Câu 5.8 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) \({x \over n} + {n \over x} + {{{x^2}} \over {{m^2}}} + {{{m^2}} \over {{x^2}}}\) (m, n là hằng số); b) \(y = \sqrt x \left( {{x^3} - \sqrt x + 1} \right)\) c) \(y = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)\) d) \(y = {{{v^3} - 2v} \over {{v^2} + v + 1}}\) e) \(y = {1 \over {{t^2} - 3t + 1}}\) Giải a) \({1 \over n} - {n \over {{x^2}}} + {{2x} \over {{m^2}}} - {{2{m^2}} \over {{x^3}}}\) b) \(3,5{x^2}\sqrt x - 1 + {1 \over {2\sqrt x }}\) c) \(2x\left( {3{x^4} - 28{x^2} + 49} \right)\) d) \({{{v^4} + 2{v^3} + 5{v^2} - 2} \over {{{\left( {{v^2} + v + 1} \right)}^2}}}\) e) \({{3 - 2t} \over {{{\left( {{t^2} - 3t + 1} \right)}^2}}}\) Câu 5.9 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3x - 2\sqrt x \) Tính \(f\left( 4 \right);f'\left( 4 \right);f\left( {{a^2}} \right)\) và \(f'\left( {{a^2}} \right)\) ( a là hằng số khác 0). Giải \(f\left( 4 \right) = 8;\,\,\,f'\left( 4 \right) = 2,5;\,\,\,f\left( {{a^2}} \right) = 3{a^2} - 2\left| a \right|;\) \(f'\left( {{a^2}} \right) = 3 - {1 \over {\left| a \right|}}\) Câu 5.10 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính đạo hàm của các hàm số a) \(y = {\left( {1 - x} \right)^{20}}\) b) \(y = {\left( {{t^3} - {1 \over {{t^3}}} + 3t} \right)^5}\) c) \(y = {{1 + x} \over {\sqrt {1 - x} }}\) d) \(y = {{{x^2}} \over {\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}\) (a là hằng số). Giải a) \( - 20{\left( {1 - x} \right)^{19}}\) b) \(15\left( {{t^2} + {1 \over {{t^4}}} + 1} \right){\left( {{t^3} - {1 \over {{t^3}}} + 3t} \right)^4}\) c) \({{3 - x} \over {2\sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^3}} }}\) d) \({{x\left( {{x^2} + 2{a^2}} \right)} \over {\sqrt {{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^3}} }}\) Câu 5.11 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) \(y = f\left( {{x^2}} \right)\) b) \(y = \sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} \) biết rằng f và g là các hàm số có đạo hàm trên R Giải a) Đặt \(u = {x^2},\) ta có hàm số hợp \(y = f\left( u \right),u = u\left( x \right) = {x^2}\) Vậy \(y' = f'\left( u \right).u'\left( x \right) = f'\left( {{x^2}} \right).2x\) b) \(y' = {1 \over {2\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} }}.\left[ {2f\left( x \right).f'\left( x \right) + 2g\left( x \right).g'\left( x \right)} \right]\) Câu 5.12 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng đạo hàm của hàm số chẵn là hàm số lẻ và đạo hàm của hàm số lẻ là hàm số chẵn, biết rằng các hàm số đó có đạo hàm trên R. Giải - Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn trên R, khi đó ta có \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\) Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên, ta được \(f'\left( x \right) = f'\left( { - x} \right)\,.\left( { - x} \right)' \Leftrightarrow \,f'\left( x \right) = - f'\left( { - x} \right)\) Do đó \(f'\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên R - Chứng minh tương tự cho trường hợp \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên R Câu 5.13 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + mx - 3\) Tìm m để a) \(f'\left( x \right)\) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất; b) \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi x; c) \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) d) \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x > 0\) Giải Với mọi \(x \in R,\) ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + m\) a) Để \(f'(x)\) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất