Câu 22 trang 54 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? a) Có thể tìm được hai đường thẳng song song cùng cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước. b) Có thể tìm được hai đường thẳng cắt nhau cùng cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước. c) Không thể tìm được hai đường thẳng song song hoặc hai đường thẳng cắt nhau cùng cắt hai đường chéo nhau cho trước. Giải Mệnh đề c) đúng. Câu 23 trang 54 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Chứng minh rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau: SA và BC; SA và CD; SB và CD; SB và DA; SC và AD; SC và AB; SD và BC. Giải Chứng minh SA và BC chéo nhau. Giả sử SA và BC không chéo nhau, tức là chúng đồng phẳng. Khi đó S thuộc mp(ABCD), điều đó mâu thuẫn với giả thiết S.ABCD là hình chóp. Vậy SA và BC chéo nhau. Các cặp đường thẳng còn lại chứng minh tương tự. Câu 24 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD cắt BC. Hãy tìm điểm M trên cạnh SD và điểm N trên cạnh SC sao cho AM//BN. Giải Gọi I là giao điể của BC và AD. Khi đó: \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI\) Giả sử có \(M \in SD,\,N \in SC\) sao cho AM//BN. Khi đó hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến SI phải song song với AM và BN. Từ đó suy ra cách xác định điểm M và N như sau: Từ A trong mp(SAD) ta kẻ đường thẳng song song với SI, cắt SD tại M; từ B trong mp(SBC) ta kẻ đường thẳng song song với SI, cắt SC tại N. Khi đó M và N là hai điểm cần tìm. Câu 25 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng: a) ME//AC, NF//BD. b) Ba đường thẳng ME, NF và SO (O là giao điểm của AC và BD) đồng quy. c) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. Giải a) Xét tam gác SAC. Ta có ME là đường trung bình nên ME//AC. Lí luận tương tự, NF//BD. b) Trong mp(SAC) gọi I là giao điểm của ME và SO. Dễ thấy I là trung điểm của SO. Từ đó FI là đường trung bình của tam giác SOD. Vậy FI//DO. Gọi N’ là giao điểm của đường thẳng FI với SB. Do FN' // BD và F là trung điểm của SD suy ra N’ là trung điểm của SB, tức là \(N' \equiv N.\) Vậy ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy tại I. c) Do ME và NF cắt nhau tại I, nên qua ME và NF xác định một mặt phẳng. Từ đó suy ra bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. Câu 26 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. b) Tứ giác MNEF là hình thoi. c) Ba đường thẳng ME, NF và SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD). Giải Gọi M’, N’, E’, F’ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng SM và AB, SN và BC, SE và CD, SF và DA. Khi đó M’, N’, E’, F’ lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA. Vì M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC nên: \({{SM} \over {SM'}} = {{SN} \over {SN'}} = {2 \over 3} \) \(\Rightarrow MN// M'N'\) và \(MN = {2 \over 3}M'N'\) (1) Chứng minh tương tự, ta có: \(EF//E'F'\,\,\text{và}\,\,EF = {2 \over 3}\)E'F' (2) NE // N’E’ và \(NE = {2 \over 3}N'F'\,\,(3)\) MF // M’F’ và \(MF = {2 \over 3}M'F'\,\,\,(4)\) a) M’N’ là đường trung bình của tam giác BAC suy ra: M’N’//AC và \(M'N' = {1 \over 2}AC\,\,\,(5)\) Tương tự: E’F’ // AC và \(E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(6)\) Từ (5) và (6) suy ra M’N’ //E’F’ và \(M'N' = E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(7)\) Từ (1), (2), (7) suy ra MN // EF. Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. b) Lí luận tương tự như câu a), ta suy ra: N’E’ // M’F’ và \(N'E' = M'F' = {1 \over 2}BD.\) Từ (1), (2), (3), (4), (7), (8) và AC = BD suy ra: \(MN = NE = EF = FM = {1 \over 3}AC.