Câu 18 trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình F khác với phép đồng nhất sao cho F(A) = A, F(B) = B. Chứng minh rằng: a) Nếu điểm M nằm trên đường thẳng AB. b) F là phép đối xứng qua đường thẳng AB. Giải a) Giả sử M nằm trên đường thẳng AB và M’ là ảnh của M qua phép dời hình F. Khi đó, vì F biến đường thẳng AB và giữ nguyên thứ tự ba điểm A, B, M cũng giống như thứ tự ba điểm A, B, M’. Ngoài ra vì AM = AM’ và BM = BM’, nên điểm M phải trùng với M’. b) Gọi N là điểm không nằm trên đường thẳng AB và N = F(N). Ta có N’ khác N, vì \(N' \equiv N\) thì F là phép đồng nhất. Như vậy, hai tam giác ABN và ABN’ bằng nhau suy ra N và N’ đối xứng với nhau qua đường thẳng AB. Vậy F là phép đối xứng qua AB. Câu 19 trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai điểm A, B phân biệt. Có những phép dời hình nào biến A thành A và biến B thành B. Giải Gọi F là phép dời hình biến A thành A, B thành B, ta lấy điểm C không thẳng hàng với A, B và C’ là ảnh của C qua phép dời hình F. Khi đó tam giác ABC bằng tam giác ABC’. Chỉ có hai trường hợp xảy ra: + Điểm C’ trùng với điểm C. Khi đó F là phép đồng nhất. + Điểm C’ đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB. Khi đó F là phép đối xứng qua đường thẳng AB. Câu 20 trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Chứng minh rằng: a) Hợp thành của hai phép đối xứng trục có các trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến. b) Mỗi phép tịnh tiến đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song bằng nhiều cách. c) Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có đối xứng song song là một phép tịnh tiến. d) Hơp thành của một số lẻ các phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép đối xứng trục. e) Cho phép đối xứng trục \({Đ_a}\) qua đường thẳng a và phép tịnh tiến T theo vecto \(\overrightarrow v \) vuông góc với a. Chứng tỏ rằng hợp thành của \({Đ_a}\) và T là phép đối xứng trục, hợp thành của T và \({Đ_a}\) cũng là phép đối xứng trục. Giải a) Giả sử \({Đ_a},\,{Đ_b}\) là các phép đối xứng trục có trục lần lượt là a, b mà a//b và F là hợp thành của \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\). Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên a, b sao cho \(AB \bot a.\) Với điểm M bất kì, \({Đ_a}\) biến M thành \({M_1}\) và \({Đ_b}\) biến \({M_1}\) thành \({M_2}\). Nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của \(M{M_1}\) và \({M_1}{M_2}\) thì: \(\eqalign{ & \overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {\overrightarrow {H{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right) = 2\overrightarrow {HK} = 2\overrightarrow {AB} \cr} \) Vì phép hợp thành F biến M thành \({M_2}\) thành \(\overrightarrow {M{M_2}} = 2\overrightarrow {AB} \) nên F là phép tịnh tiến theo vecto \(2\overrightarrow {AB} \). b) Giả sử T là phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow u \). Lấy một đường thẳng a nào đó vuông góc với \(\overrightarrow u \) và đường thẳng b là ảnh của a qua phép tịnh tiến theo \({1 \over 2}\overrightarrow u \) thì theo câu a) phép tịnh tiến T là hợp thành của phép đối xứng trục \({Đ_a}\) và phép đối xứng trục \({Đ_b}\). Vì có nhiều cách chọn đường thẳng a, nên có nhiều phép đối xứng \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\) có hợp thành là T. c) Hợp thành của hai phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến. Vì vậy, hợp thành của 2n phép đối xứng trục (có trục đối xứng song song) là hợp thành của n phép tịnh tiến, do đó cũng là phép tịnh tiến. d) Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục. Gọi phép đối xứng trục thứ nhất là \({Đ_a}\) (có trục là đường thẳng a), 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép tịnh tiến T. Ta có thể xem T là hợp thành của hai phép đối xứng mà phép thứ nhất là \({Đ_a}\) và phép thứ hai là \({Đ_b}\). Vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: \({Đ_a}\), \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\). Nhưng vì hợp thành của \({Đ_a}\) và \({Đ_a}\) là phép đồng nhất e nên F chính là phép đối xứng \({Đ_b}\). e) Có thể xem phép tịnh tiến T là hợp thành của hai phép đối xứng trục \({Đ_b}\) và \({Đ_c}\). Vì vecto tịnh tiến vuông góc với a nên a // b // c. Do đó, ta được hợp thành của ba phép đối xứng có trục song song. Vậy theo kết quả câu d) ta được một phép đối xứng trục. Câu 21 trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB = A’B’. Chứng minh rằng có thể tìm được một phép đối xứng trục hoặc hợp thành của hai phép đối