Câu 4.33 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Thực hiện các phép tính: a) (2 + 3i)(3 – i) + (2 – 3i)(3 + i) b) \({{2 + i\sqrt 2 } \over {1 - i\sqrt 2 }} + {{1 + i\sqrt 2 } \over {2 - i\sqrt 2 }}\) c) \({{(1 + i)(2 + i)} \over {2 - i}} + {{(1 + i)(2 - i)} \over {2 + i}}\) Hướng dẫn làm bài a) 18 b) \({3 \over 2}i\sqrt 2 \) c) \({6 \over 5}(1 + i)\) Câu 4.34 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính: a) \({(2 + i\sqrt 3 )^2}\) b) \({(1 + 2i)^3}\) c) \({(3 - i\sqrt 2 )^2}\) d) \({(2 - i)^3}\) Hướng dẫn làm bài a) \(1 + 4i\sqrt 3 \) b) – 11 – 2i c) \(7 - 6i\sqrt 2 \) d) 2 – 11i Câu 4.35 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Thực hiện các phép tính: a) \({(2 + 3i)^2} - {(2 - 3i)^2}\) b) \({{{{(1 + i)}^5}} \over {{{(1 - i)}^3}}}\) Hướng dẫn làm bài a) 24i b) 2 Câu 4.36 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) (1 + 2i)x – (4 – 5i) = –7 + 3i b) (3 + 2i)x – 6ix = (1 – 2i)[x – (1 + 5i)] Hướng dẫn làm bài a) \((1 + 2i)x = - 3 - 2i\) \(\Rightarrow x = - {{3 + 2i} \over {1 + 2i}} = - {{7 - 4i} \over 5} = - {7 \over 5} + {4 \over 5}i\) b) \((2 - 2i)x = - (11 + 3i)\) \(\Rightarrow x = - {{11 + 3i} \over {2(1 - i)}} = - 2 - {7 \over 2}i\) Câu 4.37 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) \(3{x^2} + (3 + 2i\sqrt 2 )x - {{{{(1 + i)}^3}} \over {1 - i}} = i\sqrt 8 x\) b) \({(1 - ix)^2} + (3 + 2i)x - 5 = 0\) Hướng dẫn làm bài a) \(3{x^2} + 3x + 2 = 0\) \(\Rightarrow {x_{1,2}} = {{ - 3 \pm i\sqrt {15} } \over 6}\) b) \( - {x^2} + 3x - 4 = 0\) \(\Rightarrow {x_{1,2}} = {{3 \pm i\sqrt 7 } \over 2}\) Câu 4.38 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tìm số phức z, biết: a) \(\bar z = {z^3}\) b) \(|z| + z = 3 + 4i\) Hướng dẫn làm bài a) Ta có \(z\bar z = |z{|^2}\) nên từ \(\bar z = {z^3} \Rightarrow |z{|^2} = {z^4}\) Đặt z = a+ bi , suy ra: \({a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} - {b^2})i = {a^2} + {b^2}\) (*) Do đó, ta có: \(4ab({a^2} - {b^2}) = 0\) (**) Từ (**) suy ra các trường hợp sau: +) a = b = 0 ⟹ z = 0 +) \(a = 0,b \ne 0\) : Thay vào (*), ta có \({b^4} = {b^2} \Rightarrow b = \pm 1 \Rightarrow z = \pm i\) +) \(b = 0,a \ne 0\) : Tương tự, ta có \(a = \pm 1 \Rightarrow z = \pm 1 \) +) \(a \ne 0,b \ne 0 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 0 \Rightarrow {a^2} = {b^2}\) , thay vào (*) , ta có: 2a2(2a2 + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì \(a \ne 0\) ) b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i suy ra \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i \Rightarrow b = 4\) và \(\sqrt {{a^2} + 16} + a = 3\) \( \Rightarrow {a^2} + 16 = {(3 - a)^2} = 9 - 6a + {a^2}\) \(\Rightarrow 6a = - 7 \Rightarrow a = - {7 \over 6}\) Vậy \(z = - {7 \over 6} + 4i\) Câu 4.39 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\matrix{{|z - 2i| = |z|} \cr {|z - i| = |z - 1|} \cr} } \right.