ta phải tìm m sao cho \(f'(x)\) phải là tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) với hệ số \(a > 0\) và có nghiệm kép, tức là \(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m = {4 \over 3}\) b) Để \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi x thì ta phải tìm m sao cho \(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m \ge {4 \over 3}\) c) (h.5.4) Để \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) thì ta phải tìm m sao cho số 0 và số 2 thuộc đoạn \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) (\({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của của \(f'(x)\)) tức là \(\eqalign{& \left\{ \matrix{af'\left( 0 \right) \le 0 \hfill \cr af'\left( 2 \right) \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{3.m \le 0 \hfill \cr3\left( {4 + m} \right) \le 0 \hfill \cr} \right. \cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m \le - 4. \cr} \) d) Để \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x > 0\) thì ta phải xét hai trường hợp sau đây \( \bullet \) Trường hợp thứ nhất (h.5.5a) Ta phải tìm \(m\) sao cho tam thức bậc hai \(f'\left( x \right)\) vô nghiệm và có \(a > 0,\) tức là \(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > {4 \over 3}.\) \( \bullet \) Trường hợp thứ hai (h.5.5b) Ta phải tìm \(m\) sao cho tam thức bậc hai \(f'\left( x \right)\) có \(a > 0\) đồng thời có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn các điều kiện \({x_1} \le {x_2} \le 0\), tức là \(\left\{ \matrix{a = 3 > 0 \hfill \cr\Delta ' = 4 - 3m \ge 0 \hfill \cr af'\left( 0 \right) = 3m \ge 0 \hfill \cr{S \over 2} - 0 = {2 \over 3} \le 0\,\,\,\,\,\,\left( \text{ loại } \right) \hfill \cr} \right.\) Hệ vô nghiệm. Chú ý. Về nguyên tắc phải xét hai trường hợp, dù trong bài này trường hợp thứ hai vô nghiệm. Câu 5.14 trang 181 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{m{x^3}} \over 3} - {{m{x^2}} \over 2} + \left( {3 - m} \right)x - 2\) Tìm m để a) \(f'\left( x \right)\) với mọi x; b) \(f'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu; c) Chứng minh rằng trong trường hợp có hai nghiệm(hai nghiệm có thể trùng nhau) thì các nghiệm thỏa mãn một hệ thức độc lập với m. Giải Với mọi \(x \in R,\) ta có \(f'\left( x \right) = m{x^2} - mx + 3 - m.\) a) Ta phải xét hai trường hợp sau đây 1. Với \(m = 0\) thì \(f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right).\) Vậy \(m = 0\) là một giá trị cần tìm. 2. Với \(m \ne 0\) (khi đó \(f'(x)\) là một tam thức bậc hai) thì ta phải tìm \(m\) sao cho \(\left\{ \matrix{m > 0 \hfill \cr\Delta = {m^2} - 4\left( {3 - m} \right) = m\left( {5m - 12} \right) < 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow 0 < m < {{12} \over 5}\) Vậy các giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiên của bài toán là \(0 \le m < {{12} \over 5}.\) Chú ý. Không được phép hai trường hợp 1 và 2 (vì trong trường hợp 1, \(f\left( x \right)\) không phải là một tam thức bậc hai nên không áp đụngk được định lí về dấu của tam thức bậc hai). b) Để \(f'(x)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì phải tìm \(m\) sao cho tam thức bậc haicó hai nghiệm phân biệt và tích của chúng là \(P = {c \over a} > 0\) (hay số 0 nằm ngoài hai nghiệm) tức là \(\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta = m\left( {5m - 12} \right) > 0 \hfill \cr{{3 - m} \over m} > 0\,\,\,\left( {hay\,\,m\left( {3 - m} \right) > 0} \right) \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow {{12} \over 5} < m < 3.