Bài 3.41 trang 163 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai? a) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với b. b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau. c) Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và một đường thẳng a cùng vuông góc với đường thằng b thì \(a\parallel \left( \alpha \right)\). d) Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) thì \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\). e) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. f) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song. Giải: a) Đúngb) Đúngc) Said) Saie) Saif) Đúng Bài 3.42 trang 163 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Xét các mệnh đề sau đây xem mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? a) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. b) Qua một đường thẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. c) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. d) Cho hai đường thẳng a và b. Nếu có mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không chứa cả a và b thì a và b chéo nhau. Giải: a) Saib) Said) Đúnge) Sai Bài 3.43 trang 163 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho hình vuông ABCD. Các tia \(Ax,By,Cz,Dt\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và nằm về một phía đối với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) lần lượt cắt \(Ax,By,Cz,Dt\) tại A’,B’,C’,D’. a) Tứ giác A’,B’,C’,D’ là hình gì? Chứng minh rằng . b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A’,B’,C’,D’ là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A’,B’,C’,D’ là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Giải: a) Ta có hai mặt phẳng song song là: \(\left( {Ax,AD} \right)\parallel \left( {By,BC} \right)\) Hai mặt phẳng này bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) nên ta suy ra các giao tuyến của chúng phải song song nghĩa là \(A'D'\parallel B'C'\). Tương tự ta chứng minh được \(A'B'\parallel D'C'\). Vậy A’,B’,C’,D’ là hình bình hành. Các hình thang AA’C’C và BB’D’D đều có OO’ là đường trung bình trong đó O là tâm của hình vuông ABCD và O’ là tâm của hình bình hành A’,B’,C’,D’. Do đó: \(AA' + CC' = BB' + DD' = 2OO'\) b) Muốn hình bình hành A’,B’,C’,D’ là hình thoi ta cần phải có A’C’⊥B’D’. Ta đã có AC⊥BD. Người ta chứng minh được rằng hình chiếu vuông góc của một góc vuông là một góc vuông khi và chỉ khi góc vuông đem chiếu có ít nhất một cạnh song song với mặt phẳng chiếu hay nằm trong mặt chiếu. Vậy A’,B’,C’,D’ là hình thoi khi và chỉ khi A’C’ hoặc B’D’ song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho trước. Khi đó ta có AA’ = CC’ hoặc BB’ = DD’. c) Muốn hình bình hành A’,B’,C’,D’ là hình chữ nhật ta cần có A’B’⊥B’C’, nghĩa là A’B’ hoặc B’C’ phải song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Khi đó ta có AA’ = BB’ hoặc BB’ = CC’, nghĩa là hình bình hành A’,B’,C’,D’ có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho trước. Bài 3.44 trang 164 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a. a) Tính góc giữa SA và BC. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC. Giải: a) Gọi H là trung điểm của đoạn BC. Qua A vẽ AD song song với BC và bằng đoạn HC thì góc giữa BC và SA là góc \(\widehat {SA{\rm{D}}}\). Theo định lí ba đường vuông góc, ta có SD⊥DA và khi đó: \(\cos \widehat {SAD} = {{AD} \over {SA}} = {{HC} \over {SA}} = {{{{7a} \over 2}} \over {7a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 4}\) Vậy góc giữa BC và SA được xác định sao cho \(\cos \widehat {SAD} = {{\sqrt 2 } \over 4}\) Vì \(BC\parallel A{\rm{D}}\) nên BC song song với mặt phẳng (SAD). Do đó khoảng cách giữa SA và BC chính là khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (SAD). Ta kẻ CK⊥SD, suy ra CK⊥(SAD), do đó CK chính là khoảng cách nói trên. Xét tam giác vuông SCD với đường cao CK xuất phát từ đỉnh góc vuông C ta có hệ thức: \({1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {S{C^2}}} + {1 \over {C{D^2}}} \Rightarrow {1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {{{\left( {7{\rm{a}}} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {{{7{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}}}\) (vì \(CD = AH = {{BC\sqrt 3 } \over 2} = {{7{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}\)) Do đó \({1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {49{{\rm{a}}^2}}} + {4 \over {3.49{{\rm{a}}^2}}} = {{3 + 4} \over {3.49{{\rm{a}}^2}}} = {1 \over {21{{\rm{a}}^2}}}\) Vậy \(CK = a\sqrt {21} \) Chú ý. Nếu kẻ \(KI\parallel A{\rm{D}}\) và kẻ \(IJ\parallel CK\) thì IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC. Bài 3.45 trang 164 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = A{{\rm{D}}^2} + B{C^2}\) Giải: Giả sử AB⊥CD ta phải chứng minh \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = A{{\rm{D}}^2} + B{C^2}\). Thật vậy, kẻ BE⊥CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD⊥(ABE) nên CD⊥AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có: \(\eqalign{ & A{C^2} = A{{\rm{E}}^2} + C{E^2} \cr & B{{\rm{D}}^2} = B{E^2} + E{{\rm{D}}^2} \cr & B{C^2} = A{{\rm{E}}^2} + E{C^2} \cr & {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} = A{E^2} + E{{\rm{D}}^2} \cr} \) Từ đó ta suy ra \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = A{D^2} + B{C^2}\) Ngược lại nếu tứ diện ABCD có \(A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = A{{\rm{D}}^2} + B{C^2}\) thì: \(A{C^2} - A{D^2} = B{C^2} - B{{\rm{D}}^2}\). Nếu \(A{C^2} - A{D^2} = B{C^2} - B{{\rm{D}}^2} = {k^2}\) thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho \(I{H^2} = {{{k^2}} \over {2C{\rm{D}}}}\). Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD⊥AB. Nếu \(A{C^2} - A{D^2} = B{C^2} - B{{\rm{D}}^2} = - {k^2}\) thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên \(A{D^2} - A{C^2} = B{{\rm{D}}^2} - B{C^2} = - {k^2}\). Chú ý.Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra: Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{C^2}\). Bài 3.46 trang 164 Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy tính góc của các cặp đường thẳng sau đây: a) AB’ và BC’ b) AC’ và CD’ Giải: a) Ta có \(AB'\parallel DC'\). Gọi là góc giữa AB’và BC’, khi đó \(\alpha = \widehat {DC'B}\). Vì tam giác BC’D đều nên \(\alpha = {60^0}\) b) Gọi \(\beta \) là góc giữa AC’ và CD’. Vì CD’⊥C’D và CD’⊥AD ( do AD⊥(CDD’C’) Ta suy ra CD’⊥(ADC’B’) Vậy CD’⊥AC’ hay \(\beta = {90^0}\) Chú ý. Ta có thể chứng minh \(\beta = {90^0}\) bằng cách khác như sau: Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và A’D’. Ta có \(IK\parallel C{\rm{D}}'\). Dễ dàng chứng minh được AIC’K là một hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau và đó là một hình thoi. Vậy AC’⊥IK hay AC’⊥CD’ và góc \(\beta = {90^0}\).