xứng trục để biến A thành A’, biến B thành B’. Giải Nếu A và A’ trùng nhau, B và B’ trùng nhau thì phép cần tìm là phép đối xứng trục có trục AB. Nếu A không trùng A’ thì ta lấy a là trung trực của AA’. Khi đó phép đối xứng trục \({Đ_a}\) biến A thành A’. Kí hiệu \({B_1}\) là ảnh của B qua phép \({Đ_a}\). Nếu \({B_1}\) trùng B’ thì \({Đ_a}\) là phép đối xứng trục cần tìm. Nếu \({B_1}\) khác B’ thì \(A'{B_1} = AB\) nên \(A'{B_1} = A'B'\). Từ đó, suy ra đường trung trực b của đoạn thẳng \({B_1}B'\) đi qua điểm A’ và do đó phép đối xứng trục \({Đ_b}\) biến A’ thành A’ và biến \({B_1}\) thành B’. Vậy hợp thành của hai phép đối xứng trục \({Đ_a}\) và \({Đ_b}\) là phép dời hình biến A thành A’ và biến B thành B’. Câu 22 trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hai tam giác bằng nhau ABC và A’B’C’ \(\left( {AB = A'B',BC = B'C',AC = A'C'} \right)\). Chứng minh rằng chỉ cần tối đa ba phép đối xứng trục để hợp thành của chúng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Giải Theo bài toán trên ta có hai phép đối xứng trục \({D_1}\) và \({D_2}\) mà hợp thành của chúng biến A thành A’ và biến B thành B’. Phép hợp thành đó là phép dời hình nên nó biến điểm C thành điểm \(C_1\) sao cho hai tam giác ABC và \(A'B'{C_1}\) bằng nhau. Vậy \({C_1}\) phải trùng C’ hoặc đối xứng với C’ qua đường thẳng A’B’. Nếu \({C_1}\) trùng với C’ thì phép hợp thành nói trên là phép cần tìm. Nếu \({C_1}\) khác với C’ thì vì hai tam giác \(A'B'{C_1}\) và A’B’C’ bằng nhau nên phép đối xứng \({Đ_c}\) với c là đường thẳng A’B’ sẽ biến tam giác \(A'B'{C_1}\) thành tam giác A‘B’C’. Vậy hợp thành của ba phép \({Đ_a},\,{Đ_b}\) và \({Đ_c}\) là phép dời hình cần tìm. Câu 23 trang 8 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d và đường tròn (C) lần lượt có phương trình: \(\eqalign{ & d:\,Ax + By + C = 0 \cr & \left( C \right):\,{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0 \cr} \) a) Viết phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là Ox. b) Viết phương trình ảnh của dường tròn (C) qua phép đối xứng trục có trục đối xứng là Oy. c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục có trục là đường thẳng bx - ay = 0. Giải a) Phép đối xứng qua Ox biến điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\) mà x = x’ và y = - y’. Nếu \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên d thì \(Ax + Bx + C = 0\) hay \(A'x - By' + C = 0\). Vậy \(M'\left( {x';y'} \right)\) thỏa mãn phương trình Ax - By + C = 0. Đó là phương trình ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox. b) Phép đối xứng qua Oy biến điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\) mà x = x’ và y = y’. Nếu \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên (C) thì: \(\eqalign{ & {x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0 \cr & \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} - 2ax' + 2by' + c = 0 \cr} \) Vậy \(M'\left( {x';y'} \right)\) thỏa mãn phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax + 2by + c = 0.\) Đó là phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng trục với trục là Oy. c) Đường tròn (C) có tâm \(I\left( { - a; - b} \right)\), rõ ràng tâm I nằm trên đường thẳng bx - ay = 0. Suy ra phép đối xứng qua đường thẳng đó biến (C) thành chính nó. Vậy ảnh của (C) có phương trình trùng với phương trình của (C). Câu 24 trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Gọi m là đường phân giác ngoài tại A của tam giác ABC. Chứng minh rằng với mọi điểm M trên m, chu vi của tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC. Giải Goi C’ là điểm đối xứng với điểm C qua đường phân giác ngoài m. Khi đó hiển nhiên A nằm giữa B và C’. Với mọi điểm M nằm trên m ta có : \(MB + MC = MB + MC' \ge BC'\) Mà \(BC' = AB + AC' = AB + AC\) Vậy \(MB + MC + BC \ge AB + AC + BC.\) Đó là điều phải chứng minh. Câu 25 trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho elip (E) với hai tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) . Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng không nằm trên đường thẳng \({F_1}{F_2}\) và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác \(M{F_1}{F_2}\). Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại điểm M duy nhất (đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (E) tại điểm M). Giải Giả sử elip (E) có trục lớn là 2a, tức là điểm M nằm trên (E) khi và chỉ khi: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) Theo chứng minh bài tập 24, nếu M’ nằm trên phân giác m thì: \(M'{F_1} + M'{F_2} \ge M{F_1} + M{F_2} = 2a.