\) c) Vì có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) nên ta có \(\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta \ge 0 \hfill \cr{x_1} + {x_2} = {m \over m} = 1 \hfill \cr{x_1}{x_2} = {{3 - m} \over m} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m < 0\text{ hoặc }m \ge {2 \over 5} \hfill \cr{x_1} + {x_2} = 1. \hfill \cr} \right.\) Vậy hệ thức phải tìm là \({x_1} + {x_2} = 1.\) Câu 5.15 trang 181 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) với sai số tuyệt đối không vượt quá \({10^{ - 4}}\) , biết: a) \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 3x + 1\) b) \(f\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 2{x^2} - 1\) Giải a) \({x_1} \approx - 0,7208\,;{x_2} \approx 1,3874\) hoặc viết \({x_1} = - 0,7208 \pm 0,0001;\) \({x_2} = 1,3874 \pm 0,0001.\) b) \({x_0} = 0;{x_1} \approx - 1,4430;{x_2} \approx 0,6930.\) Câu 5.16 trang 181 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x - 8} \) Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 1\) Giải ĐKXĐ của hàm số \(f'(x)\) là \(x < - 2\) hoặc \(x > 4.\) Vậy ta phải giải bất phương trình \(f'\left( x \right) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }} \le 1\) (với \(x < - 2\) hoặc \(x > 4\)). \( \bullet \) Với \(x < - 2\) thì \(x - 1 < 0\), do đó \(f'\left( x \right) \le 1\) luôn luôn đúng. Vậy x < - 2 thỏa mãn điều kiện bài toán. \( \bullet \) Với x < - 2 thì x - 1 < 0, do đó \(f'\left( x \right) \le 1\) Luôn luôn đúng. Vậy \(x < - 2\) thỏa mãn điều kiện bài toán. \( \bullet \) Với \(x > 4\) thì \(x - 1 > 0,\) do đó \(f'\left( x \right) \le 1 \Leftrightarrow x - 1 \le \sqrt {\,{x^2} - 2x - 8} \) \(\, \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \le {x^2} - 2x - 8 \Leftrightarrow 1 \le - 8\) (loại) Vậy đáp số của bài toán là \(x < - 2\). Câu 5.18 trang 181 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) =- {x^4} + 2{x^2} + x\) Chứng minh rằng, tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1;0) cũng là tiếp tuyến của (C) tại một điểm khác. Tìm các tọa độ của tiếp điểm đó. Giải Trước hết ta hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) Ta có \(f'\left( x \right) = - 4{x^3} + 4x + 1\left( {\forall x \in R} \right).\) Với \({x_0} = - 1,f\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = 1\), do đó phương trình tiếp tuyến phải tìm là \(y = x + 1.\,\,\,\,(T)\) Để tiếp tuyến (T) cũng là một tiếp tuyến của (C) tại một điểm \(B\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right)\) khác điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) thì điều kiện cần và đủ là (T) phải cát đồ thị (C) tại B (tức là ta phải có \(f\left( x \right) = x + 1\) ) đồng thời hệ số góc của tiếp tuyến tại B phải bằng hệ số góc của tiếp tuyến (T) (tức là ta phải có \(f'\left( x \right) = 1\) ). Tóm lại ta phải giải hệ thống phương trình \(\left\{ \matrix{f\left( x \right) = x + 1 \hfill \cr f'\left( x \right) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{- {x^4} + 2{x^2} + x = x + 1 \hfill \cr- 4{x^3} + 4x + 1 = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\) Nghiệm của hệ thống này chính là hoành độ các tiếp tuyến của (T) với đồ thị (C). Giải hệ (*), ta được \(x = \pm 1\) Với \({x_0} = - 1\), ta được tiếp điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) Với \({x_0} = 1\), ta được tiếp điểm \(B\left( {1;2} \right)\) Vậy đường thẳng \(y = x + 1\) vừa là tiếp tuyến của (C) tại điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\), vừa là tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm \(B\left( {1;2} \right) \ne A\left( { - 1;0} \right).\)
