Câu 1 trang 5 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó. Giải Giả sử phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Lấy hai điểm phân biệt M, N trên d và gọi M’, N’ lần lượt là ảnh của M, N qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) thì M’, N’ nằm trên d’. Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M'N'} \). Vậy hai đường thẳng d và d’ có cùng vecto chỉ phương nên d//d’ hoặc trùng với d’. d trùng với d’ khi \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(\overrightarrow {MN} \), tức là khi \(\overrightarrow u \) là vecto chỉ phương của d hoặc \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \) ; d//d' khi \(\overrightarrow u \) không phải là vecto chỉ phương của d. Câu 2 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a cắt b, a//a’ và b//b’. Tìm phép tịnh tiến biến a thành a’ và biến b thành b’. Giải Phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OO'} \) trong đó O là giao điểm của a và b và O’ là giao điểm của a’ và b’. Câu 3 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM và An cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ. Giải Tam giác MPQ có QA là một đường cao ( vì \(QA \bot MP\) ). Bởi vậy nếu ta kẻ \(MM' \bot PQ\) thì MM’ cắt QA tại trực tâm H của tam giác MPQ, đoạn thẳng OA là đường trung bình của tam giác NMH nên: \(\overrightarrow {MH} = 2\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \) Vậy phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow {BA} \) biến M thành H. Chú ý rằng M không trùng với A hoặc B, ta suy ra quỹ H là ảnh của đường tròn (O) (không kể hai điểm A và B) qua phép tịnh tiến đó. Làm tương tự đối với trực tâm H’ của tam giác NPQ. Câu 4 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai đường tròn không đồng tâm (O; R) và \((O_1;R_1)\) và một điểm A trên (O; R). Xác định điểm M trên (O; R) và điểm N trên \(\left( {{O_1};\,{R_1}} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {OA} \). Giải Giả sử đã xác định được M và N theo yêu cầu của bài toán. Khi đó, phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow {OA} \) sẽ biến điểm M thành điểm N và biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (A; R). Vì (O; R) đi qua M, nên (A; R) đi qua N. Do đó N là giao điểm của hai đường tròn (A; R) và \(\left( {{O_1};\,{R_1}} \right)\). Từ đó dễ dàng suy ra cách dựng. Số nghiệm hình phụ thuộc vào số giao điểm của hai đường tròn (A; R) và \(\left( {{O_1};\,{R_1}} \right)\). Câu 5 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) trong đó AD = R. Dựng các hình bình hành DABM và DACN. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM nằm trên (O; R). Giải Theo giả thiết ta có: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CN} \) Vì vậy, phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {AD} \) biến tam giác ABC thành tam giác DMN. Suy ra, nếu O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN thì phép tịnh tiến đó biến O thành O’, tức là: \(\overrightarrow {OO'} = \overrightarrow {AD} \) Do đó: OO' = AD = R Và vì vậy O’ nằm trên (O; R). Câu 6 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai phép tịnh tiến T và T’ theo vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \). Với điều kiện nào của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) thì hợp thành của T và T’ là phép đồng nhất. Giải Với điểm M bất kì, giả sử \(T\left( M \right) = {M_1}\) và \(T'\left( {{M_1}} \right) = M'\). Khi đó \(\overrightarrow {M{M_1}} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {{M_1}M'} = \overrightarrow v \), suy ra \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u + \overrightarrow v \). Hợp thành của T và T’ biến M thành M’ nên hợp thành đó là phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow u + \overrightarrow v \). Phép hợp thành đó là phép đồng nhất khi và chỉ khi: \(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \overrightarrow 0 \) Câu 7 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow u \left( {1; - 2} \right)\). a) Viết phương trình ảnh của mỗi đường thẳng sau đây qua phép tịnh tiến T. i) Đường thẳng a có phương trình \(3x - 5y + 1 = 0\). ii) Đường thẳng b có phương trình \(2x + y + 100 = 0\) b) Viết phương trình ảnh của đường tròn \({x^2} + {y^2} - 4x + y - 1 = 0\) qua phép tịnh tiến T. Giải Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến T là \(\left\{ \matrix{ x' = x + 1 \hfill \cr y' = y - 2 \hfill \cr} \right.\) suy ra: \(x = x' - 1,\,y = y' + 2.