Câu 64 trang 15 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho hai điểm A và A’ đối xứng với nhau qua điểm I, F là phép dời hình biến I thành I, biến A thành A’. Chứng minh rằng F là phép đối xứng tâm hoặc đối xứng trục. Trả lời: Gọi a là đường thẳng đi qua A và A’, b là đường thẳng đi qua I và vuông góc với a. Theo giả thiết F biến a thành chính nó, do đó F cũng biến b thành chính. Có thể xảy ra hai trương hợp: - Mỗi điểm của b biến thành chính nó. Khi đó rõ ràng F là phép đối xứng qua đường thẳng b. - Mỗi điểm của b biến thành điểm đối xứng qua I. Khi đó tương tự như bài tập 14, ta có thể chứng minh rằng F là phép đối xứng qua tâm I. Câu 65 trang 15 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho phép dời hình F không phải là phép đồng nhất. Chứng minh rằng nếu F biến điểm I nào đó thành chính nó thì F là phép quay tâm I hoặc là phép đối xứng có trục là đường thằng đi qua I. Trả lời: Vì F không phải là phép đồng nhất nên có điểm A không trùng với ảnh A’. Nếu A’ đối xứng với A qua I thì thưo bài tập 64, F chính là phép đối xứng trục qua đường thẳng d đi qua I và vuông góc với AA’, hoặc là phép đối xứng qua tâm I (tức là phép quay tâm I với góc quay 1800). Bây giờ xét trường hợp A’ không đối xứng với A qua I, tức là ta có tam giác IAA’. Gọi A’’ là ảnh của A’ qua phép F. Khi đó, F biến tam giác IAA’ thành tam giác IA’A’’. Có thể xảy ra hai trường hợp: - A’’ trùng với A. Khi đó, nếu gọi J là trung điểm của AA’ thì J cũng là trung điểm của A’A’’ nên F biến J thành I. Suy ra F biến mọi điểm của đường thẳng IJ thành chính nó. Vậy F là phép đối xứng qua đường thẳng IJ. - A’’ không trùng với A. Khi đó ta có IA = IA’ = IA’’ và (IA, IA’) = (IA’, IA’’) nên nếu gọi Q là phép quay tâm I góc quay φ = (IA, IA’) thì Q biến tam giác IAA’ thành tam giác IA’A’’ nên Q chính là F. Câu 66 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho đường tròn (O) và phép dời hình F biến (O) thành chính nó nhưng F không phải là phép đồng nhất. Gọi M là điểm thay đổi trên đường tròn và M’ = F(M). Chứng mình rằng quỹ tích của trung điểm đoạn thẳng MM’ là một đường tròn, hoặc là một đoạn thẳng; hoặc là một điểm. Trả lời: Vì F biến (O) thành chính nó nên F biến điểm O thành chính nó. Vậy theo bài tập 64, F là phép quay tâm O hoặc là phép đối xứng qua đường thẳng d chứa điểm O. Trường hợp F là phép quay tâm O Nếu góc quay là 1800 (khi đó F là phép đối xứng qua điểm O) thì hiển nhiên trung điểm của MM’ là O. Khi đó quỹ tích của trung điểm MM’ là điểm O. Nếu góc quay khác 1800 thì rõ ràng đọ dài dây cung MM’ không đổi. Do đó quỹ tích của trung điểm MM’ là đường tròn tâm O. Trường hợp F là phép đối xứng qua đường thẳng d (đi qua O) Hiển nhiên trung điểm của MM’ nằm trên d và do đó quỹ tích trung điểm đó là một đường kính của đường tròn. Câu 67 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho Đ là phép đối xứng trục có trục đói xứng là đường thẳng d và T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) song song với d. Hợp thành Đ và T gọi là phép đối xứng trượt. Phép đối xứng trục là một trường hợp đặc biệt của phép đối xứng trượt khi vectơ trượt là vectơ không. a) Chứng minh rằng hợp thành của T và Đ cũng bằng hợp thành của Đ và T. b) Chứng minh rằng nếu M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trượt thì trung điểm đoạn thẳng MM’ luôn nằm trên trục của phép đối xứng trượt đó. c) Hợp thành của hai phép đối xứng trượt có trục song song là phép gì? d) Chứng minh rằng hợp thành của một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến là một phép đối xứng trượt. e) Chứng minh rằng hợp thành của một phép quay và một phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt. g) Chứng minh rằng hợp thành của ba phép đối xứng trục là một phép đối xứng trượt. Trả lời: a) Giả sử M là một điêmt nào đó, Đ biến M thành M1 và T biến M1 thành M’. Như vậy, nếu gọi F là hợp thành của T và Đ thì F biến M thành M’. Nếu ta lấy điểm M2 sao cho MM1M’M2 là hình chữ nhật thì rõ ràng T biến M thành M2 và Đ biến M2 thành M’. Vậy F cũng là hợp thành của T và Đ. b) Hiển nhiên c) Giả sử phép đối xứng trượt F có trục d và vectơ trượt \(\overrightarrow v \) , phép đối xứng trượt F’ có trục đối xứng d’ và véc tơ trượt \(\overrightarrow v '\) . Kí hiệu Đ, Đ’ lần lượt là phép đối xứng có trục d và d’, T và T’ lần lượt là các phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow {v'} \) . Như vậy F là hợp thành của T và Đ, F’ là hợp thành của Đ’ và T’. Suy ra hợp thành của F và F’ là hợp thành của bốn phép: T, Đ, Đ’ và T’. Vì d // d’ nên hợp thành của Đ và