\) Hướng dẫn làm bài Đặt z = x + yi , ta được hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{ {x^2} + {(y - 2)^2} = {x^2} + {y^2} \hfill \cr {x^2} + {(y - 1)^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} \hfill \cr} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ {\matrix{{y = 1} \cr {x = y} \cr} } \right. \Rightarrow x = 1,y = 1\) Vậy z = 1 + i. Câu 4.40 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Chứng tỏ rằng \({{z - 1} \over {z + 1}}\) là số thực khi và chỉ khi z là một số thực khác – 1. Hướng dẫn làm bài Hiển nhiên nếu \(z \in R,z \ne - 1\) thì \({{z - 1} \over {z + 1}} \in R\) Ngược lại, nếu \({{z - 1} \over {z + 1}} = a \in R\) thì \(z - 1 = az + a\) và \(a \ne 1\) Suy ra \((1 - a)z = a + 1\Rightarrow z = {{a + 1} \over {1 - a}} \in R\) và hiển nhiên \(z \ne - 1\). Câu 4.41 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tìm phần ảo của số phức z , biết \(\bar z = {(\sqrt 2 + i)^2}(1 - i\sqrt 2 )\) (Đề thi đại học năm 2010, khối A) Hướng dẫn làm bài \(\eqalign{ & \bar z = {(\sqrt 2 + i)^2}(1 - i\sqrt 2 ) \cr & = \left( {2 + 2\sqrt 2 i + {i^2}} \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) \cr & = \left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) \cr & = 1 - \sqrt 2 i + 2\sqrt 2 i - 4{i^2} \cr & = 5 + \sqrt 2 i \cr & \Rightarrow z = 5 - \sqrt 2 i \cr} \) Phân ảo của số phức \(z = - \sqrt 2 \) Câu 4.42 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(| z – (3 – 4i)| = 2\). (Đề thi Đại học năm 2009, khối D) Hướng dẫn làm bài Đặt \(z = x + yi\) . Từ \(|z – (3 – 4i)| = 2\) suy ra: \({(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} = 4\) Các điểm biểu diễn z nằm trên đường tròn tâm I(3; -4) bán kính 2. Câu 4.43 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(| z – i| = |(1 + i)z|\). (Đề thi Đại học năm 2010, khối B) Hướng dẫn làm bài Đặt \(z = x + yi\). Từ \(|z – i| = |(1 + i)z|\) suy ra : \({x^2} + {{(y +1)}^2} = 2\) Các điểm biểu diễn z nằm trên đường tròn tâm I(0; -1) bán kính \(\sqrt 2 \). Câu 4.44 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tìm số phức z thỏa mãn : \(|z - (2 + i)| = \sqrt {10} \) và \(z\bar z = 25\) (Đề thi đại học năm 2009, khối B) Hướng dẫn làm bài Đặt \(z = x + yi\) . Từ điều kiện của đầu bài ta được: \({(x – 2)}^2 + {(y – 1)}^2 = 10\) và \(x^2 + y^2 = 25\) Đáp số: z = 5 và \(z = 3 + 4i\) Câu 4.45 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tìm số phức z, biết : \(z - (2 + 3i)\bar z = 1 - 9i\) (Đề thi đại học năm 2011, khối D) Hướng dẫn làm bài: Đặt z = x + yi. Từ điều kiện của đầu bài ta được \(\left\{ {\matrix{{ - x - 3y = 1} \cr {3y - 3x = - 9} \cr} } \right.\) Đáp số: z = 2 – i . Câu 4.46 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12. Tìm số phức z thỏa mãn: \(|z| = \sqrt 2 \) và z2 là số thuần ảo. (Đề thi Đại học năm 2010, khối D). Hướng dẫn làm bài Đặt z = x + yi . Từ điều kiện của đầu bài ta có: \(x = \pm y\) và \({x^2} + {y^2} = 2\) Vậy \(z \in {\rm{\{ }}1 + i;1 - i; - 1 + i; - 1 - i\} \).
