Câu 5.19 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 3x} \over {\tan 5x}}\) b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\cos 2x - 1} \over {{{\sin }^2}3x}}\) c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan x - \sin x} \over {{x^3}}}\) d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \left( {{\pi \over 2} - x} \right)\tan x\) Giải a) \({3 \over 5};\) b) \( - {2 \over 9};\) c) \({1 \over 2};\) \( \bullet \) Cách 1 \(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \left( {{\pi \over 2} - x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \left( {{\pi \over 2} - x} \right)\cot \left( {{\pi \over 2} - x} \right) \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} {{\left( {{\pi \over 2} - x} \right)} \over {\sin \left( {{\pi \over 2} - x} \right)}}.\cos \left( {{\pi \over 2} - x} \right) = 1 \cr} \) (Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} {{{\pi \over 2} - x} \over {\sin \left( {{\pi \over 2} - x} \right)}} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \cos \left( {{\pi \over 2} - x} \right) = \cos 0 = 1\) ) \( \bullet \) Cách 2. Đặt \({\pi \over 2} - x = t\) thì khi \(x \to {\pi \over 2}\) ta sẽ có \(t \to 0.\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} \left( {{\pi \over 2} - x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\tan \left( {{\pi \over 2} - t} \right)\) \(= \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\cot t = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {t \over {\sin t}}.\cot t = 1.\) Câu 5.20 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) \(y = {x \over {\sin x + \cos x}}\) b) \(y = {{\tan t} \over t}\) c) \(y = {{t\sin t} \over {1 + \tan t}}\) d) \(y = \cos x - {1 \over 3}{\cos ^3}x\) e) \(y = \cot \sqrt {{x^2} - x + 1} \) g) \(y = \sin \left( {2\sin x} \right)\) h) \(y = {\cos ^3}4x\) i) \(y = {\sin ^2}\left( {\cos 3x} \right)\) Giải a) \({{\sin x + \cos x + x\left( {\sin x - \cos x} \right)} \over {1 + \sin 2x}}\) b) \({{t - \sin t\cos t} \over {{t^2}{{\cos }^2}t}}\) c) \({{\left( {1 + \tan t} \right)(\sin t + t\cos t) - {1 \over {{{\cos }^2}t}}\left( {t\sin t} \right)} \over {{{\left( {1 + \tan t} \right)}^2}}}\) d) \( - {\sin ^3}x\) e) \({{1 - 2x} \over {2\sqrt {{x^2} - x + 1} .{{\sin }^2}\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) g) \(2\cos x\cos \left( {2\sin x} \right)\) h) \( - 6\cos 4x.\sin 8x\) i) \( - 3\sin 3x\sin \left( {2\cos 3x} \right).\) Câu 5.21 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính \(f'\left( {{\pi \over 6}} \right)\) và \(f'\left( {{\pi \over 3}} \right)\) ( nếu có) biết \(f\left( x \right) = {{\cos x} \over {\sqrt {\cos 2x} }}\) Giải Để hàm số có đạo hàm thì ta phải có \(\cos 2x > 0.\) Với điều kiện đó thì \( f'\left( x \right) = {{ - \sin x\sqrt {\cos 2x} - \cos x.{1 \over {2\sqrt {\cos 2x} }}\left( { - 2\sin 2x} \right)} \over {\cos 2x}} \) \(= {{ - \sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x} \over {\cos 2x\sqrt {\cos 2x} }} = {{\sin x} \over {\sqrt {{{\cos }^3}2x} }} \) \( \bullet \) Khi \(x = {\pi \over 3}\) thì \(\cos 2x = \cos {{2\pi } \over 3} < 0\) , nên không tồn tại \(f'\left( {{\pi \over 3}} \right)\) \( \bullet \) Khi \(x = {\pi \over 6}\) thì \(\cos 2x = \cos {\pi \over 3} > 0\) , nên không tồn tại \(f'\left( {{\pi \over 6}} \right)\) và \(f'\left( {{\pi \over 6}} \right) = {{\sin {\pi \over 6}} \over {\sqrt {{{\cos }^3}{\pi \over 3}} }} = {{{1 \over 2}} \over {\sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^3}} }} = \sqrt 2 .\) Câu 5.22 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) và \(g\left( x \right) = {1 \over 4}\cos 4x\) Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\) Giải Cách 1. Với mọi \(x \in R\), ta có \(\eqalign{ f'\left( x \right)& = 4{\sin ^3}x\cos x + 4{\cos ^3}x\left( { - \sin x} \right) \cr&= 4\sin x\cos x({\sin ^2}x - {\cos ^2}x) \cr& = 2\sin 2x\left( { - \cos 2x} \right) = - \sin 4x. \cr} \) Mặt khác ta có \(g'\left( x \right) = {1 \over 4}\left( { - 4\sin 4x} \right) = - \sin 4x.\) Vậy với mọi \(x \in R\), ta có \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right).\) Cách 2. Ta chứng minh rằng \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) khác nhau một hằng số ; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau (nếu chúng có đạo hàm) . Thật vậy, ta có \(\eqalign{{\sin ^4}x + {\cos ^4}x &= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr& = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x\cr& = 1 - {1 \over 2}.{{1 - \cos 4x} \over 2} \cr&= {3 \over 4} + {1 \over 4}\cos 4x \cr} \) Tức là \(f\left( x \right) = {3 \over 4} = g\left( x\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right).\) Vậy \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right).\) Câu 5.24 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng hàm số sau đây có đạo hàm bằng 0 với mọi \(x \in R\) \(y = {\cos ^2}\left( {{\pi \over 3} - x} \right) + {\cos ^2}\left( {{\pi \over 3} + x} \right) \) \(+ {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} - x} \right) + {\cos ^2}\left( {{{2\pi } \over 3} + x} \right) - 2{\sin ^2}x\) Giải Cách 1: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp \(\left( {{{\cos }^2}u} \right)' = 2\cos u\left( { - \sin u} \right).u' = - u'.