\) a) i) Nếu M(x;y) nằm trên đường thẳng a thì \(3x - 5y+1 = 0\) hay \(3\left( {x' - 1} \right) - 5\left( {y' + 2} \right) + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x' - 5y' - 12 = 0\). Điều đó chứng tỏ điểm thỏa mãn phương trình \(3x - 5y - 12 = 0\). Đó là phương trình ảnh của đường thẳng a. ii) Đường thẳng b có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2} \right)\) nên phép tịnh tiến T biến b thành chính nó. Vậy ảnh của b cũng có phương trình \(2x + y + 100 = 0\). b) Nếu \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên đường tròn đã cho thì \(\eqalign{ & {x^2} + {y^2} - 4x + y - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x' - 1} \right)^2} + {\left( {y' + 2} \right)^2} - 4\left( {x' - 1} \right) \cr&\;\;\;\;\;+ \left( {y' + 2} \right) - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} - 6x' + 5y' + 10 = 0 \cr} \) Như vậy điểm M'(x';y') thỏa mãn phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 5y + 10 = 0\). Đó là phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho. Câu 8 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình \({\rm{Ax}} + By + C = 0\) và \({\rm{Ax}} + By + C' = 0\). Tìm những vecto \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\) sao cho phép tịnh tiến T theo vecto đó biến d thành d’. Giải Giả sử điểm M(x;y) nằm trên đường thẳng \(d:\,Ax + By + C = 0\). Khi đó ảnh của M là điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) mà \(x' = x + a,\,\,y' = y + b\) hay \(x = x' - a,\,y = y' - b\). Suy ra \(A\left( {x' - a} \right) + B\left( {y' - b} \right) + C = 0\) hay \(Ax' + By' - aA - bB + C = 0\,\,(1)\) Để phép tịnh tiến T biến d thành d’ ta phải có \(Ax' + by' + C = 0\,\,(2)\). So sánh (1) và (2) ta suy ra \(aA + bB + C' - C = 0\,\,(*)\) Vậy các vecto \(\overrightarrow u (a;b)\) cần tìm phải có tọa độ thỏa mãn điều kiện (*) Câu 9 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C thành chính nó phải là phép đồng nhất. Giải Giả sử F là phép dời hình biến A thành A, biến B thành B, biến C thành C. Nếu F không phải là phép đồng nhất thì có ít nhất một điểm M sao cho F(M) = M’ và M’ khác với M. Khi đó, vì F biến A thành A và biến M thành M’ nên AM = AM’, tương tự ta cũng có \(BM = BM',\,\,CM = CM'\). Vậy ba điểm A, B, C nằm trên đường trung trực của MM’, trái với giả thiết A, B, C không thẳng hàng. Vậy F phải là phép đồng nhất. Câu 10 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng tỏ rằng hợp thành của hai hay nhiều phép dời hình là một phép dời hình. Giải Vì mỗi phép dời hình đều không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nên hợp thành của chúng cũng có tính chất đó, bởi vậy nó cũng là phép dời hình. Câu 11 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng phép dời hình biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song mà khoảng cách giữa hai đường song song đã cho bằng khoảng cách giữa các ảnh của chúng. Giải Giả sử phép dời hình F biến hai đường thẳng song song a và b thành hai đường thẳng a’ và b’. Ta lấy đường thẳng c nào đó vuông góc với a và b, cắt a và b lần lượt tại A và B. Khi đó F biến A thành A’ nằm trên a’, biến B thành B’ nằm trên b’. Vì \(a \bot AB\) và \(b \bot AB\) nên \(a' \bot A'B'\) và \(b' \bot A'B'\) . Vậy a’//b’ và vì AB = A’B’ nên khoảng cách giữa a và b bằng khoảng cách giữa a’ và b’. Câu 12 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai tam giác bằng nhau ABC và \(A'B'C'\,\left( {AB = A'B',BC = B'C',AC = A'C'} \right)\). Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C”. Giải Giả sử có hai phép dời hình khác nhau \({F_1}\) và \({F_2}\) cùng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Khi đó, có ít nhất một điểm M sao cho \({F_1}\) biến M thành \(M{'_1}\) và \({F_2}\) biến M thành \(M{'_2}\) khác \(M{'_1}\). Khi đó có: \(AM = A'M{'_1}\) và \(AM = A'M{'_2}\) Nên \(A'M{'_1} = A'M{'_2}\) hay A’ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(M{'_1}M{'_2}\). Tương tự điểm B’ và C’ cũng nằm trên đường trung trực đó. Suy ra ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng. Vô lí. Câu 13 trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Giả sử phép dời hình F biến điểm I đã cho thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ không trùng với M. a) Tìm những đường tròn biến thành chính nó qua phép dời hình F. b) Chứng tỏ rằng nếu đường thẳng a không đi qua I thì F biến a thành đường thẳng a’ không trùng với a. Giải a) Phép dời hình F biến mỗi đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R), trong đó điểm O’ là ảnh của điểm O. Nếu hai đường tròn đó trùng nhau thì O phải trùng với O’ và do đó trùng với I. Vậy các đường tròn được biến thành chính nó khi và chỉ khi chúng có tâm I. b) Giả sử a là đường thẳng không đi qua I. Ta kẻ \(IH \bot a,\,H \in a.