Câu 33 trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF; \({G_1},\,{G_2}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng: a) OO’ song song với mặt phẳng (ADF) và (BCE); b) \({G_1}{G_2}\) song song với mặt phẳng (CEF). Giải a) OO’ là đường trung bình của tam giác BDF suy ra OO’ // DF. Mà \(DF \subset \left( {ADF} \right) \Rightarrow OO'//\left( {ADF} \right).\) OO’ là đường trung bình của tam giác ACE suy ra OO’ // CE. Mà \(CE \subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow OO'//\left( {BCE} \right).\) b) Gọi I là trung điểm của AB thì I thuộc đường thẳng \({G_1}D\) và đường thẳng \({G_2}E.\) Xét tam giác IDE. Ta có: \({{I{G_1}} \over {ID}} = {{I{G_2}} \over {IE}} = {1 \over 3} \Rightarrow {G_1}{G_2}//ED.\) Do đường thẳng DE nằm trong mặt phẳng (CEF) suy ra \({G_1}{G_2}//\left( {CEF} \right).\) Câu 34 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm thuộc cạnh CD không trùng với C và D. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với BC. a) Hãy xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp(P). b) Xác định vị trí của điểm N trên CD sao cho thiết diện là một hình bình hành. Giải a) Mặt phẳng (ABC) chứa BC và BC //(P) nên (ABC) cắt (P) theo giao tuyến \(ME//BC\left( {E \in AC} \right).\) Tương tự, mp(DBC) cắt (P) theo giao tuyến \(NF//BC\left( {F \in BD} \right).\) (Dễ thấy E là trung điểm của AC). Thiết diện là hình thang MENF. b) Từ câu a), ta có: \(ME//NF\) và \(ME = {1 \over 2}BC.\) Vậy tứ giác MENF là hình bình hành khi và chỉ khi \(NF = ME = {1 \over 2}BC\) hay N là trung điểm của CD. Câu 35 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: a) Mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm G của tứ diện, qua điểm E thuộc cạnh BC và song song với AD. b) Đi qua trọng tâm của tứ diện và song song với BC và AD. Giải a) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD thì G là trung điểm của IJ. Mặt phẳng (IAD) chứa AD, AD // (P) nên (IAD) cắt (P) theo giao tuyến MN qua G và song song với \(AD\left( {M \in AI,\,N \in DI} \right).\) Khi E trùng với I, thiết diện không tồn tại. Khi E không trùng với I, ta có thiết diện là tam giác EFK. b) Theo câu a), mặt phẳng cắt (P) song song với AD và chứa MN. Mặt khác (P) song song với BC nên nó cắt mp(ABC) và (BCD) theo các giao tuyến lần lượt qua M, N và song song với BC. Vậy thiết diện là hình bình hành LFKQ. Câu 36 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC; (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD. a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P). b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giác SME với tam giác ABC và tỉ số diện tích của tam giác SMF với tam giác SCD. c) Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm K, A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số \({{EF} \over {KJ}}.\) Giải a) Gọi I là giao điểm của SO và AM (O là giao điểm của AC và BD). Vì BD // (P) nên mặt phẳng (SBD) chứa BD cắt (P) theo giao tuyến qua I và song song với BD. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của giao tuyến này với các cạnh SB và SD thì E và F lần lượt là giao điểm của SB và SD với mặt phẳng (P). Vậy thiết diện là tứ giác AEMF. b) Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC, ta có: \({{SE} \over {SB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SI} \over {SO}} = {2 \over 3}.\) Do đó: \(\eqalign{ & {{{S_{SME}}} \over {{S_{SBC}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SE} \over {SB}} = {1 \over 2}.{2 \over 3} = {1 \over 3} \cr & {{{S_{SMF}}} \over {{S_{SCD}}}} = {{SM} \over {SC}}.{{SF} \over {SD}} = {1 \over 2}.{2 \over 3} = {1 \over 3} \cr} \) c) Dễ thấy K, A, J là ba điể chung của hai mặt phẳng (P) và (ABCD) nên chúng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng này. Vì BD // (P) và \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(\Delta //BD \Rightarrow \Delta //EF.\) Ta có: \({{EF} \over {BD}} = {{SI} \over {SO}} = {2 \over 3};\,KJ = 2BD.\) Vậy \({{EF} \over {KJ}} = {1 \over 3}.\) Câu 37 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt (P) cắt cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ a) Tìm điều kiện của mp(P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang. b) Tìm điều kiện của mp(P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. Giải a) Thiết diện A’B’C’D’ là hình thang khi và chỉ khi A’B’//C’D’ hoặc A’D’//B’C’. Ta có: * A’B’//C’D’ khi và chỉ khi giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song với A’B’ tức là \(\Delta \) //mp(P). * A’D’//C’B’ khi và chỉ khi giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) song song với A’D’ tức là \(\Delta '//mp(P).\) Vậy tứ giác A’B’C’D’ là hình thang khi và chỉ khi (P) song song với \(\Delta \) hoặc song song với \(\Delta '.\) b) tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành khi và chỉ khi mp(P) song song với cả hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '.\) Câu 38 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tam giác ABD, điểm I nằm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC. Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng (ACD). Giải Gọi B’ là giao điểm của đường thẳng BG và AD. Khi đó B’ là trung điểm của AD và \(BG = 2GB'.\) Mặt khác ta có BI = 2IC. Do đó GI //CB’. Mà CB’ nằm trên mp(ACD) nên IG song song với mp(ACD). Câu 39 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với AB và CD lần lượt cắt các cạnh AC, AD, BD, BC tại M, N, E, F. a) Chứng minh rằng tứ giác MNEF là một hình bình hành. b) Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF. Giải a) Ta có: \(\eqalign{ & AB//\left( P \right),\,AB \subset \left( {ABC} \right) \cr & \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = MF//AB \cr} \) Và \(\eqalign{ & AB//\left( P \right),\,AB \subset \left( {ABD} \right) \cr & \Rightarrow \left( {ABD} \right) \cap \left( P \right) = NE//AB. \cr} \) Vậy MF//NE//AB. Chứng minh tương tự ta có: MN//EF//CD. Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNEF là hình bình hành. b) Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi J và L lần lượt là các giao điểm của các cặp đường thẳng CH và MF, DH và NE thì rõ ràng ba điểm J, I, L thẳng hàng. Vậy khi (P) di động thì tâm I của hình bình hành MNEF chạy trên đoạn thẳng HK. Ngược lại, lấy một điểm I bất kì trên đoạn HK. Qua I kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt CH và DH tại J và L. Qua J và L lần lượt kẻ hai đường thẳng MF (\(\left( {M \in AC,F \in BC} \right),\,NE\left( {N \in AD,\,E \in BD} \right)\) cùng song song với AB. Dễ thấy tứ giác MNEF là hình bình hành và có tâm I. Vậy tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF là đoạn thẳng HK.