\) Vậy tứ giác MNEF là một hình thoi. c) Dễ thấy O cũng là giao điểm của M’E’ và N’F’. Xét ba mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’) và (MNEF). Ta có: \(\eqalign{ & \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {N'SF'} \right) = SO \cr & \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = ME \cr & \left( {N'SF'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = NF \cr & ME \cap NF = I \cr} \) Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SO, ME và NF đồng quy. Câu 27 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho tứ diện ACBD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D. a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp(IJE). b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành. c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD và vị trí của điểm E trên cạnh AD để thiết diện là hình thoi. Giải a) Ta có IJ là đường trung bình của tam giác BCD nên IJ//CD. Mặt khác \(IJ \subset \left( {IJE} \right);\,\,CD \subset \left( {ACD} \right)\) suy ra mp(IJE) cắt mp(ACD) theo giao tuyến Ex//CD. Gọi F là giao điểm của Ex và AC. Thiết diện là hình thang EFIJ. b) Để thiết diện EFIJ là hình bình hành điều kiện cần và đủ là IF // JE. Điều này tương đương với JE //AB tức là khi và chỉ khi E là trung điểm của AD. c) Thiết diện EFIJ là hình thoi \( \Leftrightarrow \) EFIJ là hình bình hành và IF = IJ \( \Leftrightarrow \) E là trung điểm của AD và AB = CD (vì \(IJ = {1 \over 2}CD\) và khi E là trung điểm của AD thì \(IF = {1 \over 2}AB\)). Câu 28 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB. a) Chứng minh rằng MN//BD. b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MNE). c) Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH//BD. Giải a) Gọi M’ và N’ lần lượt là trung điểm của AB và AD. Dễ thấy: b) Ta có: \(\eqalign{ & MM \subset \left( {MNE} \right) \cr & BD \subset \left( {ABCD} \right) \cr & MN//BD \cr & \Rightarrow \left( {MNE} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ex \cr} \) thỏa mãn Ex // MN // BD. Vậy từ E kẻ đường thẳng song song với BD lần lượt cắt CD, AB tại F, I. Nối IM lần lượt cắt SB và SA tại H và K; nối KN cắt SD tại L. Thiết diện cần tìm là ngũ giác KLFEH. c) Ta có: \(\eqalign{ & NM \subset mp\left( {MNE} \right) \cr & DB \subset mp\left( {SBD} \right) \cr & MN//DB \cr} \) Và \(\left( {MNE} \right) \cap \left( {SBD} \right) = LH\) Suy ra: LH // DB. Câu 29 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a) Các đoạn thẳng đi qua mỗi đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại một điểm G và điểm G chia trong mỗi đoạn thẳng đó theo tỉ lệ 3: 1 kể từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện. b) Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Giải a) Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB và ABC. Do A, B, C, D không đồng phẳng nên AA’, BB’, CC’, DD’ không đồng phẳng. Ta chứng minh các đoạn thẳng đó từng đôi một cắt nhau. b) Gọi M’ là giao điểm của BA’ và CD. Khi đó M là trung điểm của CD. Vì B’ là trọng tâm của tam giác ACD nên ba điểm A, B’, M thẳng hàng. Vậy AA’ và BB’ cùng thuộc mp(ABM) và A’ thuộc đoạn BM, B’ thuộc đoạn AM nên AA’ và BB’ cắt nhau tại điểm G nào đó. Lí luận tương tự, ta cũng có các đường thẳng nói trên từng đôi cắt nhau. Vậy chúng phải đồng quy. Ta có thể chứng minh cách khác như sau: Lí luận như trên, trong tam giác ABM ta có AA’ và BB’ cắt nhau tại G. Vì \({{A'M} \over {MB}} = {{B'M} \over {MA}} = {1 \over 3}\) Nên A’B’ // AB. Suy ra: \({{GA'} \over {GA}} = {{GB'} \over {GB}} = {{A'B'} \over {AB}} = {{MA'} \over {MB}} = {1 \over 3}\) Vậy \({{GA'} \over {GA}} = {{GB'} \over {GB}} = {1 \over 3}\) Nhưng AA’, BB’ là hai đoạn thẳng tùy ý trong bốn đoạn thẳng AA’, BB’, CC’, DD’. Vậy chúng đồng quy tại điểm G và điểm G chia trong mỗi đoạn thẳng đó theo tỉ số 3: 1 kể từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện. c) Nối M với G và kéo dài cắt AB tại N. Ta sẽ chứng minh N là trung điểm của AB và G là trung điểm của MN. Thật vậy, gọi I là giao điểm của MN với A’B’. Vì A’B’ // AB, ta có: \({{IB'} \over {NB}} = {{GB'} \over {GB}} = {1 \over 3};\,\,{{IB'} \over {NA}} = {{MB'} \over {MA}} = {1 \over 3}\) Nên \({{IB'} \over {NB}} = {{IB'} \over {NA}} \Rightarrow NB = NA\) Suy ra N là trung điểm của AB. Kẻ \(NN'/{\rm{AA}}'\,\,\left( {N' \in BA'} \right)\) Ta có N’ là trung điểm của BA’, suy ra A’ là trung điểm của N’M. Do đó A’G là đường trung bình của tam giác MNN’. Suy ra G là trung điểm của MN. Vậy điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Câu 30 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và AB. a) Hãy xác định điểm \(I \in AC,\,J \in DN\) sao cho IJ//BM. b) Tính độ dài đoạn thẳng IJ theo a. Giải a) Trong mp(BCD), từ D kẻ đường thẳng song song với BM cắt CB tại K. Đường thẳng KN cắt AC tại I. Trong mp(IKD), từ I kẻ đường thẳng song song với DK cắt đường thẳng DN tại J. Khi đó theo cách dựng ta có IJ // BM. b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên \(KD = 2BM = 2.{{a\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3 \) Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó: \(\eqalign{ & NH//AC \Rightarrow {{NK} \over {NI}} = {{KH} \over {HC}} = {{3HC} \over {HC}} = 3 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow NK = 3NI \Rightarrow KD = 3IJ \cr} \) Vậy \(IJ = {1 \over 3}KD = {{a\sqrt 3 } \over 3}\). Câu 31 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng: a) Nếu bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng thì \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1\). b) Nếu \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1\) thì bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. Giải a) Trường hợp 1. MN // EF Theo hệ quả của định lí giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ACD), (MNEF) ta có MN//EF // AC. Do đó ta có: \({{MA} \over {MB}} = {{NC} \over {NB}},\,{{EC} \over {ED}} = {{FA} \over {FD}}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} \cr & = {{NC} \over {NB}}. {{NB} \over {NC}}.{{FA} \over {FD}}.{{FD} \over {FA}} = 1 \cr} \) suy ra điều phải chứng minh. Trường hợp 2. MN cắt EF tại O. Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ADC), (MNEF) ta có MN, AC, EF đồng quy tại O. Kẻ \(CI//AB,\,CJ//AD\,\left( {I \in MN,\,J \in FE} \right),\) ta có: \(\eqalign{ & {{NB} \over {NC}} = {{MB} \over {CI}},\,{{OC} \over {OA}} = {{CI} \over {MA}} \cr & \Rightarrow {{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{OC} \over {OA.}} \cr & = {{MA} \over {MB}}.{{MB} \over {CI}}.{{CI} \over {MA}} = 1 \cr} \) Tương tự ta có: \({{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}}.{{OA} \over {OC}} = 1\) Vậy \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = {{OA} \over {OC}}.{{OC} \over {OA}} = 1\) b) Giả sử mặt phẳng (MNE) cắt cạnh AD tại F’. Theo câu a), ta có: \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{F'D} \over {F'A}} = 1\) Theo giả thiết \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1 \Rightarrow F'D = FD\). Vì F, F’ đều nằm trong đoạn thẳng AD nên \(F' \equiv F\) . Điều này có nghĩa là bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng. Câu 32 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC, N là trung điểm của OB (O là giao điểm của BD và AC). a) Tìm giao điểm I của SD và mặt phẳng (AMN). b) Tính tỉ số \({{SI} \over {ID}}.\) Giải a) Kéo dài AN cắt DC tại E. Nối E và M cắt SD tại I, thế thì I chính là giao điểm của SD và mp(AMN). b) Gọi F là giao điểm của AN và BC. \(BF//AD \Rightarrow {{BF} \over {AD}} = {{NB} \over {ND}} = {1 \over 3}\) Từ \(\eqalign{ & {{BF} \over {AD}} = {1 \over 3} \Rightarrow {{FC} \over {AD}} = {2 \over 3} \cr & \Rightarrow {{EC} \over {ED}} = {{FC} \over {AD}} = {2 \over 3} \cr} \) Kẻ \(CJ//SD\,\left( {J \in EI} \right)\). Ta có: \(\eqalign{ & {{MC} \over {MS}} = {{CJ} \over {JS}},\,\,{{ID} \over {CJ}} = {{ED} \over {EC}} \cr & \Rightarrow {IS\over ID}={{MS} \over {MC}}.{{EC} \over {ED}} = 1.{2 \over 3} = {2 \over 3} \cr} \) Vậy \({{IS} \over {ID}} = {2 \over 3}.\)
