Câu 4.25 trang 209 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Chứng minh rằng số thực a < 0 chỉ có hai căn bậc hai phức là \( \pm i\sqrt {|a|} \) Hướng dẫn làm bài Giả sử z là một căn bậc hai của a, ta có z2 = a. Vì a < 0 nên: \(a = - |a| = - {(\sqrt {|a|} )^2}\) Từ đó suy ra: \({z^2} = - {(\sqrt {|a|} )^2}\) \(\Rightarrow {z^2} + {(\sqrt {|a|} )^2} = 0\) \(\Rightarrow (z + i\sqrt {|a|} )(z - i\sqrt {|a|} ) = 0\) Vậy \(z = i\sqrt {|a|} \) hay \(z = - i\sqrt {|a|} \). Câu 4.26 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2x2 + 3x + 4 = 0 b) 3x2 + 2x + 7 = 0 c) 2x4 + 3x2 – 5 = 0 Hướng dẫn làm bài a) \({x_{1,2}} = {{ - 3 \pm i\sqrt {23} } \over 4}\) b) \({x_{1,2}} = {{ - 1 \pm 2i\sqrt 5 } \over 3}\) c) \({x_{1,2}} = \pm 1;{x_{3,4}} = \pm i\sqrt {{5 \over 2}} \). Câu 4.27 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\) . Hãy tính: a) \(z_1^2 + z_2^2\) b) \(z_1^3 + z_2^3\) c) \(z_1^4 + z_2^4\) d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}}\) Hướng dẫn làm bài Ta có: \({z_1} + {z_2} = - {{\sqrt 3 } \over 2},{z_1}.{z_2} = {3 \over 2}\) . Từ đó suy ra: a) \(z_1^2 + z_2^2 = {({z_1} + {z_2})^2} - 2{z_1}{z_2} = {3 \over 4} - 3 = - {9 \over 4}\) b) \(z_1^3 + z_2^3 = ({z_1} + {z_2})(z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2)\) \(= - {{\sqrt 3 } \over 2}( - {9 \over 4} - {3 \over 2}) = {{15\sqrt 3 } \over 8}\) c) \(z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2) - 2z_1^2.z_2^2 = {( - {9 \over 4})^2} - 2.{({3 \over 2})^2} = {9 \over {16}}\) d) \({{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}} = {{z_1^2 + z_2^2} \over {{z_1}.{z_2}}} = {{ - {9 \over 4}} \over {{3 \over 2}}} = - {3 \over 2}\). Câu 4.28 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Chứng minh rằng hai số phức liên hợp z và \(\bar z\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số phức. Hướng dẫn làm bài Nếu z = a + bi thì \(z + \bar z = 2a \in R;z.\bar z = {a^2} + {b^2} \in R\) z và \(\bar z\) là hai nghiệm của phương trình \((x - z)(x - \bar z) = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - (z + \bar z)x + z.\bar z = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0\) Câu 4.29 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: a) \(1 + i\sqrt 2 \) và \(1 - i\sqrt 2 \) b) \( - {1 \over 2},1 \le |z| \le 2\) và \(\sqrt 3 - 2i\) c) \( - \sqrt 3 + i\sqrt 2 \) và \( - \sqrt 3 - i\sqrt 2 \) Hướng dẫn làm bài a) x2 – 2x + 3 = 0 b) \({x^2} - 2\sqrt 3 x + 7 = 0\) c) \({x^2} + 2\sqrt 3 x + 5 = 0\) Câu 4.30 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) x3 – 8 = 0 b) x3 + 8 = 0 Hướng dẫn làm bài a) \({x^3} - 8 = 0 \) \(\Leftrightarrow (x - 2)({x^2} + 2x + 4) = 0\) \(\Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = - 1 + i\sqrt 3 \) b) \({x^3} + 8 = 0\) \(\Leftrightarrow (x + 2)({x^2} - 2x + 4) = 0\) \(\Rightarrow {x_1} = - 2;{x_{2,3}} = 1 + i\sqrt 3 \) Câu 4.31 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giải phương trình: 8z2 – 4z + 1 = 0 trên tập số phức. (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009) Hướng dẫn làm bài \(\eqalign{ & 8{z^2} - 4z + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {2^2}8 = - 4 \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {z_1} = {{2 - 2i} \over 8} = {{1 - i} \over 4} \hfill \cr {z_2} = {{2 + 2i} \over 8} = {{1 + i} \over 4} \hfill \cr} \right. \cr} \) Câu 4.32 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giải phương trình: \({(z - i)^2} + 4 = 0\) trên tập số phức. (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011) Hướng dẫn làm bài \(\eqalign{ & {\left( {z - i} \right)^2} + 4 = 0 \cr & {\left( {z - i} \right)^2} = - 4 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z - i = - 2i \hfill \cr z - i = 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = - i \hfill \cr z = 3i \hfill \cr} \right. \cr} \)