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M’ trùng M. Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên (E). Từ đó, suy ra m cắt (E) tại điểm duy nhất M. Câu 26 trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho hypebol (H) với hai tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\). Gọi M là một điểm nằm trên (H) nhưng không nằm trên đường thẳng \({F_1}{F_2}\) và m là phân giác trong tại đỉnh M của tam giác \(M{F_1}{F_2}\). Chứng minh rằng m chỉ cắt (H) tại điểm M duy nhất.( Đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (H) tại điểm M). Giải Giả sử hypebol (H) có trục thức là 2a, nghĩa là điểm M nằm trên (H) khi và chỉ khi: \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\) Ta xét trường hợp \(M{F_1} - M{F_2} = 2a\) (trường hợp \(M{F_2} - M{F_1} = 2a\) chứng minh tương tự). Gọi F’ là điểm đối xứng với \(F_2\) qua phân giác m thì F’ nằm giữa M và \(F_1\). Khi đó, nếu lấy M’ nằm trên m thì: \(\eqalign{ M'{F_1} - M'{F_2} &= M'{F_1} - M'F' \cr&\le {F_1}F' = M{F_1} - MF' \cr & = M{F_1} - M{F_2} \cr &= 2a \cr} \) Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’ trùng M. Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên (H). Từ đó suy ra m cắt (H) tại điểm duy nhất M. Câu 27 trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn d. Với điểm M trên (P) ta kẻ \(MH \bot d\,(H \in d)\) và gọi m là phân giác của góc FMH. Chứng minh rằng m chỉ cắt (P) tại điểm chung duy nhất M. (Đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của (P) tại điểm M). Giải Vì M nằm trên parabol (P) nên MF = MH. Do đó m chính là đường trung trực của đoạn thẳng FH. Lấy điểm M’ tùy ý nằm trên m, kẻ \(M'H' \bot d\,\left( {H' \in \,d} \right)\) thì ta có: \(M'F = M'H \ge M'H'.\) Nếu M’ không trùng với M thì M’F > M’H’ nên M’ không nằm trên (P). Vậy M chỉ cắt (P) tại điểm duy nhất M. Câu 28 trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và P là điểm nằm trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ là các điểm đối xứng với điểm P lần lượt qua các đường thẳng AI, BI, CI. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy. Giải Ta xét trường hợp P nằm trong góc BAI. Gọi \({P_A},\,{P_B},\,{P_C}\) là các điểm đối xứng với P lần lượt qua các đường thẳng BC, CA, AB. Ta chứng minh rằng AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_B}{P_{C}}\). Thật vậy, nếu ta kí kiệu \(\widehat {PAB} = \alpha ,\,\widehat {PAI} = \beta \), ta có: \(\widehat {{P_C}AA'} = \widehat {{P_C}AP} + \widehat {PAA'} = 2\alpha + 2\beta \) Và \(\eqalign{ & \widehat {A'A{P_B}} = \widehat {A'AC} + \widehat {CA{P_B}} \cr & = \widehat {A'AC} + \widehat {CAP} = \alpha + \alpha + 2\beta \cr & = 2\alpha + 2\beta . \cr} \) Vậy \(\widehat {{P_C}AA'} = \widehat {A'A{P_B}}\) Ngoài ra, hiển nhiên \(A{P_C} = A{P_B}.\) Suy ra AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_B}{P_C}.\) Chứng minh tương tự, ta cũng có BB’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_C}{P_A}\) và CC’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_C}{P_A}\) và CC’ là đường trung trực của đoạn thẳng \({P_A}{P_B}.\) Suy ra AA’, BB’, CC’ đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \({P_A}{P_B}{P_C}.\) Trường hợp P nằm trong góc CAI, lập luận tương tự. Câu 29 trang 9 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao. Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc A, góc B và góc C. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A’ vuông góc với BC, qua B’ vuông góc với AC, qua C’ vuông góc với AB đồng quy. Giải Trước hết, dễ thấy rằng các điểm A, B, C lần lượt nằm trên các cạnh B’C’, C’A’, A’B’ của tam giác A’B’C’ và các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đi qua tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Kẻ \(A'H \bot BC\,\left( {H \in BC} \right)\) ta có: \(\widehat {CA'H} = \widehat {OCB}\) (góc có cạnh tương ứng vuông góc) và \(\widehat {OCB} = \widehat {BA'O}\) (do tứ giác OBA’C nội tiếp đường tròn). Từ đó, suy ra: \(\widehat {CA'H} = \widehat {BA'O}\) Do đó, nếu gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ thì AI’ là phân giác góc B’A’C’ nên A’H đối xứng với A’O qua đường thẳng A’I. Bởi vậy A’H đi qua điểm đối xứng với O qua phân giác A’I. Tương tự ta cũng có đường thẳng đi qua B’, vuông góc với AC cũng đi qua điểm đối xứng với O qua B’I và đường thẳng đi qua C’, vuông góc với AB cũng đi qua điểm đối xứng với O qua C’I. Từ đó áp dụng bài tập 28 ta suy ra điều phải chứng minh.
