Đề 1 trang 41 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Câu 1. (5 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(3x - y - 3 = 0\).Viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( { - 1;2} \right)\) và phép quay tâm O góc quay -90°. Câu 2. (5 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\). Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( {2;0} \right)\) phép vị tự tâm O tỉ số \(k = - 3\). Giải: Câu 1. Lấy điểm \(M = \left( {x;y} \right)\) Giả sử \({M_1} = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)\) và \(M' = {Q_{\left( {O, - {{90}^0}} \right)}}\left( {{M_1}} \right)\) Ta có: \(\left\{ \matrix{ {x_1} = - 1 + x \hfill \cr {y_1} = 2 + y \hfill \cr} \right.\) và \(\left\{ \matrix{ x' = {y_1} \hfill \cr y' = - {x_1} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 - y` \hfill \cr y = x' - 2 \hfill \cr} \right.\) Thế \(\left( {x;y} \right)\) theo \(\left( {x';y'} \right)\) vào phương trình , ta có: \(3\left( {1 - y'} \right) - \left( {x' - 2} \right) - 3 = 0\). Như vậy phương trình d’ là : \(x' + 3y' - 2 = 0\) hay \(x + 3y - 2 = 0\). Câu 2. Cách 1. Giả sử \({M_1} = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)\) và \(M' = {V_{\left( {O,k = - 3} \right)}}\left( {{M_1}} \right)\). Ta có: \(\left\{ \matrix{ {x_1} = x + 2 \hfill \cr {y_1} = y + 0 \hfill \cr} \right.\) và \(\left\{ \matrix{ x' = - 3{x_1} \hfill \cr y' = - 3{y_1} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x' = - 3\left( {x + 2} \right) \hfill \cr y' = - 3y \hfill \cr} \right.\) Khi đó: \(\left\{ \matrix{ x = {{x'} \over { - 3}} - 2 \hfill \cr y = {{y'} \over { - 3}} \hfill \cr} \right.\) Thế x, y theo x’, y’vào phương trình đường tròn (C) đã cho, ta có: \({\left[ {\left( { - {{x'} \over 3} - 2} \right) - 1} \right]^2} + {\left[ {\left( { - {{y'} \over 3}} \right) - 2} \right]^2} = 9\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( { - {{x'} \over 3} - 3} \right)^2} + {\left( { - {{y'} \over 3} - 2} \right)^2} = 9 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x' + 9} \right)^2} + {\left( {y' + 6} \right)^2} = 81 \cr} \) Vậy \({\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 81\) là phương trình của đường tròn ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép dời hình đã cho. Cách 2. Đường tròn (C) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\), bán kính R = 3. - Qua \({T_{\overrightarrow v }}\) : (C) biến thành đường tròn (C1) tâm I1, có tọa độ là : \(\left\{ \matrix{ {x_1} = 1 + 2 = 3 \hfill \cr {y_1} = 2 + 0 = 2 \hfill \cr} \right.\) , bán kính R1 = 3 - Qua phép vị tự \({V_{\left( {O,k = - 3} \right)}}\), (C1) biến thành đường tròn (C’) tâm I’, có tọa độ là : \(\left\{ \matrix{ x' = - 3{{\rm{x}}_1} = - 9 \hfill \cr y' = - 3{y_1} = - 6 \hfill \cr} \right.\) , bán kính \(R' = \left| k \right|{R_1} = 9\) Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {x + 6} \right)^2} = 81\). Đề 2 trang 42 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Câu 1. (5 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 16\). Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay tâm O là gốc tọa độ với góc quay 90°. Câu 2. (5 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường tròn: \(\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\) \(\left( {{C_2}} \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\) \(\left( {{C_3}} \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 5\) Trong hai đường tròn (C2) và (C3), đường tròn nào là ảnh của (C1) qua phép tịnh tiến. Xác định phép tịnh tiến này. Giải: Câu 1. (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 4. Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ảnh, ta có: \(I' = {Q_{\left( {O,{{90}^0}} \right)}}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x' = - y = - 2 \hfill \cr y' = x = 1 \hfill \cr} \right.\) và R’ = 4 Vậy phương trình (C’) là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 16\). Câu 2. (C1) có tâm \({I_1}\left( {1;3} \right)\), bán kính R1 = 2 (C2) có tâm \({I_2}\left( { - 3;4} \right)\), bán kính R2 = 2 (C3) có tâm \({I_3}\left( { - 1;5} \right)\), bán kính \({R_3} = \sqrt 5 \) - Vì \({R_3} \ne {R_1}\) nên (C3) không thể là ảnh của (C1) qua phép tịnh tiến - Do \({R_2} = {R_1}\) nên (C2) là ảnh của (C1) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow v }}\), với \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{I_1}{I_2}} = \left( { - 4;1} \right)\). Đề 3 trang 42 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Câu 1. (5 điểm ) Cho tam giác ABC . Gọi F là phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo thứ tự \({T_{\overrightarrow {AB} }},{T_{\overrightarrow {BC} }},{T_{\overrightarrow {CA} }}\). Hỏi F là phép biến hình gì? Câu 2. (5 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn: \(\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4\) \(\left( {{C_1}} \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 16\) Tìm phép vị tự biến (C1) thành (C2) Giải: Câu 1. Lấy M là điểm bất kì. Gọi \({M_1} = {T_{\overrightarrow {AB} }}\left( M \right),{M_2} = {T_{\overrightarrow {BC} }}\left( {{M_1}} \right),M' = {T_{\overrightarrow {CA} }}\left( {{M_2}} \right)\) Ta có \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {M{M_1}} = \overrightarrow {AB} \hfill \cr \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \overrightarrow {BC} \hfill \cr \overrightarrow {{M_2}M'} = \overrightarrow {CA} \hfill \cr} \right.\) Cộng ba đẳng thức trên vế theo vế, ta có \(\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{M_2}} + \overrightarrow {{M_2}M'} = \underbrace {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} }_{\overrightarrow 0 }\) \(\eqalign{ & \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow 0 \cr & M' \equiv M \cr} \) Phép biến hình F trên biến M thành \(M' \equiv M\), với mọi M (F được gọi là phép đồng nhất). Câu 2. (C1) có tâm \({I_1}\left( {1; - 3} \right)\), bán kính R1 = 2 (C2) có tâm \({I_2}\left( { - 2;6} \right)\), bán kính R2 = 4 Gọi \({V_{\left( {I;k} \right)}}\) là phép vị tự biến (C1) thanh (C2). Ta có: \(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {I{I_2}} = k\overrightarrow {I{I_1}} & \left( 1 \right) \hfill \cr \left| k \right| = {{{R_2}} \over {{R_1}}} & \left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\) \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left| k \right| = {{{R_2}} \over {{R_1}}} = {4 \over 2} = 2 \Leftrightarrow k = \pm 2\) + Trường hợp k = 2 \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 - {x_I} = 2\left( {1 - {x_I}} \right) \hfill \cr 6 - {y_I} = 2\left( { - 3 - {y_I}} \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_I} = 4 \hfill \cr {y_I} = - 12 \hfill \cr} \right.\) Ta được phép vị tự thứ nhất có tâm I(4; -12) tỉ số vị tự là k = 2 + Trường hợp k = -2 \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {I{I_2}} = - 2\overrightarrow {I{I_1}} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 - {x_I} = - 2\left( {1 - {x_I}} \right) \hfill \cr 6 - {y_I} = - 2\left( { - 3 - {y_I}} \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_I} = 0 \hfill \cr {y_I} = 0 \hfill \cr} \right.\) Ta được phép vị tự thứ hai có tâm I(0; 0), tỉ số vị tự là k = -2