Đ’ là một phép tịnh tiến. Vậy hợp thành F và F’ là hợp thành của ba phép tịnh tiến và do đó là môt phép tịnh tiến. d) Gọi Đ là phép đối xứng trục, với trục là đường thẳng d, T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) , còn F là hợp thành của Đ và T. Ta có thể tìm được hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) sao cho \(\overrightarrow {{v_1}} \) song song với d, \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d và \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} \) . Nếu ta gọi T1 và T2 lần lượt là các phép tịnh tiến theo các vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) thì T là hợp thành của T2 và T1. Nhưng vì \(\overrightarrow {{v_2}} \) vuông góc với d nên T2có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục D1 và D2 có trục song song với d. Tóm lại, F là hợp thành của bốn phép Đ, Đ1, Đ2 và T1. Như đã biết, hợp thành của 3 phép đối xứng trục Đ, Đ1, Đ2(có trục song song) là phép đối xứng của trục Đ3 có trục song song với d. Vậy F là hợp thành của Đ3và T1 với vectơ tịnh tiến của T1 song song với trục đối xứng Đ3, nên F là phép đối xứng trượt. e) Giả sử Q là phép quay tâm O và Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, F là hợp thành của Q và Đ. Ta có thể xem phép quay Q là hợp thành của hai phép đối xứng Đ1 và Đ2 có các trục đối xứng đi qua O, trong đó trục của Đ2 song song với d. Như vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: Đ1, Đ2 và Đ. Nhưng hợp thành của Đ2 và Đ (có trục đối xứng song song) là phép tịnh tiến do đó F là hợp thành của một phép đối xứng và một phép tịnh tiến nên theo câu d), F là phép đối xứng trượt. g) Suy từ câu d và câu e). Câu 68 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB và A’B; (AB = A’B). Chứng minh rằng có một phép đối xứng trượt biến A thành A’, biến B thành B’. Trả lời: Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AA'} \) . Khi đó T biến A thành A’ và biến B thành B1. Gọi d2 là đường trung trực của đoạn thẳng B1B’ nếu B1 khác B’, còn nếu B1trùng B’ thì lấy d2 là đường thẳng A’B’. Hiển nhiên khi đó d2 đi qua A’ và phép đối xứng Đ2 qua đường thẳng d2 biến A’ thành A’ và biến B1 thành B’. Vậy hợp thành F của T và Đ2 sẽ biến A thành A’ và biến B thành B’. Suy ra F là phép đối xứng trượt. Câu 69 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho hai đường thẳng phân biệt a, a’ và phép dời hình F biến a thành a’. Một điểm M thay đổi trên a và M’ = F(M). Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn thẳng MM’ hoặc trùng nhau, hoặc nằm trên một đường thẳng. Trả lời: Lấy hai điểm A, B phân biệt nằm trên a và gọi A’ = F(A), B’ = F(B). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AA’ và BB’. Trường hợp hai điểm I và J trùng nhau Khi đó, phép đối xứng qua I biến điểm M ∈ a thành M1 ∈ a’ sao cho \({M_1}A' = MA,\,{M_1}B' = MB.\) Suy ra M1 trùng M’ = F(M). Vậy trung điểm MM’ cũng là điểm I. Trường hợp hai điểm I, J phân biệt Ta gọi F’ là phép đối xứng trượt biến A thành A’ và biến B thành B’. Trục của phép đối xứng trượt chính là đường thẳng d đi qua I và J. Khi đó, với mọi điểm M ∈ a ta có M’ = F’(M). Vậy trung điểm các đoạn thẳng MM’ cũng nằm trên d. Câu 70 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau (O) và (O’). Trên (O) lấy hai bán kính vuông góc OA, OB và trên (O’) lấy hai bán kính vuông góc O’A’, O’B’ sao cho A, A’ nằm trên đường thẳng OO’ và hai vectơ \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {O'A'} \) cùng hướng, còn hai vectơ \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {O'B'} \) ngược hướng. a) Chứng minh rằng có phép dời hình F biến đường tròn (O) thành (O’) sao cho hai điểm A, B lần lượt biến thành hai điểm A’, B’. b) Với mỗi điểm M nằm trên (O) và ảnh M’ của nó qua phép dời hình F, chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MM’ nằm trên một đường thẳng cố định. Trả lời: a) Vì hai tam giác OAB và O’A’B’ bằng nhau nên có phép dời hình F biến O thành O’, biến A thành A’ và biến B thành B’. Hiển nhiên F cũng biến (O) thành (O’). b) Gọi f là phép đối xứng trượt có trục OO’ và vectơ trượt là \(\overrightarrow v = \overrightarrow {OO'} \) thì rõ ràng f biến O, A, B lần lượt thành O’, A’, B’. Vậy f trùng F. Từ đó, suy ra trung điểm của MM’ luôn luôn nằm trên đường thẳng OO’. Câu 71 trang 16 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho phéo vị tự V tâm O, tỉ số k ≠ 1 và phép tịnh tiến T theo vectơ \(\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0 \) . Gọi F là phép hợp thành của V và T. a) Tìm điểm I sao cho F biến I thành chính nó. b) Chứng minh rằng F là phép vị tự tâm I tỉ số k Trả lời: a) Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ và T biến M’ thành M” thì F biến M thành M”. Bởi vậy F biến điểm I thành điểm I nếu V biến I thành I’ và T biến I’ thành I, khi đó \(\overrightarrow {OI'} = k\overrightarrow {OI} \) và \(\overrightarrow {I'I} = \overrightarrow v .\) Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OI} - \overrightarrow {OI'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} - k\overrightarrow {OI} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = {{\overrightarrow v } \over {1 - k}}\) Vậy điểm I hoàn toàn xác định. b) Với điểm M bất kì, nếu V biến M thành M’ thì \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) , nếu T biến M’ thành M” thì \(\overrightarrow {M'M''} = \overrightarrow v \) . Từ đó, suy ra \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) \(\eqalign{ & \Rightarrow \overrightarrow {IM'} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} = k\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {I{\rm{O}}} } \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {IM'} + \overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = k\overrightarrow {IM} \cr} \) (*) Nhưng từ biểu thức xác định I ta có \(\overrightarrow {OI} \left( {1 - k} \right) = \overrightarrow v \). Ngoài ra, vì \(\overrightarrow {M'M''} = \overrightarrow v \) nên \(\overrightarrow {IM''} - \overrightarrow {IM'} = \overrightarrow v \) hay \(\overrightarrow {IM'} = \overrightarrow {IM''} - \overrightarrow v \). Vậy đẳng thức (*) trở thành \(\overrightarrow {IM''} = k\overrightarrow {IM} \). Do đó, phép F biến M thành M” chính là phép vị tự tâm I tỉ số k. Câu 72 trang 17 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho đường tròn (O) với dây cung PQ. Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C, D nằm trên đường tròn. Trả lời: Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa mãn điều kiện của bài toán. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là đường trung trực của PQ nên cũng là đường trung trực của DC và do đó cũng là đường trung trực của AB. Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông PQMN thì có phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình vuông ABCD. Cách dựng: Dựng hình vuông PQMN. Lấy giao điểm C và C’ của đường thẳng IM và đường tròn, lấy giao điểm D và D’ của IN và đường tròn (ta kí hiệu sao cho hai điểm C, D nằm về một phía đối với đường thẳng PQ). Gọi các điểm B, A, B’, A’ lần lượt là hình chiếu của các điểm C, D, C’, D’ trên đường thẳng PQ. Ta được các hình vuông ABCD và A’B’C’D’ thỏa mãn điều kiện của bài toán. Câu 73 trang 17 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho đường triòn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Một đường thẳng thay đổi đi qua P, cắt (O) tại hai điểm A và B. Tìm quỹ tích điểm M sao cho \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} \). Trả lời: Gọi I là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {PI} = {{\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} } \over 2}\) , bởi vậy \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = 2\overrightarrow {PI} \). Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k = 2 thì V biến điểm I thành điểm M. Vì I là trung điểm của AB nên OI ⊥ AB. Suy ra quỹ tích của điểm I là đường tròn (C) đườn kính PO. Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn (C’) ảnh của (C) qua phép vị tự V. Nếu ta lấy O’ sao cho \(\overrightarrow {PO'} = 2\overrightarrow {PO} \) thì (C’) là đường tròn đường kính PO’. Câu 74 trang 17 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D. Trả lời: Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho AM = AB = AD. Khi đó, ta có \({{AM} \over {AC}} = {{AB} \over {AC}} = {{\sqrt 2 } \over 2}.\) Ngoài ra \(\left( {AM,AB} \right) = {45^0}\) và \(\left( {AM,A{\rm{D}}} \right) = - {45^0}\) . Suy ra, phép vị tự V tâm A tỉ sơ \(k = {{\sqrt 2 } \over 2}\) biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A góc 450 biến điểm M thành điểm B. Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F biến C thành B. Vì quỹ tích của C là đường tròn (O), nên quỹ tích của B là ảnh của đường tròn đó qua phép đồng dạnh. Đường tròn quỹ tích B có thể xác định như sau: Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của (O) vuông góc với AR (ta kí hiệu các điểm P, Q sao cho (AR, QP = 450). Khi đó dễ thấy rằng phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích B là đường tròn đường kính AP. Tương tự ta được quỹ tích D là đường tròn đường kính AQ.
