Bài 2.10 trang 70 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a) (SAC) và (SBD); b) (SAB) và (SCD); c) (SAD) và (SBC) Giải: (h.2.28) a) Ta có: \(\left\{ \matrix{ S \in \left( {SAC} \right) \hfill \cr S \in \left( {SB{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\) Giả sử: \(AC \cap B{\rm{D}} = O \Rightarrow \left\{ \matrix{ O \in \left( {SAC} \right) \hfill \cr O \in \left( {SB{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) \cr & \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SO \cr} \) b) Ta có : \(\left\{ \matrix{ S \in \left( {SAB} \right) \hfill \cr S \in \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\) Ta lại có \(\left\{ \matrix{ AB \subset \left( {SAB} \right) \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr AB\parallel C{\rm{D}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = Sx\) và \(S{\rm{x}}\parallel AB\parallel CD\). c) Lập luận tương tự câu b) ta có \( \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sy\) và \(Sy\parallel AD\parallel BC\). Bài 2.11 trang 70 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (DBC) và (DMN). Giải: (h.2.29) \(\left\{ \matrix{ M \in AB \hfill \cr N \in AC \hfill \cr} \right. \Rightarrow MN \subset \left( {ABC} \right)\) Trong tam giác ABC ta có: \({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AC}} \Rightarrow MN\parallel BC\) Hiển nhiên \(D \in \left( {DBC} \right) \cap \left( {DMN} \right)\) \(\left\{ \matrix{ BC \subset \left( {DBC} \right) \hfill \cr MN \subset \left( {DMN} \right) \hfill \cr BC\parallel MN \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \left( {DBC} \right) \cap \left( {DMN} \right) = Dx\) và \(Dx\parallel BC\parallel MN\) Bài 2.12 trang 70 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Cho I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC , M là một điểm tùy ý trên cạnh AD. a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD) b) Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểm của IN và IM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD). c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ). Giải: (h.2.30) a) \(\left\{ \matrix{ M \in \left( {MIJ} \right) \hfill \cr M \in AD \Rightarrow M \in \left( {ABD} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow M \in \left( {MIJ} \right) \cap \left( {ABD} \right)\) Ta cũng có: \(\left\{ \matrix{ IJ\parallel AB \hfill \cr IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr AB \subset \left( {ABD} \right) \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \left( {MIJ} \right) \cap \left( {ABD} \right) = d = Mt\) và \(Mt\parallel AB\parallel IJ\) b) Ta có: \(Mt\parallel AB \Rightarrow Mt \cap BD = N\) \(IN \cap JM = K \Rightarrow \left\{ \matrix{ K \in IN \hfill \cr K \in JM \hfill \cr} \right.\) Vì \(K \in IN \Rightarrow K \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\) Và \(K \in JM \Rightarrow K \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\) Mặt khác \(\left( {BC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}\) do đó \(K \in C{\rm{D}}\). Do vậy K nằm trên hai nửa đường thẳng Cm và Dn thuộc đường thẳng CD. ( Để ý rằng nếu M là trung điểm của AD thì sẽ không có điểm K.) c) Ta có: \(\left\{ \matrix{ K \in \left( {ABK} \right) \hfill \cr K \in IN \Rightarrow K \in \left( {MIJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {ABK} \right) \cap \left( {MIJ} \right)\) Mà \(\left\{ \matrix{ AB \subset \left( {ABK} \right) \hfill \cr IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr AB\parallel IJ \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {ABK} \right) \cap \left( {MIJ} \right) = Kx\) và \(K{\rm{x}}\parallel AB\parallel IJ\) Bài 2.13 trang 71 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. Giải: (h.2.31) Trong tam giác ABC ta có: \(MP\parallel AC\) và \(MP = {{AC} \over 2}\). Trong tam giác ACD ta có: \(QN\parallel AC\) và \(QN = {{AC} \over 2}\). Từ đó suy ra \(\left\{ \matrix{MP\parallel QN \hfill \cr MP = QN \hfill \cr} \right.\) ⟹ Tứ giác MNPQ là hình bình hành. Do vậy hai đường chéo MN và PQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Tương tự: \(P{\rm{R}}\parallel Q{\rm{S}}\) và \(P{\rm{R}} = QS = {{AB} \over 2}\). Do đó tứ giác PQRS là hình bình hành. Suy ra hai đường chéo RS và PQ cắt nhau tại trung điểm O của PQ và OR = OS Vậy ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. Bài 2.14 trang 71 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng . Giải: (h.2.32) Gọi K là trung điểm của AB. Vì I là trọng tâm của tam giác ABC nên \(I \in KC\) và vì J là trọng tâm của tam giác ABD nên \(J \in KD\). Từ đó suy ra \({{KI} \over {KC}} = {{KJ} \over {K{\rm{D}}}} = {1 \over 3} \Rightarrow IJ\parallel CD\). Bài 2.15 trang 71 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q. a) Chứng minh MN song song với PQ. b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a và b. Giải: (h.2.33) a) Ta có: \(I \in \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow I \in \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {IBC} \right)\) Vậy \(\left\{ \matrix{ A{\rm{D}}\parallel BC \hfill \cr A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr BC \subset \left( {IBC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {IBC} \right) = PQ\) và \(PQ\parallel A{\rm{D}}\parallel BC \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Tương tự: \(J \in \left( {SBC} \right) \Rightarrow J \in \left( {SBC} \right) \cap \left( {JAD} \right)\) Vậy \(\left\{ \matrix{ A{\rm{D}}\parallel BC \hfill \cr A{\rm{D}} \subset \left( {JA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr BC \subset \left( {SBC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {JA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\) và \(MN\parallel BC\parallel AD\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) suy ra \(PQ\parallel MN\). b) Ta có: \(E = AM \cap BP \Rightarrow \left\{ \matrix{ E \in \left( {AMN{\rm{D}}} \right) \hfill \cr E \in \left( {PBCQ} \right) \hfill \cr} \right.\) \(F = DN \cap CQ \Rightarrow \left\{ \matrix{ F \in \left( {AMN{\rm{D}}} \right) \hfill \cr F \in \left( {PBCQ} \right) \hfill \cr} \right.\) Do đó: \(EF = \left( {AMN{\rm{D}}} \right) \cap \left( {PBCQ} \right)\) Mà \(\left\{ \matrix{ A{\rm{D}}\parallel BC \hfill \cr MN\parallel PQ \hfill \cr} \right.\) suy ra \(EF\parallel A{\rm{D}}\parallel BC\parallel MN\parallel PQ\) Tính \(EF:CP \cap EF = K \Rightarrow EF = EK + KF\) \(EK\parallel BC \Rightarrow {{EK} \over {BC}} = {{PE} \over {PB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\) \(PM\parallel AB \Rightarrow {{PE} \over {EB}} = {{PM} \over {AB}}\) Mà \({{PM} \over {AB}} = {{SP} \over {SA}} = {2 \over 3}\) suy ra \({{PE} \over {EB}} = {2 \over 3}\) Từ (*) suy ra \(\eqalign{ & {{EK} \over {BC}} = {{PE} \over {PB}} = {{PE} \over {PE + EB}} \cr & = {1 \over {1 + {{EB} \over {PE}}}} = {1 \over {1 + {3 \over 2}}} = {2 \over 5} \cr & \Rightarrow EK = {2 \over 5}BC = {2 \over 5}b \cr} \) Tương tự ta tính được \(KF = {2 \over 5}a\) Vậy: \(EF = {2 \over 5}a + {2 \over 5}b = {2 \over 5}\left( {a + b} \right)\)
