Câu 5.1 trang 178 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(y = \root 3 \of x \) Chứng minh rằng: \(y'\left( x \right) = {1 \over {3\root 3 \of {{x^2}} }}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\) Giải Với mỗi \(a \ne 0,\) ta tính đạo hàm của hàm số \(y = \root 3 \of x \) tại điểm theo định nghĩa - Tính \(\Delta y\) \(\Delta y = \root 3 \of {x + \Delta x} - \root 3 \of x \) \( = {{\left( {\root 3 \of {x + \Delta x} - \root 3 \of x } \right)\left( {\root 3 \of {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}} + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right)} + \root 3 \of {{x^2}} } \right)} \over {\root 3 \of {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}} + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right)} + \root 3 \of {{x^2}} }}\) \(= {{\Delta x} \over {\root 3 \of {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}} + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right)} + \root 3 \of {{x^2}} }} \) - Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {1 \over {\root 3 \of {\left( {x + \Delta x} \right)^2} + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right) + \root 3 \of {{x^2}} } }} = {1 \over {3\root 3 \of {{x^2}} }} \) \(= y'\left( x \right)\) Câu 5.3 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số f (x) = x3 (C) a) Tại những điểm nào của (C) thì tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng 1. b) Liệu có tiếp tuyến nào của (C) mà tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng âm? Giải a) \(\left( {{{\sqrt 3 } \over 3};{{\sqrt 3 } \over 9}} \right)\) và \(\left( {{{ - \sqrt 3 } \over 3};{{ - \sqrt 3 } \over 9}} \right)\) b) Muốn có tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) mà hệ số góc của tiếp tuyến đó âm thì phải tồn tại điểm \({x_0}\) sao cho \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0.\) Ở đây \(f'\left( x \right) = 3{x^2} \ge 0\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\); Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đã cho mà hệ số góc của nó âm. Câu 5.4 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho parabol (P) có phương trình y = f (x) = kx2 (k là hằng số khác 0) Và A là một điểm thuộc (P) có hoành độ là \(a\ne 0\) . Hãy xác định các tọa độ giao điểm của trục Ox với tiếp tuyến tại A của (P). Từ đó hãy suy ra một cách đơn giản để vẽ tiếp tuyến này. Giải Ta có \(y' = 2kx\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\) Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {a;k{a^2}} \right)\) của parabol (P) là \(y = 2ka\left( {x - a} \right) + k{a^2} = 2kax - k{a^2}\,\) Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến này với trục Ox. Hoành độ điểm I là nghiệm của phương trình \(2kax - k{a^2}=0 \Leftrightarrow x = {a \over 2}\)(vì \(ak \ne 0\)) Suy ra \(I\left( {{a \over 2};0} \right)\) Từ đó để vẽ tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {a;k{a^2}} \right)\) của parabol (P), ta nối điểm A với điểm \(I\left( {{a \over 2};0} \right)\); đường thẳng AI là tiếp tuyến cần phải tìm. Câu 5.5 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\left| x \right|}^3}} \) Tính f' (0) nếu có Giải Theo công thức tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0 \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\) Ta được \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} - 0} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x}\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x\sqrt x } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\) Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{ - x\sqrt { - x} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - \sqrt { - x} } \right) = 0\) Nên \(f'\left( 0 \right) = 0\) Câu 5.6 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R a) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} - x + 2\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2 \hfill \cr{1 \over {x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2 \hfill \cr} \right.\) b) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr{2 \over x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) c) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0 \hfill \cr- {x^3} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\) Giải a) – Với \(x < 2\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là \(f'\left( x \right) = 2x - 1\) – Với \(x > 2\) thì \(f\left( x \right) = {1 \over {x - 1}}\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là \(f'\left( x \right) =- {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) – Với \(x = 2\) thì ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x + 2} \right) = 4\) Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {1 \over {x - 1}} = 1\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\), suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\), tức là hàm số không liên tục tại điểm \(x = 2\), nên nó cũng không có đạo hàm tại điểm này. b) Tương tự như bài a), dễ dàng chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 1\) và \(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x + 1\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr- {2 \over {{x^2}}}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \hfill \cr} \right.\) Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm tại điểm \(x = 1\). Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 2 = f\left( 1 \right)\) Nên hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 1\) Mặt khác ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left( {{x^2} + x} \right) - 2} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\) Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{2 \over x} - 2} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - {2 \over x}} \right) = - 2\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}}\) Suy ra hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm \(x = 1\) c) Chứng minh tương tự như ý trên, ta thấy hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 0\) và \(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr- 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\) Xét tính liên tục và sự tồn tại điểm \(x = 0\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(1)\) Suy ra hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0 Mặt khác ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\left( {{x^2} + 1} \right) - 1} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0\) Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left( { - {x^3} + 1} \right) - 1} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) = 0\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = 0\) nên suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = 0\) Hay \(f'\left( 0 \right) = 0\) Vậy với mọi \(x \in R\), hàm số đã cho có đạo hàm và \(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr - 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\) Chú ý. Có thể không cần chứng minh hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 0\) (theo định nghĩa) như đã làm, mà lí luận như sau (khi đã chứng minh được \(f'\left( 0 \right) = 0\): “vì hàm số đã cho có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nên nó liên tục tại điểm đó”. Câu 5.7 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một viên đạn được bắn lên trời từ một vị trí cách mặt đất 1000m theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu \({v_0} = 245m/s\) (bỏ qua sức cản không khí) . a) Tìm thời điểm \({t_0}\) tại đó viên đạn đạt tốc độ cao nhất và sẽ bắt đầu rơi. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? b) Sau bak nhiêu giây (kể từ lúc bắn), viên đạn rơi xuống mặt đất? Giải a) Chọn Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ mặt đất lên trời, gốc O ở mặt đất và A là vị trí viên đạn được bắn lên, gốc thời gian (từ lúc t = 0) được tính từ vị trí A (h.5.3); khi đó chuyển động của viên đạn là chuyển động biến đổi với vận tốc ban đầu và với gia tốc \(g = - 9,8\,\,m/{s^2}\). (Gia tốc nhận giá trị âm vì vecto gia tốc ngược chiều dương của trục Oy). Phương trình chuyển động của viên đạn là \(y = 1000 + 245t - 4,9{t^2}\) Ta có \(v\left( t \right) = y' = 245 - 9,8t\) Viên đạn đạt độ cao lớn nhất và sẽ bắt đầu rơi khi \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 245 - 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = 25\,\,\left( s \right)\) Khi đó viên đạn cách mặt đất là \(y\left( {25} \right) = 1000 + 245.25 - 4,{9.25^2} = 4062,5\,\,\left( m \right)\) b) Viên đạn rơi đến đất khi \(y = 0\). Vậy nếu gọi \({t_1}\) là thời gian kể từ khi viên đạn được bắn lên trời đến khi nó rơi tới đất thì \({t_1}\) phải là nghiệm dương của phương trình. \(0 = 1000 + 245t - 4,9{t^2} \Leftrightarrow {t_1} = 54\,\,\left( s \right)\)
