g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - 1 < 0.\) Vì \(g\left( 0 \right),g\left( 1 \right) < 1\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {0;1} \right)\) sao cho \(g\left( c \right) = f\left( c \right) - c = 0,\) tức là \(f\left( c \right) = c.\) Câu 4.66 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm số thực a sao cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ \,\,\,\,\,\,{a^2}{x^2}\text{ với }x \le 2 \hfill \cr \left( {1 - a} \right)x\text{ với }x > 2 \hfill \cr} \right.\) Liên tục trên R . Giải \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{a^2}{x^2}} \right) = 4{a^2} = f\left( 2 \right), \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - a} \right)x = 2\left( {1 - a} \right). \cr} \) Hàm số \(f\) liên tục tại đểm \(x = 2\) khi và chỉ khi \(4{a^2} = 2\left( {1 - a} \right) \Leftrightarrow 2{a^2} + a - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = - 1, \hfill \cr a = {1 \over 2}. \hfill \cr} \right.\) Hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\) khi và chỉ khi \(a = - 1\) hoặc \(a = {1 \over 2}.\) Hiển nhiên hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \ne 2\) với mọi a. Vậy hàm số \(f\) liên tục trên R khi và chỉ khi \(a = - 1,a = {1 \over 2}.\) Câu 4.67 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng phương trình \({x^3} + 1000{x^2} + 0,1 = 0\) Có ít nhất một nghiệm âm. Giải Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 1000{x^2} + 0,1\) liên tục trên R. Ta có \(f\left( 0 \right) = 0,1 > 0.\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên tồn tại một số âm a sao cho \(f\left( a \right) < 0.\) Vì \(f\left( 0 \right)f\left( a \right) < 0\) nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in \left( {a;0} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0.\) Số \(x = c\) là một nghiệm âm của phương trình đã cho.