\) Khi đó F biến H thành H’, biến đường thẳng IH thành đường thẳng IH’ và biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ đi qua H’ và vuông góc với IH’ tại H’. Chú ý rằng vì a không đi qua I nên H không trùng với H’. Từ đó suy ra a’ không trùng với a. Câu 14 trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho đường thẳng a và một điểm I nằm trên nó. Gọi F là phép dời hình biến a thành a và I là điểm duy nhất biến thành chính nó. Chứng minh rằng F biến điểm M bất kì thành điểm M’ sao cho I là trung điểm MM’. Giải Lấy điểm M bất kì nằm trên a và khác I, phép dời hình F biến a thành a nên biến điểm M thành điểm M’ trên a, IM = IM’. Ngoài ra vì M khác M’ nên I là trung điểm của MM’. Gọi b là đường thẳng đi qua I, vuông góc với a thì F biến b thành đường thẳng đi qua I và vuông góc với a. Do đó b biến thành b. Cũng lập luận như trên,nếu N nằm trên b thì F biến N thành N’ sao cho I là trung điểm của NN’. Bây giờ giả sử điểm P không nằm trên a và b. Kẻ \(PM \bot a\) và \(PN \bot b\,\left( {M \in a,\,N \in b} \right)\). Theo chứng minh trên M biến thành M’, N biến thành N’ sao cho I là trung điểm của MM’ và NN’. Suy ra P biến điểm P sao cho M’IN’P là hình chữ nhật và do đó I là trung điểm của PP’. Câu 15 trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ vuông góc với a thì có một điểm duy nhất biến thành chính nó qua phép F. Giải Trước hết, F không thể biến hai điểm phân biệt thành chính nó vì khi đó đường thẳng đi qua hai điểm đó phải biến thành chính nó, trái với giả thiết là F biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc. Để chứng minh sự tồn tại của điểm biến thành chính nó, ta đã lấy một điểm A nào đó và gọi \({A_1} = F\left( A \right),\,{A_2} = F\left( {{A_1}} \right)\). Nếu A trùng \({A_1}\) thì A là điểm biến thành chính nó, bởi vậy ta giả sử rằng A khác \({A_1}\). Khi đó \({A_2}\) khác \({A_1}\) và đường thẳng \({A_1}{A_2}\) vuông góc với đường thẳng \(A{A_1}\). Đường thẳng của \(A{A_2}\) là đường thẳng d qua \({A_1}\), vuông góc với \(A{A_2}\). Đường thẳng \({A_1}{A_2}\) là đường thẳng d’ qua \({A_2}\), vuông góc với \({A_1}{A_2}\). Vậy F biến \({A_2}\) thành giao điểm \({A_3}\) của d và d’. Vì F là phép dời hình nên \(A{A_1}{A_2}{A_3}\) là hình vuông. Trung điểm I của \(A{A_2}\) biến thành trung điểm của \({A_1}{A_3}\), tức là I biến thành chính nó qua F. Vậy F có duy nhất điểm I biến thành chính nó. Câu 16 trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Có hay không một phép dời F sao cho mọi đường thẳng đều biến thành đường thẳng song song với nó? Giải Nếu F là phép dời hình có tính chất đã cho thì dễ thấy F không có điểm biến thành chính nó, vì nếu I là điểm như thế thì đường thẳng a đi qua I biến thành đường thẳng a’ cũng đi qua I nên a’ không song song với a. Ta lấy một điểm A bất kì, gọi A’ = F(A) và A” = F(A’) thì đường thẳng a đi qua A và A’ biến thành đường thẳng a’ đi qua A’ và A”, do đó a và a’ cắt nhau tại A’, vô lí. Vậy không có phép dời hình F có tính chất đã cho. Câu 17 trang 7 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình F biến mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x';y'} \right)\) sao cho: \(\left\{ \matrix{ x' = ax + by + p \hfill \cr y' = cx + dy + q \hfill \cr} \right.\) Trong đó: \({a^2} + {c^2} = {b^2} + {d^2} = 1\,;\,ab + cd = 0\) Chứng tỏ rằng F là phép dời hình. Giải Ta lấy hai điểm bất kì \(M = \left( {{x_o};{y_o}} \right)\) và \(N\left( {{x_1};{y_1}} \right)\). Khi đó F biến M, N lần lượt thành M’, N’ có tọa độ: \(M' = \left( {a{x_o} + b{y_o} + p;\,c{x_o} + d{y_o} + q} \right)\) và \(N' = \left( {a{x_1} + b{y_1} + p;\,c{x_1} + d{y_1} + q} \right)\) Suy ra: \(\eqalign{ M'N{'^2} &= {\left[ {a\left( {{x_1} - {x_o}} \right) + b\left( {{y_1} - {y_o}} \right)} \right]^2} \cr&\;\;+ {\left[ {c\left( {{x_1} - {x_o}} \right) + d\left( {{y_1} - {y_o}} \right)} \right]^2} \cr & = \left( {{a^2} + {c^2}} \right){\left( {{x_1} - {x_o}} \right)^2} \cr&\;\;+ \left( {{b^2} + {d^2}} \right){\left( {{y_1} - {y_o}} \right)^2}\cr& \;\;+ 2\left( {ab + cd} \right)\left( {{x_1} - {x_o}} \right)\left( {{y_1} - {y_o}} \right) \cr & = {\left( {{x_1} - {x_o}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_o}} \right)^2} \cr & = M{N^2} \cr} \) Như vậy M’N’ = MN Vậy F là phép dời hình.