\sin 2u\) Ta được \(\eqalign{& y' = \left[ {\sin \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right) - \sin \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right]\cr& + \left[ {\sin \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right) - \sin \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \right] - 2\sin 2x \cr& \,\,\,\,\,\, = 2\cos {{2\pi } \over 3}.\sin \left( { - 2x} \right) + 2\cos {{4\pi } \over 3}.\sin \left( { - 2x} \right) \cr&- 2\sin 2x\,\,\left( {\forall x \in R} \right) \cr} \) Vì \(\cos {{2\pi } \over 3} = \cos {{4\pi } \over 2} = - {1 \over 2}\) nên \(y' = \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\) Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}u = {{1 + \cos 2u} \over 2}\) Ta chứng minh được \(y = 1\). Vậy \(y' = 0\) Câu 5.25 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) biết a) \(f\left( x \right) = \sqrt 3 \cos x + \sin x - 2x - 5\) b) \(f\left( x \right) = {{2\cos 17x} \over {17}} - {{\sqrt 3 \sin 5x} \over 5} + {{\cos 5x} \over 5} + 2\) Giải a) Với mọi \(x \in R\) ta có \(\eqalign{& f'\left( x \right) = - \sqrt 3 \sin x + \cos x - 2 \cr& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin x = 1\cr& \Leftrightarrow \cos x.\cos {\pi \over 3} - \sin x.\sin {\pi \over 3} = 1 \cr& \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + {\pi \over 3} = k2\pi \cr&\Leftrightarrow x = - {\pi \over 3} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \) b) Với mọi \(x \in R\) ta có \(\eqalign{& f'\left( x \right) = - 2\sin 17x - \sqrt 3 \cos 5x - \sin 5x \cr& f'\left( x \right) = 0\cr& \Leftrightarrow \sin 17x + \left( {{{\sqrt 3 } \over 2}\cos 5x + {1 \over 2}\sin 5x} \right) = 0 \cr& \Leftrightarrow \sin 17x + \left( {\sin {\pi \over 3}\cos 5x + \cos {\pi \over 3}\sin 5x} \right) = 0 \cr& \Leftrightarrow \sin \left( {5x + {\pi \over 3}} \right) = \sin \left( { - 17x} \right) \cr} \) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{5x + {\pi \over 3} = - 17x + k2\pi \hfill \cr5x + {\pi \over 3} = \pi + 17x + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = - {\pi \over {66}} + {{k\pi } \over {11}} \hfill \cr x = - {\pi \over {18}} - {{k\pi } \over 6} \hfill \cr} \right.\) Câu 5.26 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm a để phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm, biết rằng \(f\left( x \right) = a\cos x + 2\sin x - 3x + 1\) Giải Với mọi \(x \in R\) ta có \(f'\left( x \right) = a\sin x + 2\cos x - 3.\) Để \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm thì ta phải tìm a sao cho phương trình \(2\cos x - a\sin x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) có nghiệm. Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\cos x - {a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\sin x = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Vì \({\left( {{2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}} \right)^2} + {\left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}} \right)^2} = 1\) nên có số \(\alpha \) sao cho\(\left\{ \matrix{\cos \alpha = {2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \hfill \cr\sin \alpha = {a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \hfill \cr} \right.\) Thế vào (2), ta được : \(\cos x\cos \alpha - \sin x\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \alpha } \right) = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} \,}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\) Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \le 1 \Leftrightarrow 3 \le \sqrt {{a^2} + 4} \Leftrightarrow {a^2} + 4 \ge 9 \) \(\Leftrightarrow {a^2} \ge 5 \Leftrightarrow \left| a \right| \ge \sqrt {5} \) Câu 5.27 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải và biện luận phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) biết rằng \(f\left( x \right) = 2\sin x + 2\left( {1 - 2m} \right)\cos x - 2mx\) Giải Với mọi \(x \in R\), ta có \(\eqalign{& f'\left( x \right) = 2\cos 2x - 2\left( {1 - 2m} \right)\sin x - 2m \cr& f'\left( x \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 - 2m} \right)\sin x - m = 0 \cr& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \left( {1 - 2m} \right)\sin x + m-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \) Ta có \(\Delta = {\left( {1 - 2m} \right)^2} - 8m + 8 \) \(= 4{m^2} - 12m + 9 = {\left( {2m - 3} \right)^2}\) Vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin x = {{\left( {2m - 1} \right) - \left( {2m - 3} \right)} \over 4} = {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr\sin x = {{\left( {2m - 1} \right) + \left( {2m - 3} \right)} \over 4} = m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \cr} \right.\) Giải (2), ta được \(\sin x = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi . \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\) \( \bullet \) Giải (3), với điều kiện \( - 1 \le m - 1 \le 1\,\,\,hay\,\,0 \le m \le 2,\) ta được \(\sin x = m - 1 = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \alpha + k2\pi \hfill \cr x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,(5)\) Kết luận a) Nếu \(m < 0\) hoặc \(m > 2\) thì phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có các nghiệm là (4) b) Nếu \(0 \le m \le 2\) thì phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có các nghiệm là (4) và (5).
